День 16 —, РасширениеExtension

Плотность, моменты и подстановочные оценкиDensity, moments, and plug-in estimates

Дополнительное занятие без календарной даты. Проходи после указанных предпосылок; основной календарь сохраняется.An additional session without a calendar date. Complete the stated prerequisites first; the core calendar is retained.

0% дня закрыто · решено задач 0 из 15

цель дня

Из данной плотности самостоятельно вывести момент, правдоподобие и CDF. Выбрать требуемый способ оценивания и получить медиану или другую квантиль подстановкой.

Independently derive a moment, likelihood, and CDF from a density. Choose the requested estimation method and obtain a median or another quantile by substitution.

Самостоятельные задачи

К концу дня нужно уметь решать эти задачи самостоятельно, без подсказок.

Y1604Уровень YMLSСамостоятельно: Метод моментовIndependent application: Method of momentsк задаче →Y1605Уровень YMLSСамостоятельно: Непрерывное правдоподобиеIndependent application: Continuous likelihoodк задаче →Y1606Уровень YMLSСамостоятельно: ПодстановкаIndependent application: Plug-in estimationк задаче →

Мост · что нужно вспомнить

Предпосылки — дни 8, 15. Если соответствующий приём не получается без подсказки, вернись к их базовым упражнениям. Затем прочитай новый урок до финалов. Двигайся по навыкам сверху вниз: сначала смысл объектов и простое действие, затем построение выражения и проверка, наконец самостоятельная сборка. В практике каждого метода соблюдай порядок ступеней 1–2 → 3 → 4.

Prerequisites: days 8, 15. If you cannot apply a prerequisite without a hint, return to its basic exercises. Read the new lesson before attempting the finals. Work through the skills from top to bottom: first identify the objects and perform a simple operation, then construct and check an expression, and finally combine the steps independently. Within each method, follow practice steps 1–2 → 3 → 4.

Вспомни вслух, до открытия конспектов:

Степенной интеграл, включая предел у нуля.Power integrals, including a limit at zero.
Правдоподобие и проверка максимума из дня 15.Likelihood and maximum checks from day 15.

Повторение прошлых дней

Карточки возвращаются через 1, 2, 4, 7, 14 и 21 день в зависимости от того, насколько уверенно ты их вспомнил; «не помню» отправляет карточку в начало. Это часть разогрева, вместе с блоком «Мост».

Комбинаторика день 1 осталось 107

Правило умножения: две оговорки, без которых оно не работает

The multiplication rule: two qualifications without which it does not work

Сначала сформулируй вслух. Попытка вспомнить закрепляет сильнее, чем чтение готового ответа.

5 задач: подборка покрывает темы и микронавыки последнего учебного дня (15), а для каждой идеи выбирает наиболее сильный доступный уровень. Здесь отдельная попытка: решение в исходном дне не подставляется. Сначала назови тему вслух, затем решай.

Собрать новый набор

Y1506Уровень YMLSСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $2,5,1,4$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $2,5,1,4$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{4}(1-p)^{8}$; $\ell(p)=4\ln p+8\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-8/(1-p)=0$, $\hat p=4/12=0.3333$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-8/(1-p)^2<0$: логарифм строго вогнут, поэтому стационарная точка — единственный максимум. Она лежит в $(0,1)$; на обоих концах $L$ стремится к нулю. В показателе $(1-p)$ считаем неудачи, а не все попытки.

$L(p)=p^{4}(1-p)^{8}$; $\ell(p)=4\ln p+8\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-8/(1-p)=0$, $\hat p=4/12=0.3333$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-8/(1-p)^2<0$: the log-likelihood is strictly concave, so the stationary point is the unique maximum. It lies in $(0,1)$; at both ends $L$ tends to zero. The exponent of $(1-p)$ counts failures, not all trials.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1505Уровень YMLSСтатистикаавторская

$X_1,\ldots,X_3$ независимы и одинаково распределены, $\E X_i=\mu$, $\Var(X_i)=9$. Докажите несмещённость $T=(-1X_1+2X_2+2X_3)/3$ и вычислите его дисперсию.

Доказательство запишите на бумаге; поле проверяет только число. После решения сверьте обоснование с разбором.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$X_1,\ldots,X_3$ are i.i.d., with $\E X_i=\mu$ and $\Var(X_i)=9$. Prove that $T=(-1X_1+2X_2+2X_3)/3$ is unbiased and calculate its variance.

Write the proof on paper; the answer field checks only the number. After solving, compare your reasoning with the explanation.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Для ожидания сложите веса, для дисперсии сложите квадраты нормированных весов.

For expectation, add the weights; for variance, add the squared normalized weights.

Решение / Solution

Сумма числителей весов равна $3$, поэтому $\E T=(3/3)\mu=\mu$ при любом $\mu$: оценка несмещённая. Независимость нужна во второй части: $\Var(T)=9\cdot((-1)^2+(2)^2+(2)^2)/3^2=9.0000$. Делитель тоже возводится в квадрат. Проверка: результат неотрицателен. Для самопроверки доказательства нужны линейность, сумма весов и равенство для всех значений параметра.

The weight numerators sum to $3$, so $\E T=(3/3)\mu=\mu$ for every $\mu$: the estimator is unbiased. Independence is used in the second part: $\Var(T)=9\cdot((-1)^2+(2)^2+(2)^2)/3^2=9.0000$. Square the denominator too. Check that the result is nonnegative. The proof checklist is linearity, the sum of weights, and equality for every parameter value.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1501БазаСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $1,2,3$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $1,2,3$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{3}(1-p)^{3}$; $\ell(p)=3\ln p+3\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=3/p-3/(1-p)=0$, $\hat p=3/6=0.5000$.

$\ell\prime\prime(p)=-3/p^2-3/(1-p)^2<0$: логарифм строго вогнут, поэтому стационарная точка — единственный максимум. Она лежит в $(0,1)$; на обоих концах $L$ стремится к нулю. В показателе $(1-p)$ считаем неудачи, а не все попытки.

$L(p)=p^{3}(1-p)^{3}$; $\ell(p)=3\ln p+3\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=3/p-3/(1-p)=0$, $\hat p=3/6=0.5000$.

$\ell\prime\prime(p)=-3/p^2-3/(1-p)^2<0$: the log-likelihood is strictly concave, so the stationary point is the unique maximum. It lies in $(0,1)$; at both ends $L$ tends to zero. The exponent of $(1-p)$ counts failures, not all trials.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1504Уровень YMLSСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $2,0,3,2$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $2,0,3,2$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{4}(1-p)^{7}$; $\ell(p)=4\ln p+7\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-7/(1-p)=0$, $\hat p=4/11=0.3636$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-7/(1-p)^2<0$: логарифм строго вогнут, поэтому стационарная точка — единственный максимум. Она лежит в $(0,1)$; на обоих концах $L$ стремится к нулю. В показателе $(1-p)$ считаем неудачи, а не все попытки.

$L(p)=p^{4}(1-p)^{7}$; $\ell(p)=4\ln p+7\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-7/(1-p)=0$, $\hat p=4/11=0.3636$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-7/(1-p)^2<0$: the log-likelihood is strictly concave, so the stationary point is the unique maximum. It lies in $(0,1)$; at both ends $L$ tends to zero. The exponent of $(1-p)$ counts failures, not all trials.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1502Уровень YMLSСтатистикаавторская

$X_1,\ldots,X_3$ независимы и одинаково распределены, $\E X_i=\mu$, $\Var(X_i)=4$. Докажите несмещённость $T=(1X_1+2X_2+1X_3)/4$ и вычислите его дисперсию.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$X_1,\ldots,X_3$ are i.i.d., with $\E X_i=\mu$ and $\Var(X_i)=4$. Prove that $T=(1X_1+2X_2+1X_3)/4$ is unbiased and calculate its variance.

Write the proof on paper; the answer field checks only the number. After solving, compare your reasoning with the explanation.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Для ожидания сложите веса, для дисперсии сложите квадраты нормированных весов.

For expectation, add the weights; for variance, add the squared normalized weights.

Решение / Solution

Сумма числителей весов равна $4$, поэтому $\E T=(4/4)\mu=\mu$ при любом $\mu$: оценка несмещённая. Независимость нужна во второй части: $\Var(T)=4\cdot((1)^2+(2)^2+(1)^2)/4^2=1.5000$. Делитель тоже возводится в квадрат. Проверка: результат неотрицателен. Для самопроверки доказательства нужны линейность, сумма весов и равенство для всех значений параметра.

The weight numerators sum to $4$, so $\E T=(4/4)\mu=\mu$ for every $\mu$: the estimator is unbiased. Independence is used in the second part: $\Var(T)=4\cdot((1)^2+(2)^2+(1)^2)/4^2=1.5000$. Square the denominator too. Check that the result is nonnegative. The proof checklist is linearity, the sum of weights, and equality for every parameter value.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

зачем это сегодня

Это расширение закрывает конкретные способы решения из образца Q1–Q18. Упоминание формулы в справочнике не заменяет её вывода и практики. Новые занятия не устанавливают дату экзамена или официальный регламент.

This extension addresses specific methods in the Q1–Q18 sample. A formula mentioned in a reference sheet does not replace derivation and practice. These sessions establish neither an exam date nor official exam rules.

Навыки по порядку

Тема разбита на отдельные навыки от простого к сложному. Для каждого указаны тренировочные задачи.

1ПлотностьDensityОт площади перейти к среднемуMove from area to a meanW1601 W1602 W1603
2Теоретический моментTheoretical momentУсреднить нужную степень по законуAverage the requested power under the modelW1603 B1604 Y1601
3Метод моментовMethod of momentsПриравнять теоретический момент наблюдённомуMatch a theoretical moment to its observed valueB1601 B1604 Y1601 Y1604
4Непрерывное правдоподобиеContinuous likelihoodПолучить параметр и проверить максимумEstimate the parameter and establish a maximumB1602 B1606 Y1602 Y1605
5Накопленная вероятностьCumulative probabilityИнтегрировать и обратить CDFIntegrate and invert the CDFW1602 B1603 Y1603 Y1606
6ПодстановкаPlug-in estimationСоединить оценивание и квантильCombine parameter estimation and quantilesB1605 Y1603 Y1606

Расписание

0:00–0:15ВспомнитьRecall Предпосылки и карточки без конспекта.Prerequisites and cards without notes.

0:15–1:15РазобратьStudy Урок, затем эталон с объяснением решений.Read the lesson, then explain the decisions in the model solution.

1:15–1:25ПерерывBreak Отойти от экрана.Step away from the screen.

1:25–2:40Построить мостBuild the bridge Ступени 1–3 по выбранному маршруту.Steps 1–3 of the selected route.

2:40–3:30ПрименитьApply Финалы без подсказок; численный мини-тест — до 20 минут.Finals without hints; allow up to 20 minutes for the numeric mini-test.

3:30–4:00ПроверитьCheck Проверки, карточки и журнал ошибок.Verification, cards, and the error journal.

Урок

разбираем с нуля

Что меняется для непрерывных наблюдений

В дне 15 мы строили правдоподобие из вероятностей отдельных значений. У непрерывной случайной величины вероятность любой одной точки равна нулю. Поэтому закон задаётся плотностью, а вероятность интервала — интегралом этой плотности.

$$P(a<X<b)=\int_a^b f(x;\theta)dx.$$

Плотность неотрицательна, а её интеграл по всей прямой равен $1$. Высота может быть больше $1$: у плотности $2x$ на $(0,1)$ высота при $x=0.75$ равна $1.5$, но площадь всего треугольника равна $1$. Не путайте высоту и площадь.

Рабочее семейство дня: $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$, ноль вне интервала, $\theta>-1$. Семейство означает, что каждому разрешённому параметру соответствует свой закон. Носитель у всех этих законов один.

Проверим, что это плотность. Коэффициент $\theta+1$ положителен; при $\theta>-1$ интеграл степенной функции у нуля сходится.

$$\int_0^1(\theta+1)x^\theta dx=[x^{\theta+1}]_0^1=1.$$

Отрицательная допустимая $\theta$ не означает отрицательную плотность. Например, при $\theta=-1/2$ плотность растёт у нуля, но её площадь остаётся конечной. Это знакомый по дню 8 несобственный интеграл.

Теоретический и выборочный моменты

Первый момент — математическое ожидание. Его теоретическое значение вычисляется по модели: $m_1(\theta)=\E_\theta X$. Выборочный первый момент — среднее наблюдений $\bar x$. Это разные объекты: первый зависит от неизвестного параметра, второй уже известен по данным.

Для непрерывной величины среднее вычисляем как взвешенную площадь: значения $x$ умножаются на плотность.

$$m_1(\theta)=\int_0^1 x(\theta+1)x^\theta dx=\frac{\theta+1}{\theta+2}.$$

Метод моментов приравнивает теоретический момент к выборочному. Это не равенство для каждой выборки по закону природы, а правило выбора параметра: подбираем модель, воспроизводящую наблюдённый момент.

$$\frac{\theta+1}{\theta+2}=\bar x\quad\Longrightarrow\quad\hat\theta_{\rm MM}=\frac{2\bar x-1}{1-\bar x}.$$

Например, при $\bar x=2/3$ уравнение даёт $\hat\theta=1$. Проверьте обратно: среднее плотности $2x$ равно $2/3$. Такой возврат к исходному уравнению проверяет и алгебру, и выбор момента.

Поскольку все наблюдения строго между $0$ и $1$, их среднее тоже внутри этого интервала. Тогда $\hat\theta+1=\bar x/(1-\bar x)>0$, то есть оценка допустима. Ровно $0$ или $1$ в данных противоречили бы указанному носителю, а не требовали бы механической подстановки в формулу.

Если дан другой момент

Момент порядка $r$ — это $\E X^r$, а выборочный момент — $\frac1n\sum_i x_i^r$. Для положительного целого $r$ тот же расчёт даёт

$$\E X^r=\int_0^1 x^r(\theta+1)x^\theta dx=\frac{\theta+1}{\theta+r+1}.$$

Например, если дано среднее квадратов $m_2$, решаем $(\theta+1)/(\theta+3)=m_2$. Не подставляем $m_2$ в формулу для среднего и не заменяем среднее квадратов квадратом среднего. У чисел $0.2,0.8$ среднее квадратов $0.34$, а квадрат среднего $0.25$.

Метод остаётся прежним для незнакомой степени: вычислить нужный теоретический момент, приравнять данному выборочному, решить и проверить область. Заучивать отдельную оценку для каждой степени не требуется.

Непрерывное правдоподобие

Почему можно перемножать плотности, если вероятность каждого точного наблюдения нулевая? Рассмотрим маленькие интервалы одинаковой ширины около наблюдений. Их совместная вероятность приближённо равна произведению плотностей, умноженному на общую степень ширины. Эта степень не зависит от параметра; сравнение моделей определяется произведением плотностей.

Для независимых наблюдений определяем $L(\theta)=\prod_i f(x_i;\theta)$. Это функция параметра при фиксированных данных; она сама не обязана быть ни вероятностью, ни плотностью параметра.

$$L(\theta)=(\theta+1)^n\prod_i x_i^\theta,\qquad\ell(\theta)=n\ln(\theta+1)+\theta s,\qquad s=\sum_i\ln x_i.$$

Все $x_i$ меньше $1$, поэтому $s<0$. Производная $\ell\prime=n/(\theta+1)+s$ обращается в ноль при $\hat\theta=-n/s-1$. Заметьте: здесь используется сумма логарифмов, а в методе первого момента — сумма самих наблюдений.

Вторая производная $\ell\prime\prime=-n/(\theta+1)^2<0$ на всей области. Кроме того, $\ell\to-\infty$ при $\theta\downarrow-1$ и при $\theta\to\infty$: в последнем случае отрицательное линейное слагаемое обгоняет логарифм. Значит найденный максимум единственный и глобальный.

Если закон записан как $f(x;\alpha)=\alpha x^{\alpha-1}$, $\alpha>0$, это то же семейство с $\alpha=\theta+1$. Нужно отвечать в параметре, который спрашивают. После замены $\hat\alpha=-n/s$, а вычитание единицы требуется только для $\theta$.

Плотность → CDF → квантиль

Функция распределения, по-английски CDF, определяется как $F(x)=P(X\le x)$. Она накапливает вероятность слева направо. В отличие от плотности, её значения всегда между $0$ и $1$.

$$F(x)=0\ (x\le0),\qquad F(x)=x^{\theta+1}\ (0<x<1),\qquad F(x)=1\ (x\ge1).$$

Средняя формула получена интегралом от $0$ до $x$. Две внешние части необходимы: ниже носителя вероятность ещё не накопилась, выше носителя она накопилась целиком. Проверки: непрерывность на границах, возрастание и производная $F\prime=f$ внутри интервала.

Квантиль уровня $r$ — порог, слева от которого накоплена доля $r$. В нашем непрерывном строго возрастающем случае она единственна и удовлетворяет $F(q_r)=r$, где $0<r<1$.

$$q_r=r^{1/(\theta+1)}.$$

Медиана — квантиль уровня $1/2$. Это не обязательно среднее и не точка, где плотность равна половине. Для плотности $2x$ среднее равно $2/3$, а медиана $\sqrt{1/2}$.

Подстановочная оценка

Когда параметр неизвестен, сначала выбираем метод его оценки. Затем в формулу интересующей характеристики подставляем оценку вместо параметра: $\hat q_r=r^{1/(\hat\theta+1)}$. Это подстановочная оценка, по-английски plug-in estimate.

Например, при $n=4$, $s=-4$ MLE даёт $\hat\theta=0$: оценённая модель равномерна. Её медиана $1/2$, квантиль уровня $0.8$ равна $0.8$. Проверка здесь особенно проста и помогает обнаружить ошибочную степень.

Не округляйте промежуточную оценку параметра до подстановки. Сохраняйте дробь или полную точность и округляйте только финальный ответ. Возврат $F_{\hat\theta}(\hat q_r)=r$ проверяет последнюю часть решения.

Как выбрать первый ход

«Метод моментов» требует интеграла для данного момента. «Максимальное правдоподобие» требует произведения плотностей и проверки максимума. «Медиана» требует CDF, затем уровня $1/2$. Если спрашивают оценку медианы, соедините эти действия именно в таком порядке: параметр → CDF → квантиль → подстановка.

What changes for continuous observations?

In day 15, we constructed likelihoods from probabilities of individual values. For a continuous random variable, each individual point has probability zero. Its distribution is therefore described by a density, and interval probabilities are integrals of that density.

$$P(a<X<b)=\int_a^b f(x;\theta)dx.$$

A density is nonnegative and integrates to $1$ over the whole real line. Its height may exceed $1$: the density $2x$ on $(0,1)$ has height $1.5$ at $x=0.75$, but the entire triangular area is $1$. Do not confuse height with area.

Our working family is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$, zero outside the interval, with $\theta>-1$. A family assigns a distribution to each allowed parameter value. All distributions in this family share the same support.

Check that this is a density. The coefficient $\theta+1$ is positive, and the power integral converges near zero when $\theta>-1$.

$$\int_0^1(\theta+1)x^\theta dx=[x^{\theta+1}]_0^1=1.$$

An allowed negative $\theta$ does not make the density negative. For example, at $\theta=-1/2$, the density grows near zero but still has finite area. This is the kind of improper integral introduced in day 8.

Theoretical and sample moments

The first moment is the expectation. Its theoretical value comes from the model: $m_1(\theta)=\E_\theta X$. The sample first moment is the observed mean $\bar x$. These are different objects: the former depends on an unknown parameter; the latter is already known from the data.

For a continuous variable, calculate the mean as a weighted integral: multiply each value $x$ by the density.

$$m_1(\theta)=\int_0^1 x(\theta+1)x^\theta dx=\frac{\theta+1}{\theta+2}.$$

Method of moments equates the theoretical moment to the sample moment. This is not a natural identity that holds for every sample; it is a rule for choosing a parameter so that the model reproduces an observed moment.

$$\frac{\theta+1}{\theta+2}=\bar x\quad\Longrightarrow\quad\hat\theta_{\rm MM}=\frac{2\bar x-1}{1-\bar x}.$$

For example, when $\bar x=2/3$, the equation gives $\hat\theta=1$. Check backward: the density $2x$ has mean $2/3$. Returning to the original equation checks both the algebra and the choice of moment.

All observations lie strictly between $0$ and $1$, so their mean does too. Then $\hat\theta+1=\bar x/(1-\bar x)>0$, making the estimate admissible. An exact $0$ or $1$ in the data would contradict the stated support; it would not call for mechanical substitution into the formula.

If a different moment is given

A moment of order $r$ is $\E X^r$, and its sample counterpart is $\frac1n\sum_i x_i^r$. For a positive integer $r$, the same calculation gives

$$\E X^r=\int_0^1 x^r(\theta+1)x^\theta dx=\frac{\theta+1}{\theta+r+1}.$$

For example, if the mean of squares is $m_2$, solve $(\theta+1)/(\theta+3)=m_2$. Do not insert $m_2$ into the mean formula or replace the mean of squares by the square of the mean. For the values $0.2,0.8$, the mean of squares is $0.34$, while the square of the mean is $0.25$.

An unfamiliar power uses the same method: calculate the required theoretical moment, equate it to the given sample moment, solve, and check the domain. You do not need a separate memorized estimator for every power.

Continuous likelihood

Why multiply densities when every exact observation has probability zero? Consider small intervals of equal width around the observations. Their joint probability is approximately the product of densities multiplied by a common power of the width. That width factor is independent of the parameter, so the product of densities determines the comparison between models.

For independent observations, define $L(\theta)=\prod_i f(x_i;\theta)$. It is a function of the parameter with the data held fixed; it need not be a probability or a density for the parameter.

$$L(\theta)=(\theta+1)^n\prod_i x_i^\theta,\qquad\ell(\theta)=n\ln(\theta+1)+\theta s,\qquad s=\sum_i\ln x_i.$$

Every $x_i$ is below $1$, so $s<0$. The derivative $\ell\prime=n/(\theta+1)+s$ vanishes at $\hat\theta=-n/s-1$. Notice the data summary: MLE uses the sum of logarithms, whereas first-moment matching uses the sum of observations themselves.

The second derivative $\ell\prime\prime=-n/(\theta+1)^2<0$ throughout the domain. Also, $\ell\to-\infty$ as $\theta\downarrow-1$ and as $\theta\to\infty$: in the latter case, the negative linear term eventually dominates the logarithm. The maximum is therefore unique and global.

If the model is written as $f(x;\alpha)=\alpha x^{\alpha-1}$, $\alpha>0$, it is the same family with $\alpha=\theta+1$. Answer in the requested parameter. The estimate is $\hat\alpha=-n/s$; subtract one only when estimating $\theta$.

Density → CDF → quantile

The cumulative distribution function, or CDF, is $F(x)=P(X\le x)$. It accumulates probability from left to right. Unlike a density, its values always lie between $0$ and $1$.

$$F(x)=0\ (x\le0),\qquad F(x)=x^{\theta+1}\ (0<x<1),\qquad F(x)=1\ (x\ge1).$$

The middle expression comes from integrating from $0$ to $x$. Both outer pieces matter: below the support no probability has accumulated; above it all probability has accumulated. Check continuity at the boundaries, monotonicity, and $F\prime=f$ inside the interval.

A quantile at level $r$ is a threshold with probability $r$ accumulated to its left. In this continuous, strictly increasing case it is unique and satisfies $F(q_r)=r$, where $0<r<1$.

$$q_r=r^{1/(\theta+1)}.$$

The median is the quantile at level $1/2$. It need not equal the mean, and it is not where the density equals one half. For the density $2x$, the mean is $2/3$, but the median is $\sqrt{1/2}$.

Plug-in estimation

When the parameter is unknown, first choose an estimation method. Then substitute its estimate into the formula for the desired characteristic: $\hat q_r=r^{1/(\hat\theta+1)}$. This is a plug-in estimate.

For example, with $n=4$, $s=-4$, MLE gives $\hat\theta=0$: the fitted model is uniform. Its median is $1/2$, and its quantile at level $0.8$ is $0.8$. This particularly simple check helps catch a wrong exponent.

Do not round the parameter estimate before substituting it. Keep a fraction or full precision and round only the final answer. Substituting back to check $F_{\hat\theta}(\hat q_r)=r$ verifies the last part of the solution.

Choosing the first move

“Method of moments” calls for an integral giving the specified moment. “Maximum likelihood” calls for a product of densities and a maximum check. “Median” calls for the CDF and then level $1/2$. To estimate a median, combine the steps in this order: parameter → CDF → quantile → substitution.

Признаки и действия

Слева — что заметить в условии. Справа — что сделать первым.

Увидел	Первый ход
Дана плотностьGiven a density	Выпиши носитель и проверь площадьState the support and check its integral
Метод моментовMethod of moments	Сначала вычисли теоретический моментCalculate the theoretical moment first
Среднее квадратовMean of squares	Используй момент второй степениUse the second moment
MLE непрерывного законаContinuous-model MLE	Перемножь плотности, затем логарифмируйMultiply densities, then take logarithms
МедианаMedian	Реши уравнение CDF на уровне $1/2$Solve the CDF equation at level $1/2$
Подстановочная оценкаPlug-in estimate	Подставь неокруглённый параметр в характеристикуSubstitute the unrounded parameter estimate into the characteristic

эталонная задача

Выбор метода и проверка результатаChoosing a method and checking the result

Условие. Для плотности $(\theta+1)x^\theta$ на $(0,1)$, $\theta>-1$, независимая выборка имеет $n=3$, $s=\sum\ln x_i=-6$. Найти подстановочную оценку медианы по MLE.

Выбор пути. Дана сумма логарифмов и требуется MLE: строим $L=(\theta+1)^3e^{-6\theta}$, $\ell=3\ln(\theta+1)-6\theta$. Это использует ровно доступные данные.

Найти и проверить параметр. $\ell\prime=3/(\theta+1)-6=0$ даёт $\hat\theta=-1/2>-1$. $\ell\prime\prime<0$ во всей области, а на концах $\ell$ уходит к $-\infty$. Найден единственный максимум, хотя параметр отрицателен.

Перейти к характеристике. Интеграл плотности до $x$ даёт $F(x)=x^{\theta+1}$. Медиана решает $m^{\theta+1}=1/2$, значит $\hat m=(1/2)^2=1/4$. Проверка: у оценённой модели $F(1/4)=\sqrt{1/4}=1/2$. Та же цепочка есть в b1603, y1603 и финале y1606.

Алгоритм

Выбери метод оценки по условию и восстанови параметр из данных.
Проверь его область и, для MLE, максимум.
Проинтегрируй плотность и реши уравнение CDF для нужного уровня.
Подставь неокруглённую оценку и проверь накопленную вероятность.

Problem. For the density $(\theta+1)x^\theta$ on $(0,1)$, $\theta>-1$, an independent sample has $n=3$ and $s=\sum\ln x_i=-6$. Find the plug-in median estimate based on MLE.

Choose a route. We are given a log sum and asked for MLE: construct $L=(\theta+1)^3e^{-6\theta}$ and $\ell=3\ln(\theta+1)-6\theta$. This uses exactly the available information.

Find and check the parameter. Solving $\ell\prime=3/(\theta+1)-6=0$ gives $\hat\theta=-1/2>-1$. Throughout the domain $\ell\prime\prime<0$, and at both ends $\ell$ tends to $-\infty$. This is the unique maximum, even though the parameter is negative.

Move to the characteristic. Integrating the density up to $x$ gives $F(x)=x^{\theta+1}$. The median solves $m^{\theta+1}=1/2$, so $\hat m=(1/2)^2=1/4$. Check: the fitted model has $F(1/4)=\sqrt{1/4}=1/2$. The same chain appears in b1603, y1603, and final y1606.

Algorithm

Use the requested estimation method to recover the parameter from the data.
Check its domain and, for MLE, the maximum.
Integrate the density and solve the CDF equation at the requested level.
Substitute the unrounded estimate and check the accumulated probability.

Дополнительные материалы

Другие объяснения и материалы по теме. Используй их, если основного урока недостаточно.

урокДень 8: предпосылкиDay 8: prerequisites RU/EN

Вернись к технике перед новой цепочкойRevisit the technique before the new chain

урокДень 15: предпосылкиDay 15: prerequisites RU/EN

Вернись к технике перед новой цепочкойRevisit the technique before the new chain

справочникКарта покрытия Q1–Q18Q1–Q18 coverage map RU/EN

Точные цепочки и порядок прохожденияExact chains and study order

как работать сегодня

Полный объём — 15 задач. Минимум — 9: b1601, b1602, b1603, y1601, y1602, y1603, y1604, y1605, y1606. Обязательные — 4: y1601, y1602, y1603, y1606.

Минимальный маршрут: прочитай весь урок и эталон; реши помеченные задачи по ступеням, сохраняя бумажное обоснование. Ступень 2 содержит самостоятельный вход в каждый новый основной метод. Разминку используй, если этот вход пока труден. Обязательные мосты сами по себе не заменяют полный минимум и финалы. После паузы открой свежую подборку повторения: её попытки отдельны от решений дня.

Full route: 15 problems. Minimum: 9: b1601, b1602, b1603, y1601, y1602, y1603, y1604, y1605, y1606. Mandatory bridges: 4: y1601, y1602, y1603, y1606.

Minimum route: read the whole lesson and model solution, then solve marked problems in step order, keeping written reasoning. Step 2 provides an accessible entry into every principal new method. Use the warm-ups if that entry is still difficult. Mandatory bridges alone do not replace the complete minimum and finals. After a break, open a fresh mixed review: its attempts are separate from day solutions.

полный объём

минимум

обязательные

Полный объём — все задачи ниже. Минимум — если день сорвался и часа осталось два. Обязательные — мосты к финальной задаче, они не пропускаются никогда.

Разминка

решено 0 из 3

Устно, за полминуты. Проверяет, что определение понято, а не выучено.

W1601Разминкаступень 1Статистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

При $\theta=1$ вычислите интеграл плотности по всей прямой. Ответ — целое число.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

At $\theta=1$, integrate the density over the whole real line. Enter an integer.

ответ

Подсказка / Hint

Вне носителя плотность нулевая.

The density is zero outside its support.

Решение / Solution

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x;1)dx=\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0^1=1$. Полная вероятность равна единице; это проверка нормировки.

$\int_{-\infty}^{\infty}f(x;1)dx=\int_0^1 2x\,dx=[x^2]_0^1=1$. Total probability is one; this checks normalization.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W1602Разминкаступень 1Статистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

При $\theta=1$ найдите $P(X\le1/2)$.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

At $\theta=1$, find $P(X\le1/2)$.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Вероятность — площадь до заданной точки, а не высота плотности.

Probability is the area up to the point, not the height of the density.

Решение / Solution

$P(X\le1/2)=\int_0^{1/2}2x\,dx=[x^2]_0^{1/2}=1/4$. Значение плотности в точке не является вероятностью этой точки.

$P(X\le1/2)=\int_0^{1/2}2x\,dx=[x^2]_0^{1/2}=1/4$. A density value is not the probability of that single point.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W1603Разминкаступень 1Статистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

При $\theta=1$ вычислите $\E X$ интегрированием.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

At $\theta=1$, calculate $\E X$ by integration.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

В формуле среднего плотность умножается на значение переменной.

In the mean integral, multiply the density by the variable.

Решение / Solution

$\E X=\int_0^1 x\cdot2x\,dx=[2x^3/3]_0^1=2/3$. Это теоретический первый момент, вычисленный по закону, а не по выборке.

$\E X=\int_0^1 x\cdot2x\,dx=[2x^3/3]_0^1=2/3$. This is the theoretical first moment, calculated from the distribution rather than from a sample.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

База

решено 0 из 6

Чистая техника без сюрпризов. Здесь нарабатывается автоматизм.

B1601Базаступень 2минимумСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Выборочное среднее равно $0.6$. Вычислите теоретический первый момент и найдите оценку $\theta$ методом моментов.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

The sample mean is $0.6$. Calculate the theoretical first moment and find the method-of-moments estimate of $\theta$.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Сначала интеграл для среднего, затем уравнение с выборочным средним.

First integrate to get the mean, then equate it to the sample mean.

Решение / Solution

$\E_\theta X=\int_0^1 x(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+2)$. Подставляем выборочное среднее: $(\theta+1)/(\theta+2)=0.6$. Умножаем на ненулевое $\theta+2$ и решаем: $\hat\theta=0.5000$. Значение больше $-1$, а восстановленное среднее совпадает с данным. Это метод моментов; правдоподобие здесь не максимизируется.

$\E_\theta X=\int_0^1 x(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+2)$. Equate this to the sample mean: $(\theta+1)/(\theta+2)=0.6$. Multiply by the nonzero $\theta+2$ and solve: $\hat\theta=0.5000$. It is greater than $-1$, and substituting it back reproduces the given mean. This is method of moments; no likelihood is maximized.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1602Базаступень 2минимумСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Независимая одинаково распределённая выборка имеет объём $3$; $\sum_i\ln X_i=-2$.

Найдите MLE параметра и обоснуйте глобальный максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

An i.i.d. sample has size $3$, with $\sum_i\ln X_i=-2$.

Find the parameter MLE and justify a global maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите произведение плотностей и его логарифм. Для квантили сначала нужно накопить вероятность интегралом.

Write the product of densities and its logarithm. For a quantile, first accumulate probability by integration.

Решение / Solution

Перемножаем плотности наблюдений: $L(\theta)=(\theta+1)^{3}\exp(-2\theta)$. Логарифм $\ell=3\ln(\theta+1)+(-2)\theta$ имеет производную $3/(\theta+1)+(-2)$. Приравнивая её нулю, получаем $\hat\theta=0.5000$. Вторая производная $-3/(\theta+1)^2<0$: функция строго вогнута на $\theta>-1$. Логарифм стремится к $-\infty$ при приближении к $-1$ и на бесконечности, так что максимум глобальный.

Multiply the observation densities: $L(\theta)=(\theta+1)^{3}\exp(-2\theta)$. Its logarithm $\ell=3\ln(\theta+1)+(-2)\theta$ has derivative $3/(\theta+1)+(-2)$. Setting it to zero gives $\hat\theta=0.5000$. The second derivative is $-3/(\theta+1)^2<0$, so the function is strictly concave on $\theta>-1$. The log-likelihood tends to $-\infty$ both near $-1$ and at infinity, establishing a global maximum.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1603Базаступень 2минимумСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

При $\theta=1$ выведите CDF на всей прямой и найдите квантиль уровня $0.25$.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

At $\theta=1$, derive the CDF on the whole real line and find the quantile at level $0.25$.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Проинтегрируйте плотность до переменной границы, затем решите уравнение для площади.

Integrate the density up to a variable endpoint, then solve the equation for the accumulated area.

Решение / Solution

$F(x)=0$ при $x\le0$, $F(x)=x^{2}$ при $0<x<1$, $F(x)=1$ при $x\ge1$. Функция непрерывна и возрастает внутри носителя. Решаем $q^{2}=0.25$: $q=0.5000$. Уровень $0.5$ соответствует медиане.

$F(x)=0$ for $x\le0$, $F(x)=x^{2}$ for $0<x<1$, and $F(x)=1$ for $x\ge1$. It is continuous and increasing inside the support. Solve $q^{2}=0.25$ to obtain $q=0.5000$. Level $0.5$ gives the median.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1604Базаступень 2Статистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Дан выборочный момент $\frac1n\sum_i X_i^2=0.5$. Вычислите $\E X^2$ и найдите оценку $\theta$ методом этого момента.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

The sample moment is $\frac1n\sum_i X_i^2=0.5$. Calculate $\E X^2$ and estimate $\theta$ by matching this moment.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Интегрируйте плотность с множителем, соответствующим данной степени.

Multiply the density by the given power before integrating.

Решение / Solution

$\E X^2=\int_0^1 x^2(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+3)$. Приравниваем к $0.5$, умножаем на знаменатель и получаем $\hat\theta=1.0000>-1$. Это среднее степеней, а не степень выборочного среднего; подменять одно другим нельзя. Подстановка в теоретический момент восстанавливает $0.5$.

$\E X^2=\int_0^1 x^2(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+3)$. Equate it to $0.5$ and multiply by the denominator to obtain $\hat\theta=1.0000>-1$. This uses the mean of powers, not the power of the sample mean; these are different. Substitution into the theoretical moment reproduces $0.5$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1605Базаступень 2Статистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Независимая одинаково распределённая выборка имеет объём $2$; $\sum_i\ln X_i=-2$.

Найдите MLE параметра, выведите CDF и получите подстановочную оценку квантили уровня $0.5$. Введите только оценку квантили.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

An i.i.d. sample has size $2$, with $\sum_i\ln X_i=-2$.

Find the parameter MLE, derive the CDF, and obtain the plug-in estimate of the quantile at level $0.5$. Enter only the quantile estimate.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Write the product of densities and its logarithm. For a quantile, first accumulate probability by integration.

Решение / Solution

Перемножаем плотности наблюдений: $L(\theta)=(\theta+1)^{2}\exp(-2\theta)$. Логарифм $\ell=2\ln(\theta+1)+(-2)\theta$ имеет производную $2/(\theta+1)+(-2)$. Приравнивая её нулю, получаем $\hat\theta=0.0000$. Вторая производная $-2/(\theta+1)^2<0$: функция строго вогнута на $\theta>-1$. Логарифм стремится к $-\infty$ при приближении к $-1$ и на бесконечности, так что максимум глобальный.

Интегрируя плотность, получаем $F(x)=x^{\theta+1}$ внутри носителя, $0$ при $x\le0$ и $1$ при $x\ge1$. Квантиль удовлетворяет $F(q)=0.5$, значит $q=0.5^{1/(\theta+1)}$. Подставляем именно неокруглённую оценку параметра: $\hat q=0.5000$. Проверка: $0<\hat q<1$, и CDF в этой точке даёт нужный уровень.

Multiply the observation densities: $L(\theta)=(\theta+1)^{2}\exp(-2\theta)$. Its logarithm $\ell=2\ln(\theta+1)+(-2)\theta$ has derivative $2/(\theta+1)+(-2)$. Setting it to zero gives $\hat\theta=0.0000$. The second derivative is $-2/(\theta+1)^2<0$, so the function is strictly concave on $\theta>-1$. The log-likelihood tends to $-\infty$ both near $-1$ and at infinity, establishing a global maximum.

Integrating the density gives $F(x)=x^{\theta+1}$ inside the support, $0$ for $x\le0$, and $1$ for $x\ge1$. A quantile satisfies $F(q)=0.5$, hence $q=0.5^{1/(\theta+1)}$. Substitute the unrounded parameter estimate: $\hat q=0.5000$. Check that $0<\hat q<1$ and the CDF at this point equals the required level.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1606Базаступень 2Статистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Независимая одинаково распределённая выборка имеет объём $2$; $\sum_i\ln X_i=-8$.

Найдите MLE параметра и обоснуйте глобальный максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

An i.i.d. sample has size $2$, with $\sum_i\ln X_i=-8$.

Find the parameter MLE and justify a global maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Write the product of densities and its logarithm. For a quantile, first accumulate probability by integration.

Решение / Solution

Перемножаем плотности наблюдений: $L(\theta)=(\theta+1)^{2}\exp(-8\theta)$. Логарифм $\ell=2\ln(\theta+1)+(-8)\theta$ имеет производную $2/(\theta+1)+(-8)$. Приравнивая её нулю, получаем $\hat\theta=-0.7500$. Вторая производная $-2/(\theta+1)^2<0$: функция строго вогнута на $\theta>-1$. Логарифм стремится к $-\infty$ при приближении к $-1$ и на бесконечности, так что максимум глобальный.

Multiply the observation densities: $L(\theta)=(\theta+1)^{2}\exp(-8\theta)$. Its logarithm $\ell=2\ln(\theta+1)+(-8)\theta$ has derivative $2/(\theta+1)+(-8)$. Setting it to zero gives $\hat\theta=-0.7500$. The second derivative is $-2/(\theta+1)^2<0$, so the function is strictly concave on $\theta>-1$. The log-likelihood tends to $-\infty$ both near $-1$ and at infinity, establishing a global maximum.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Уровень YMLS

решено 0 из 5

Целевая сложность вступительного экзамена. Ответ — число.

Y1601Уровень YMLSступень 3обязательнаяСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Дан выборочный момент $\frac1n\sum_i X_i^2=0.6$. Вычислите $\E X^2$ и найдите оценку $\theta$ методом этого момента.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

The sample moment is $\frac1n\sum_i X_i^2=0.6$. Calculate $\E X^2$ and estimate $\theta$ by matching this moment.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Интегрируйте плотность с множителем, соответствующим данной степени.

Multiply the density by the given power before integrating.

Решение / Solution

$\E X^2=\int_0^1 x^2(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+3)$. Приравниваем к $0.6$, умножаем на знаменатель и получаем $\hat\theta=2.0000>-1$. Это среднее степеней, а не степень выборочного среднего; подменять одно другим нельзя. Подстановка в теоретический момент восстанавливает $0.6$.

$\E X^2=\int_0^1 x^2(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+3)$. Equate it to $0.6$ and multiply by the denominator to obtain $\hat\theta=2.0000>-1$. This uses the mean of powers, not the power of the sample mean; these are different. Substitution into the theoretical moment reproduces $0.6$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1602Уровень YMLSступень 3обязательнаяСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Независимая одинаково распределённая выборка имеет объём $6$; $\sum_i\ln X_i=-3$.

Найдите MLE параметра и обоснуйте глобальный максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

An i.i.d. sample has size $6$, with $\sum_i\ln X_i=-3$.

Find the parameter MLE and justify a global maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Write the product of densities and its logarithm. For a quantile, first accumulate probability by integration.

Решение / Solution

Перемножаем плотности наблюдений: $L(\theta)=(\theta+1)^{6}\exp(-3\theta)$. Логарифм $\ell=6\ln(\theta+1)+(-3)\theta$ имеет производную $6/(\theta+1)+(-3)$. Приравнивая её нулю, получаем $\hat\theta=1.0000$. Вторая производная $-6/(\theta+1)^2<0$: функция строго вогнута на $\theta>-1$. Логарифм стремится к $-\infty$ при приближении к $-1$ и на бесконечности, так что максимум глобальный.

Multiply the observation densities: $L(\theta)=(\theta+1)^{6}\exp(-3\theta)$. Its logarithm $\ell=6\ln(\theta+1)+(-3)\theta$ has derivative $6/(\theta+1)+(-3)$. Setting it to zero gives $\hat\theta=1.0000$. The second derivative is $-6/(\theta+1)^2<0$, so the function is strictly concave on $\theta>-1$. The log-likelihood tends to $-\infty$ both near $-1$ and at infinity, establishing a global maximum.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1603Уровень YMLSступень 3обязательнаяСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Независимая одинаково распределённая выборка имеет объём $4$; $\sum_i\ln X_i=-2$.

Найдите MLE параметра, выведите CDF и получите подстановочную оценку квантили уровня $0.75$. Введите только оценку квантили.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

An i.i.d. sample has size $4$, with $\sum_i\ln X_i=-2$.

Find the parameter MLE, derive the CDF, and obtain the plug-in estimate of the quantile at level $0.75$. Enter only the quantile estimate.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Write the product of densities and its logarithm. For a quantile, first accumulate probability by integration.

Решение / Solution

Перемножаем плотности наблюдений: $L(\theta)=(\theta+1)^{4}\exp(-2\theta)$. Логарифм $\ell=4\ln(\theta+1)+(-2)\theta$ имеет производную $4/(\theta+1)+(-2)$. Приравнивая её нулю, получаем $\hat\theta=1.0000$. Вторая производная $-4/(\theta+1)^2<0$: функция строго вогнута на $\theta>-1$. Логарифм стремится к $-\infty$ при приближении к $-1$ и на бесконечности, так что максимум глобальный.

Интегрируя плотность, получаем $F(x)=x^{\theta+1}$ внутри носителя, $0$ при $x\le0$ и $1$ при $x\ge1$. Квантиль удовлетворяет $F(q)=0.75$, значит $q=0.75^{1/(\theta+1)}$. Подставляем именно неокруглённую оценку параметра: $\hat q=0.8660$. Проверка: $0<\hat q<1$, и CDF в этой точке даёт нужный уровень.

Multiply the observation densities: $L(\theta)=(\theta+1)^{4}\exp(-2\theta)$. Its logarithm $\ell=4\ln(\theta+1)+(-2)\theta$ has derivative $4/(\theta+1)+(-2)$. Setting it to zero gives $\hat\theta=1.0000$. The second derivative is $-4/(\theta+1)^2<0$, so the function is strictly concave on $\theta>-1$. The log-likelihood tends to $-\infty$ both near $-1$ and at infinity, establishing a global maximum.

Integrating the density gives $F(x)=x^{\theta+1}$ inside the support, $0$ for $x\le0$, and $1$ for $x\ge1$. A quantile satisfies $F(q)=0.75$, hence $q=0.75^{1/(\theta+1)}$. Substitute the unrounded parameter estimate: $\hat q=0.8660$. Check that $0<\hat q<1$ and the CDF at this point equals the required level.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1604Уровень YMLSступень 4минимумСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Выборочное среднее равно $0.4$. Вычислите теоретический первый момент и найдите оценку $\theta$ методом моментов.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

The sample mean is $0.4$. Calculate the theoretical first moment and find the method-of-moments estimate of $\theta$.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Сначала интеграл для среднего, затем уравнение с выборочным средним.

First integrate to get the mean, then equate it to the sample mean.

Решение / Solution

$\E_\theta X=\int_0^1 x(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+2)$. Подставляем выборочное среднее: $(\theta+1)/(\theta+2)=0.4$. Умножаем на ненулевое $\theta+2$ и решаем: $\hat\theta=-0.3333$. Значение больше $-1$, а восстановленное среднее совпадает с данным. Это метод моментов; правдоподобие здесь не максимизируется.

$\E_\theta X=\int_0^1 x(\theta+1)x^\theta dx=(\theta+1)/(\theta+2)$. Equate this to the sample mean: $(\theta+1)/(\theta+2)=0.4$. Multiply by the nonzero $\theta+2$ and solve: $\hat\theta=-0.3333$. It is greater than $-1$, and substituting it back reproduces the given mean. This is method of moments; no likelihood is maximized.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1605Уровень YMLSступень 4минимумСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Независимая одинаково распределённая выборка имеет объём $8$; $\sum_i\ln X_i=-10$.

Найдите MLE параметра и обоснуйте глобальный максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

An i.i.d. sample has size $8$, with $\sum_i\ln X_i=-10$.

Find the parameter MLE and justify a global maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Write the product of densities and its logarithm. For a quantile, first accumulate probability by integration.

Решение / Solution

Перемножаем плотности наблюдений: $L(\theta)=(\theta+1)^{8}\exp(-10\theta)$. Логарифм $\ell=8\ln(\theta+1)+(-10)\theta$ имеет производную $8/(\theta+1)+(-10)$. Приравнивая её нулю, получаем $\hat\theta=-0.2000$. Вторая производная $-8/(\theta+1)^2<0$: функция строго вогнута на $\theta>-1$. Логарифм стремится к $-\infty$ при приближении к $-1$ и на бесконечности, так что максимум глобальный.

Multiply the observation densities: $L(\theta)=(\theta+1)^{8}\exp(-10\theta)$. Its logarithm $\ell=8\ln(\theta+1)+(-10)\theta$ has derivative $8/(\theta+1)+(-10)$. Setting it to zero gives $\hat\theta=-0.2000$. The second derivative is $-8/(\theta+1)^2<0$, so the function is strictly concave on $\theta>-1$. The log-likelihood tends to $-\infty$ both near $-1$ and at infinity, establishing a global maximum.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Мини-тест под таймером

20 минут

Одна задача, таймер идёт, подсказки и решение не открываются до истечения времени. Это тренировка не математики, а поведения под давлением.

Y1606Уровень YMLSступень 4обязательнаяСтатистикаавторская

Плотность равна $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ при $0<x<1$ и нулю вне этого интервала; $\theta>-1$.

Независимая одинаково распределённая выборка имеет объём $5$; $\sum_i\ln X_i=-3$.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The density is $f(x;\theta)=(\theta+1)x^\theta$ for $0<x<1$ and zero outside this interval; $\theta>-1$.

An i.i.d. sample has size $5$, with $\sum_i\ln X_i=-3$.

Find the parameter MLE, derive the CDF, and obtain the plug-in estimate of the quantile at level $0.5$. Enter only the quantile estimate.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Write the product of densities and its logarithm. For a quantile, first accumulate probability by integration.

Решение / Solution

Перемножаем плотности наблюдений: $L(\theta)=(\theta+1)^{5}\exp(-3\theta)$. Логарифм $\ell=5\ln(\theta+1)+(-3)\theta$ имеет производную $5/(\theta+1)+(-3)$. Приравнивая её нулю, получаем $\hat\theta=0.6667$. Вторая производная $-5/(\theta+1)^2<0$: функция строго вогнута на $\theta>-1$. Логарифм стремится к $-\infty$ при приближении к $-1$ и на бесконечности, так что максимум глобальный.

Интегрируя плотность, получаем $F(x)=x^{\theta+1}$ внутри носителя, $0$ при $x\le0$ и $1$ при $x\ge1$. Квантиль удовлетворяет $F(q)=0.5$, значит $q=0.5^{1/(\theta+1)}$. Подставляем именно неокруглённую оценку параметра: $\hat q=0.6598$. Проверка: $0<\hat q<1$, и CDF в этой точке даёт нужный уровень.

Multiply the observation densities: $L(\theta)=(\theta+1)^{5}\exp(-3\theta)$. Its logarithm $\ell=5\ln(\theta+1)+(-3)\theta$ has derivative $5/(\theta+1)+(-3)$. Setting it to zero gives $\hat\theta=0.6667$. The second derivative is $-5/(\theta+1)^2<0$, so the function is strictly concave on $\theta>-1$. The log-likelihood tends to $-\infty$ both near $-1$ and at infinity, establishing a global maximum.

Integrating the density gives $F(x)=x^{\theta+1}$ inside the support, $0$ for $x\le0$, and $1$ for $x\ge1$. A quantile satisfies $F(q)=0.5$, hence $q=0.5^{1/(\theta+1)}$. Substitute the unrounded parameter estimate: $\hat q=0.6598$. Check that $0<\hat q<1$ and the CDF at this point equals the required level.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

день закрыт, когда

В каждой задаче минимума до вычислений записан первый ход и причина выбора.In every minimum-route problem, write the first move and its reason before calculating.

Все обязательные мосты решены без подсказок; после ошибки метод восстановлен самостоятельно.Solve every mandatory bridge without hints; after an error, reconstruct the method independently.

Все три финала решены без решения перед глазами; численный результат проверен другим способом.Solve all three finals without viewing solutions and check each numerical result another way.

Для каждого финала объяснено, что изменится при изменении одной предпосылки.For each final, explain what would change if one assumption changed.

В доказательных задачах проверены область, ключевое равенство и вывод; числовая галочка не считается проверкой доказательства.For proof tasks, check the domain, key identity, and conclusion; a numeric checkmark does not certify a proof.

аудит дня

Запиши в заметку конкретную ошибку, её причину и проверку, которая могла её поймать. При неверном финале вернись к мосту того же метода; повтори на новой попытке после паузы. Сохрани доказательства на бумаге и проверь их по пунктам разбора.

Record the specific error, its cause, and a check that could have caught it. After a failed final, return to the bridge for the same method and retry in a fresh attempt after a break. Keep written proofs and compare them with the explanation checklist.

заметка дня

Открыть журнал ошибок

← Выборка, правдоподобие и качество оценкиSamples, likelihood, and estimator quality Источник, таблица и запрет соседстваSources, count tables, and nonadjacent arrangements →