RUЧетыре вопроса, которые задаются по порядку
Таблицей первообразных закрывается меньше половины интегралов. Остальное — не набор разрозненных фокусов, а короткий список вопросов, которые задаются глядя на выражение.
- Промежуток конечен и функция на нём ограничена? Если нет — интеграл несобственный, и первым же действием буквой заменяется тот конец промежутка, который создаёт особенность: бесконечная граница или точка, где функция взрывается.
- Не является ли выражение чьей-то производной целиком? Проверка стоит десять секунд и в случае удачи закрывает задачу.
- Если нет — раскладывается ли оно на $u$ и $dv$ так, чтобы стало проще? Это интегрирование по частям.
- Если и это не помогает — нет ли симметрии, позволяющей не считать вовсе?
Порядок не случаен: каждый следующий инструмент дороже предыдущего, и разделы урока идут в том же порядке. Лестница микронавыков наверху устроена иначе — там порядок освоения: букву вместо бесконечности проще ставить поверх уже освоенной техники счёта.
Вопрос первый: особый конец промежутка
Несобственный интеграл определяется через предел:
$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{T \to +\infty}\int_a^{T} f(x)\,dx$$Второй случай — конечный отрезок, на котором функция взрывается в точке $a$, — определяется так же: $\int_a^{b} f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx$.
Если предел конечен, интеграл сходится, иначе расходится. Практический смысл ровно один: буквой заменяется тот конец промежутка, который создаёт особенность, дальше идёт обычная работа, и только последним действием берётся предел. Сходимость при этом видна заранее — по поведению функции на этом конце, то есть по асимптотике шестого дня.
| Интеграл | Сходится | Значение |
|---|
| $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ | при $p > 1$ | $\frac{1}{p-1}$ |
| $\int_0^{1}\frac{dx}{x^p}$ | при $p < 1$ | $\frac{1}{1-p}$ |
Читается так: на бесконечности функция обязана убывать быстрее $\frac1x$, а в нуле особенность обязана быть слабее $\frac1x$; ровно на границе $p = 1$ оба интеграла расходятся. Вторая строка важна сама по себе: у $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x} = 2$ функция в нуле не ограничена, а интеграл конечен — мешает сходимости не сама неограниченность, а скорость роста в особой точке: $\frac{1}{\sqrt x}$ растёт достаточно медленно, чтобы площадь осталась конечной, а $\frac1x$ — уже нет.
С экспонентой проще: $e^{-x}$ бьёт любую степень, поэтому $\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx$ сходится всегда, а внеинтегральные слагаемые с множителем $e^{-T}$ (они появятся ниже, при интегрировании по частям) на бесконечности гаснут.
Ловушка «бесконечность минус бесконечность»Пусть под интегралом стоит разность $\frac1x - \frac{1}{x+a}$. Каждое слагаемое по отдельности даёт логарифм, уходящий на бесконечности вверх, а разность конечна. Поэтому логарифмы объединяются в один $\ln\frac{x}{x+a}$ ещё до подстановки пределов, и только потом берётся предел от готовой дроби. Подставив бесконечность в каждый логарифм отдельно, получишь $\infty - \infty$ и встанешь на ровном месте.
Вопрос второй: не готовая ли это производная
Интеграл — обращение производной, значит смотреть на подынтегральное выражение надо с вопросом что могло дать это при дифференцировании? У трёх правил дифференцирования есть три узнаваемых следа.
- Цепное правило оставляет след «сложная функция и рядом множителем производная её внутренности»: $2x\,e^{x^2}$, $\frac{\ln x}{x}$, $\frac{x}{1+x^2}$.
- Правило произведения оставляет след «сумма двух слагаемых, в каждом продифференцирован свой множитель»: $e^x(1 + x)$ — это $(xe^x)'$.
- Правило частного оставляет след «дробь, в знаменателе которой стоит квадрат»: $\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ — это $\left(\frac{\sin x}{x}\right)'$.
Пример. $\displaystyle\int_1^2\left(\frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2}\right)dx$. По отдельности слагаемые не берутся, а пара целиком — правило частного задом наперёд: числитель $e^x\cdot x - e^x\cdot 1$, знаменатель $x^2$.
$$\int_1^2\left(\frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2}\right)dx = \frac{e^x}{x}\bigg|_1^2 = \frac{e^2}{2} - e \approx 0.9762$$Главный навык дняУзнавание — не украшение, а основной инструмент: оно превращает пятиминутный интеграл в устный и ловит случаи, где прямой счёт вообще невозможен. Это ремесло, а не теорема, и нарабатывается количеством: тридцати разобранных выражений хватает.
Проверка, которая ничего не стоитВзял интеграл — продифференцируй ответ: должна получиться подынтегральная функция. Десять секунд, ловит любую ошибку в знаке и в коэффициенте. Пользуйся всегда.
То же самое формально: замена переменной
Когда производная внутренности стоит под интегралом с точностью до числового множителя, узнавание оформляется заменой: внутренность обозначается новой буквой, и вместе с ней пересчитываются пределы.
Пример. $\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x}\,dx$. Здесь $\frac1x$ — производная логарифма, значит $t = \ln x$ и $dt = \frac{dx}{x}$; пределы: $x = 1 \Rightarrow t = 0$, $x = 2 \Rightarrow t = \ln 2$.
$$\int_1^2\frac{\ln x}{x}dx = \int_0^{\ln 2} t\,dt = \frac{t^2}{2}\bigg|_0^{\ln 2} = \frac{\ln^2 2}{2} \approx 0.2402$$Самая частая ошибка темыСделать замену и оставить старые пределы. Иногда они случайно совпадают, ошибка проходит незамеченной — и повторяется там, где не совпадут. Правило: новая буква и новые пределы пишутся одним движением. Не «потом пересчитаю».
Вопрос третий: интегрирование по частям
Формула получается интегрированием правила произведения по отрезку: слева $\int_a^b (uv)'dx = uv\big|_a^b$, справа сумма двух интегралов; переносим один из них налево:
$$\int_a^b u\,dv = uv\bigg|_a^b - \int_a^b v\,du$$Применяется к произведению разнородных функций: степень на логарифм, степень на экспоненту. Правило выбора: в $u$ идёт то, что упрощается при дифференцировании — логарифм превращается в степень, степень понижается. Экспонента и тригонометрия не упрощаются никогда, они идут в $dv$.
Пример. $\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$. Берём $u = x$ (упрощается до единицы) и $dv = e^x dx$, откуда $v = e^x$:
$$\int_0^1 x e^x dx = xe^x\bigg|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$$Признак неверного выбораЕсли взять наоборот, $u = e^x$ и $dv = x\,dx$, новый интеграл будет содержать $\frac{x^2}{2}e^x$ — хуже исходного. Новый интеграл обязан быть проще старого. Стал сложнее — не упорствуй, поменяй $u$ и $dv$ местами.
Когда интеграл возвращается к себе
Для произведения экспоненты на синус или косинус правило выбора $u$ не работает: не упрощается ни один множитель. Двойное интегрирование по частям возвращает исходный интеграл — и это не тупик, а уравнение.
Пример. $\displaystyle I = \int_0^{+\infty}e^{-3x}\cos x\,dx$. Обозначим соседний интеграл $J = \int_0^{+\infty}e^{-3x}\sin x\,dx$ и возьмём оба по частям с $dv = e^{-3x}dx$, то есть $v = -\frac{e^{-3x}}{3}$; внеинтегральные слагаемые на бесконечности гаснут из-за $e^{-3T}$:
$$I = -\frac{e^{-3x}\cos x}{3}\bigg|_0^{+\infty} - \frac13\int_0^{+\infty}e^{-3x}\sin x\,dx = \frac13 - \frac{J}{3}$$$$J = -\frac{e^{-3x}\sin x}{3}\bigg|_0^{+\infty} + \frac13\int_0^{+\infty}e^{-3x}\cos x\,dx = \frac{I}{3}$$Подставляем второе в первое: $I = \frac13 - \frac{I}{9}$, откуда $I = \frac{3}{10} = 0.3$.
Что здесь произошлоМы не вычислили интеграл — мы составили про него уравнение. Приём работает всегда, когда после двух шагов по частям возвращается исходное выражение с коэффициентом. Признак: под интегралом экспонента, умноженная на синус или косинус.
Вопрос четвёртый: симметрия отрезка
Отражение отрезка$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$$Замена $x \to a + b - x$ переводит отрезок сам в себя, поэтому число не меняется.
Смысл приёма не в упрощении подынтегральной функции, а в том, что появляется второе выражение для одного и того же числа; их складывают, и сумма часто оказывается тривиальной. Простейший случай — отрезок $[-a, a]$ и нечётная функция: отражение даёт $I = -I$, то есть ноль.
Пример. $\displaystyle I = \int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$. Здесь $a + b - x = \frac\pi2 - x$, а $\sin\left(\frac\pi2 - x\right) = \cos x$, поэтому $I = \int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx$. Складываем два выражения для $I$ и пользуемся основным тождеством:
$$2I = \int_0^{\pi/2}\left(\sin^2x + \cos^2x\right)dx = \int_0^{\pi/2}dx = \frac{\pi}{2} \;\Longrightarrow\; I = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854$$Как узнавать, что нужен именно этот приёмАбсурдный, «нечеловеческий» параметр в условии — $\sqrt2$, $2025$, произвольное $s$ — почти всегда означает, что ответ от него не зависит. Составители ставят такой параметр как сигнал: считать бесполезно, ищи симметрию.
Две формулы, которые стоит держать готовыми
Бета и гамма$$\int_0^1 x^{a}(1-x)^{b}\,dx = \frac{a!\,b!}{(a+b+1)!}, \qquad \int_0^{+\infty}x^{n}e^{-x}\,dx = n!$$для целых неотрицательных $a$, $b$, $n$.
Проверка первой при $a = 2$, $b = 3$: формула даёт $\frac{2!\cdot 3!}{6!} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60} \approx 0.0167$, а раскрытие скобок — $\frac13 - \frac34 + \frac35 - \frac16 = \frac{1}{60}$, то же самое и втрое дольше. Вторая формула — это $n$-й момент показательного распределения, связь с четвёртым днём.
Обратная сторона дня: наклон и угол между кривыми
Угол между кривыми — это угол между их касательными в точке пересечения, то есть задача не на интеграл, а на производную. Порядок действий:
- Найти точку пересечения — решить систему уравнений кривых; если точек несколько, условие указывает нужную.
- Снять наклоны $k_1$ и $k_2$ в этой точке. Кривую вида $x = g(y)$ для этого надо разрешить относительно $y$ и взять ту ветвь, на которой лежит точка.
- Перевести наклоны в угол — этот шаг разворачивается из формулы тангенса разности.
Наклон — это тангенс угла наклона прямой к оси: $k_1 = \tan\alpha_1$, $k_2 = \tan\alpha_2$. Две пересекающиеся прямые образуют пару смежных углов: один равен $|\alpha_1 - \alpha_2|$, второй дополняет его до $\pi$. Углом между прямыми называют острый, а у острого угла тангенс положителен — поэтому модуль ставится сразу, до всякой подстановки:
$$\tan\varphi = \left|\tan(\alpha_1 - \alpha_2)\right| = \left|\frac{\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2}{1 + \tan\alpha_1\tan\alpha_2}\right| = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|$$Арктангенс неотрицательного числа лежит в $\left[0, \frac\pi2\right)$, поэтому $\varphi = \arctan\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|$ — это и есть острый угол, выбирать между двумя смежными не приходится.
Пример. Под каким острым углом пересекаются $y = x^2$ и $y = x^3$ в точке $(1,1)$? Наклоны: $k_1 = 2x = 2$ и $k_2 = 3x^2 = 3$. Тогда
$$\tan\varphi = \left|\frac{2 - 3}{1 + 6}\right| = \frac17 \;\Longrightarrow\; \varphi = \arctan\frac17 \approx 0.1419$$Проверка без формулы и напоминание про режимТот же угол равен модулю разности самих углов наклона: $|\arctan 2 - \arctan 3| = |1.1071 - 1.2490| = 0.1419$. Двадцать секунд — и риск ошибиться в формуле тангенса снят. Ответ просят в радианах: math.atan и калькулятор в режиме RAD дают именно их, сбитый на градусы — самая обидная потеря в этой задаче.
Что должно остаться в голове
- Смотри на выражение как на результат дифференцирования: цепное правило, произведение, частное — у каждого свой след.
- Взял интеграл — продифференцируй ответ; сделал замену — пересчитал пределы. Всегда, одним движением.
- По частям: в $u$ то, что упрощается; новый интеграл обязан быть проще.
- Экспонента на синус или косинус — по частям дважды и уравнение на сам интеграл.
- Особый конец промежутка — бесконечная граница или точка взрыва — сразу заменяется буквой; предел последним действием; сходимость видна по асимптотике конца.
- Разность логарифмов объединяй в один до перехода к пределу, иначе получишь $\infty - \infty$.
- Абсурдный параметр в условии — ищи симметрию отрезка, а не первообразную.
- Угол между кривыми: точка пересечения, два наклона, формула тангенса, ответ в радианах.
ENFour questions to ask in order
The antiderivative table handles fewer than half of all integrals. The rest is not a collection of unrelated tricks, but a short list of questions to ask while looking at the expression.
- Is the interval finite and the function bounded on it? If not, the integral is improper, and the first action is to replace the endpoint that creates the singularity — an infinite boundary or a point where the function blows up — with a letter.
- Is the entire expression someone’s derivative? The check takes ten seconds and, if successful, closes the problem.
- If not, can it be split into $u$ and $dv$ so that it becomes simpler? This is integration by parts.
- If that does not help either, is there a symmetry that lets you avoid calculating altogether?
The order is deliberate: each next tool costs more than the previous one, and the lesson sections follow the same order. The micro-skill staircase above has a different order — it is the learning order, because replacing infinity with a letter is easier once the calculation technique is familiar.
Question one: an exceptional endpoint
An improper integral is defined through a limit:
$$\int_a^{+\infty} f(x)\,dx = \lim_{T \to +\infty}\int_a^{T} f(x)\,dx$$The second case — a finite interval where the function blows up at $a$ — is defined in the same way: $\int_a^{b} f(x)\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+}\int_{a+\varepsilon}^{b} f(x)\,dx$.
If the limit is finite, the integral converges; otherwise it diverges. The practical meaning is exactly this: replace the endpoint that creates the singularity with a letter, do ordinary work, and take the limit only as the final action. Convergence can be seen in advance from the behavior of the function at that endpoint — the asymptotics from Day 6.
| Integral | Converges | Value |
|---|
| $\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}$ | for $p > 1$ | $\frac{1}{p-1}$ |
| $\int_0^{1}\frac{dx}{x^p}$ | for $p < 1$ | $\frac{1}{1-p}$ |
Read it this way: at infinity, a function must decay faster than $\frac1x$; at zero, its singularity must be weaker than $\frac1x$. Exactly at the boundary $p = 1$, both integrals diverge. The second line matters on its own: in $\int_0^1\frac{dx}{\sqrt x} = 2$, the function is unbounded at zero but the integral is finite. What prevents convergence is not unboundedness itself, but the growth rate at the singular point: $\frac{1}{\sqrt x}$ grows slowly enough for the area to remain finite, while $\frac1x$ does not.
With an exponential it is simpler: $e^{-x}$ beats every power, so $\int_0^{+\infty}x^n e^{-x}dx$ always converges, and terms outside the integral containing $e^{-T}$ (they appear below during integration by parts) vanish at infinity.
The “infinity minus infinity” trapSuppose the integrand is $\frac1x - \frac{1}{x+a}$. Each term separately gives a logarithm that grows to infinity, but their difference is finite. Therefore combine the logarithms into one, $\ln\frac{x}{x+a}$, before substituting the limits; only then take the limit of the finished fraction. If you substitute infinity into each logarithm separately, you get $\infty - \infty$ and become stuck for no reason.
Question two: is this already a derivative?
An integral reverses differentiation, so look at the integrand by asking what could have produced this when differentiated? Each of the three differentiation rules leaves a recognizable trace.
- The chain rule leaves “a composite function with the derivative of its inside next to it”: $2x\,e^{x^2}$, $\frac{\ln x}{x}$, $\frac{x}{1+x^2}$.
- The product rule leaves “a sum of two terms, each differentiating a different factor”: $e^x(1 + x)$ is $(xe^x)'$.
- The quotient rule leaves “a fraction whose denominator is squared”: $\frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ is $\left(\frac{\sin x}{x}\right)'$.
Example. $\displaystyle\int_1^2\left(\frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2}\right)dx$. The terms do not work separately, but together they are the quotient rule backwards: numerator $e^x\cdot x - e^x\cdot 1$, denominator $x^2$.
$$\int_1^2\left(\frac{e^x}{x} - \frac{e^x}{x^2}\right)dx = \frac{e^x}{x}\bigg|_1^2 = \frac{e^2}{2} - e \approx 0.9762$$The day’s main skillRecognition is not decoration but the main tool: it turns a five-minute integral into a mental calculation and catches cases where direct calculation is impossible. It is a craft, not a theorem, and it grows with volume: thirty worked expressions are enough.
A free checkAfter taking an integral, differentiate the answer: you should recover the integrand. It takes ten seconds and catches any sign or coefficient error. Use it every time.
The formal version: substitution
When the derivative of the inside appears under the integral up to a numerical factor, recognition is written formally as a substitution: give the inside a new letter and recalculate the limits with it.
Example. $\displaystyle\int_1^2\frac{\ln x}{x}\,dx$. Here $\frac1x$ is the derivative of a logarithm, so $t = \ln x$ and $dt = \frac{dx}{x}$; the limits are $x = 1 \Rightarrow t = 0$ and $x = 2 \Rightarrow t = \ln 2$.
$$\int_1^2\frac{\ln x}{x}dx = \int_0^{\ln 2} t\,dt = \frac{t^2}{2}\bigg|_0^{\ln 2} = \frac{\ln^2 2}{2} \approx 0.2402$$The most common mistake in this topicMake a substitution but leave the old limits. Sometimes they happen to match and the error goes unnoticed — then it repeats where they do not match. Rule: write the new letter and new limits in one motion. Not “I will recalculate them later.”
Question three: integration by parts
The formula comes from integrating the product rule over an interval: on the left, $\int_a^b (uv)'dx = uv\big|_a^b$; on the right, a sum of two integrals. Move one to the other side:
$$\int_a^b u\,dv = uv\bigg|_a^b - \int_a^b v\,du$$It applies to products of unlike functions: a power times a logarithm, or a power times an exponential. Selection rule: put in $u$ what becomes simpler when differentiated — a logarithm turns into a power, and a power decreases. Exponentials and trigonometric functions never simplify; they go in $dv$.
Example. $\displaystyle\int_0^1 x e^x\,dx$. Take $u = x$ (it simplifies to one) and $dv = e^x dx$, so $v = e^x$:
$$\int_0^1 x e^x dx = xe^x\bigg|_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$$A sign of the wrong choiceIf you reverse the choice, $u = e^x$ and $dv = x\,dx$, the new integral contains $\frac{x^2}{2}e^x$, which is worse than the original. The new integral must be simpler than the old one. If it gets harder, do not persist — swap $u$ and $dv$.
When the integral returns to itself
For an exponential multiplied by sine or cosine, the $u$-selection rule does not work: neither factor simplifies. A double integration by parts returns the original integral — this is not a dead end but an equation.
Example. $\displaystyle I = \int_0^{+\infty}e^{-3x}\cos x\,dx$. Let the neighboring integral be $J = \int_0^{+\infty}e^{-3x}\sin x\,dx$ and integrate both by parts with $dv = e^{-3x}dx$, so $v = -\frac{e^{-3x}}{3}$. Boundary terms vanish at infinity because of $e^{-3T}$:
$$I = -\frac{e^{-3x}\cos x}{3}\bigg|_0^{+\infty} - \frac13\int_0^{+\infty}e^{-3x}\sin x\,dx = \frac13 - \frac{J}{3}$$$$J = -\frac{e^{-3x}\sin x}{3}\bigg|_0^{+\infty} + \frac13\int_0^{+\infty}e^{-3x}\cos x\,dx = \frac{I}{3}$$Substitute the second equation into the first: $I = \frac13 - \frac{I}{9}$, so $I = \frac{3}{10} = 0.3$.
What happened hereWe did not compute the integral directly — we formed an equation about it. This works whenever two integrations by parts return the original expression with a coefficient. The signal is an exponential multiplied by sine or cosine.
Question four: interval symmetry
Reflecting an interval$$\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^b f(a + b - x)\,dx$$The substitution $x \to a + b - x$ maps the interval to itself, so the number does not change.
The point is not to simplify the integrand but to obtain a second expression for the same number; add them, and the sum is often trivial. The simplest case is the interval $[-a, a]$ with an odd function: reflection gives $I = -I$, hence zero.
Example. $\displaystyle I = \int_0^{\pi/2}\sin^2 x\,dx$. Here $a + b - x = \frac\pi2 - x$, and $\sin\left(\frac\pi2 - x\right) = \cos x$, so $I = \int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,dx$. Add the two expressions for $I$ and use the fundamental identity:
$$2I = \int_0^{\pi/2}\left(\sin^2x + \cos^2x\right)dx = \int_0^{\pi/2}dx = \frac\pi2 \;\Longrightarrow\; I = \frac\pi4 \approx 0.7854$$How to recognize this techniqueAn absurd, “inhuman” parameter in the statement — $\sqrt2$, $2025$, an arbitrary $s$ — almost always means that the answer does not depend on it. Authors use such a parameter as a signal: calculating is pointless; look for symmetry.
Two formulas worth keeping ready
Beta and gamma$$\int_0^1 x^{a}(1-x)^{b}\,dx = \frac{a!\,b!}{(a+b+1)!}, \qquad \int_0^{+\infty}x^{n}e^{-x}\,dx = n!$$for nonnegative integers $a$, $b$, and $n$.
Check the first formula at $a = 2$, $b = 3$: it gives $\frac{2!\cdot 3!}{6!} = \frac{12}{720} = \frac{1}{60} \approx 0.0167$, while expanding the brackets gives $\frac13 - \frac34 + \frac35 - \frac16 = \frac{1}{60}$ — the same answer, but three times longer. The second formula is the $n$th moment of an exponential distribution, linking back to Day 4.
The other side of the day: slope and the angle between curves
The angle between curves is the angle between their tangents at an intersection point. In other words, this is a derivative problem, not an integral problem. The steps are:
- Find the intersection point — solve the curves’ system of equations; if there are several points, the statement identifies the one you need.
- Obtain the slopes $k_1$ and $k_2$ at that point. For a curve of the form $x = g(y)$, solve for $y$ and take the branch containing the point.
- Convert the slopes into an angle — this step is obtained from the tangent-difference formula.
Slope is the tangent of a line’s angle of inclination: $k_1 = \tan\alpha_1$, $k_2 = \tan\alpha_2$. Two intersecting lines form a pair of supplementary angles: one is $|\alpha_1 - \alpha_2|$, the other completes it to $\pi$. The angle between lines means the acute one, whose tangent is positive, so take the absolute value immediately, before any substitution:
$$\tan\varphi = \left|\tan(\alpha_1 - \alpha_2)\right| = \left|\frac{\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2}{1 + \tan\alpha_1\tan\alpha_2}\right| = \left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|$$The arctangent of a nonnegative number lies in $\left[0, \frac\pi2\right)$, so $\varphi = \arctan\left|\frac{k_1 - k_2}{1 + k_1k_2}\right|$ is the acute angle itself; there is no need to choose between supplementary angles.
Example. At what acute angle do $y = x^2$ and $y = x^3$ intersect at $(1,1)$? The slopes are $k_1 = 2x = 2$ and $k_2 = 3x^2 = 3$. Therefore
$$\tan\varphi = \left|\frac{2 - 3}{1 + 6}\right| = \frac17 \;\Longrightarrow\; \varphi = \arctan\frac17 \approx 0.1419$$A check without the formula, and a reminder about calculator modeThe same angle is the absolute difference of the inclination angles themselves: $|\arctan 2 - \arctan 3| = |1.1071 - 1.2490| = 0.1419$. Twenty seconds removes the risk of a tangent-formula error. The answer is requested in radians: math.atan and a calculator in RAD mode give radians; accidentally using degrees is the most frustrating loss in this problem.
What should stay in your head
- Look at an expression as the result of differentiation: chain rule, product rule, quotient rule — each leaves its own trace.
- After taking an integral, differentiate the answer; after making a substitution, recalculate the limits. Always, in one motion.
- By parts: put in $u$ what becomes simpler; the new integral must be simpler.
- Exponential times sine or cosine: integrate by parts twice and form an equation for the integral itself.
- An exceptional endpoint — an infinite boundary or a blow-up point — is immediately replaced by a letter; take the limit last, and use endpoint asymptotics to see convergence.
- Combine a difference of logarithms into one before taking the limit, or you will get $\infty - \infty$.
- An absurd parameter in the statement means you should look for interval symmetry, not an antiderivative.
- Angle between curves: intersection point, two slopes, tangent formula, answer in radians.