День 07 28 августа, пятница КонтрольControl

Мок № 1 и холодный разборMock No. 1 and a cold review

Дефицит времени сделан нарочно: сегодня измеряется не то, что ты знаешь, а то, как ты себя ведёшь под таймеромThe time shortage is deliberate: today measures not what you know, but how you behave under a timer

0% дня закрыто

цель дня

К вечеру ты умеешь за десять минут превратить восемь незнакомых задач в план: метка, оценка, слово темы, порядок. И знаешь три своих числа — сколько минут съела самая дорогая задача, во сколько раз ты промахнулся в оценке времени и какой из трёх типов ошибок у тебя главный. Проверка дня — не количество решённых задач, а соблюдённый протокол.

By the end of the day, you can turn eight unfamiliar problems into a plan in ten minutes: label, estimate, topic word, order. You will also know three numbers of your own — how many minutes your most expensive problem consumed, how much you missed in your time estimate, and which of the three error types is your main one. Today’s check is not the number of problems solved, but whether you followed the protocol.

Мост · что нужно вспомнить

Мок собран так, чтобы задеть каждый из шести пройденных дней: пять приёмов счёта первого, модель исхода и счёт дополнения второго, дерево гипотез и разворот условия третьего, индикаторы и линейность четвёртого, поведение после посчитанной производной пятого, лист асимптотик шестого. Ни одна задача при этом не подписана темой — и в этом весь смысл.

Смешанная практика закрепляет прочнее блочной именно потому, что заставляет сначала распознать тип задачи и только потом применять метод. Когда весь день решаешь пределы, распознавать не нужно, и возникает иллюзия владения: рука помнит, а голова не выбирает. На экзамене выбирать приходится восемь раз подряд, и этот выбор — отдельный навык, который до сегодняшнего дня не тренировался ни разу.

Отсюда жёсткое требование к сегодняшнему моку: перед каждой задачей сначала произнеси одним словом её тему и только потом бери ручку. Не «примерно понял, о чём это», а именно слово. Не находится слово — задача не готова к решению, сколько бы знакомой она ни выглядела.

The mock is designed to touch all six days covered so far: five counting techniques from Day 1, the outcome model and complement counting from Day 2, the hypothesis tree and reversing the condition from Day 3, indicators and linearity from Day 4, what to do after computing a derivative from Day 5, and the asymptotics sheet from Day 6. None of the problems is labeled with its topic — that is the whole point.

Mixed practice builds skill more firmly than block practice precisely because it forces you to recognize the problem type before applying a method. When you spend an entire day on limits, there is no need to recognize them, and an illusion of mastery appears: your hand remembers, but your mind does not choose. On the exam you must choose eight times in a row, and that choice is a separate skill that has not been trained until today.

That is why today’s mock has one strict requirement: before each problem, say its topic in one word, and only then pick up the pen. Not “I roughly understand what this is about,” but one exact word. If you cannot find the word, the problem is not ready to solve, however familiar it looks.

Вспомни вслух, до открытия конспектов:

День 1: правило умножения — числа вариантов на шагах перемножаются, а оговорка «при каждом» проверяется на каждой позиции отдельноDay 1: the multiplication rule — multiply the numbers of choices at each step, and check the phrase “for each” separately at every position
День 1: $\binom{n}{k}$ — выбор без порядка, $n!$ — все перестановки, деление на кратность снимает повторыDay 1: $\binom{n}{k}$ means choosing without order, $n!$ means all permutations, and dividing by multiplicity removes duplicates
День 2: вероятность равновозможного исхода есть доля; «хотя бы один» считается через противоположное событиеDay 2: the probability of an equally likely outcome is a fraction; “at least one” is counted through the complementary event
День 3: формула Байеса — доля одной ветки в сумме веток; при равных априорных вероятностях они сокращаютсяDay 3: Bayes’ formula is one branch divided by the sum of the branches; with equal prior probabilities, they cancel
День 4: линейность матожидания $\E(X + Y) = \E X + \E Y$ верна без всякой независимости; индикатор вешается на тот объект, который считаютDay 4: linearity of expectation $\E(X + Y) = \E X + \E Y$ holds without any independence; attach an indicator to the object you are counting
День 5: производная частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$; минимум — там, где производная меняет знак с минуса на плюсDay 5: the derivative of a quotient $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$; a minimum occurs where the derivative changes sign from negative to positive
День 6: первые строки листа асимптотик, в первую очередь $e^{u} = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$ и $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$Day 6: the first lines of the asymptotics sheet, especially $e^{u} = 1 + u + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$ and $\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + o(u^2)$
Формат ответа: четыре знака после запятой, точка как разделитель, без пробелов и единиц; целые — без десятичной частиAnswer format: four digits after the decimal point, a period as separator, no spaces or units; integers have no decimal part
Python на онлайн-этапе разрешён: перебор, рекуррента и Монте-Карло дают полноценный числовой ответPython is allowed in the online round: enumeration, recurrences, and Monte Carlo can all produce a complete numerical answer

Повторение прошлых дней

Карточки возвращаются через 1, 2, 4, 7, 14 и 21 день в зависимости от того, насколько уверенно ты их вспомнил; «не помню» отправляет карточку в начало. Это часть разогрева, вместе с блоком «Мост».

Комбинаторика день 1 осталось 59

Правило умножения: две оговорки, без которых оно не работает

The multiplication rule: two qualifications without which it does not work

Сначала сформулируй вслух. Попытка вспомнить закрепляет сильнее, чем чтение готового ответа.

5 задач: подборка покрывает темы и микронавыки последнего учебного дня (6), а для каждой идеи выбирает наиболее сильный доступный уровень. Здесь отдельная попытка: решение в исходном дне не подставляется. Сначала назови тему вслух, затем решай.

Собрать новый набор

Y0602Уровень YMLSМатанализуровень YMLS

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sin x} - e^{\tan x}}{x^{3}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sin x} - e^{\tan x}}{x^{3}}$. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Вынеси общий множитель, чтобы получить $e^{u} - 1$, и только потом раскладывай.

Factor out a common term to obtain $e^{u} - 1$, and only then expand.

Решение / Solution

Шаг 1. Вынести общий множитель.

$$e^{\sin x} - e^{\tan x} = e^{\tan x}\left(e^{\sin x - \tan x} - 1\right)$$

Шаг 2. Оценить множитель. При $x \to 0$ имеем $\tan x \to 0$, значит $e^{\tan x} \to 1$: на ответ он не влияет.

Шаг 3. Разложить показатель. Знаменатель порядка $x^{3}$, значит показатель нужен с точностью $x^{3}$. Собираем его из двух строк листа:

$$\sin x - \tan x = \left(x - \frac{x^{3}}{6}\right) - \left(x + \frac{x^{3}}{3}\right) + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Шаг 4. Внешняя функция от малого. Показатель стремится к нулю, значит $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})}{x^{3}} = -\frac12 = -0.5$$

Почему вынесение обязательно

Без него пришлось бы раскладывать $e^{\sin x}$ и $e^{\tan x}$ по отдельности до третьей степени — это две композиции рядов, вдвое больше работы и вдвое больше шансов ошибиться. Вынесение сводит задачу к одному эквиваленту $e^{u} - 1 \sim u$. Тот же ход отработан на мосте b0606.

Численная сверка: при $x = 0.01$ дробь равна $-0.5050$ — ползёт к $-0.5$.

Step 1. Factor out a common term.

$$e^{\sin x} - e^{\tan x} = e^{\tan x}\left(e^{\sin x - \tan x} - 1\right)$$

Step 2. Evaluate the factor. As $x \to 0$, we have $\tan x \to 0$, so $e^{\tan x} \to 1$; it does not affect the answer.

Step 3. Expand the exponent. The denominator is of order $x^{3}$, so the exponent must be known through order $x^{3}$. Assemble it from two reference-sheet formulas:

$$\sin x - \tan x = \left(x - \frac{x^{3}}{6}\right) - \left(x + \frac{x^{3}}{3}\right) + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Step 4. Apply the outer function to a small quantity. The exponent tends to zero, so $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})}{x^{3}} = -\frac12 = -0.5$$

Why factoring is essential

Without it, we would have to expand $e^{\sin x}$ and $e^{\tan x}$ separately through the third degree. That means composing two pairs of series—twice the work and twice the opportunity for error. Factoring reduces the problem to the single equivalence $e^{u} - 1 \sim u$. The same technique was practiced in bridge problem b0606.

Numerical check: at $x = 0.01$, the fraction equals $-0.5050$, approaching $-0.5$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0603Уровень YMLSМатанализуровень YMLS

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x}$. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Перепиши степень через экспоненту и заметь, что показатель стремится не к нулю, а к единице.

Rewrite the power as an exponential and note that its exponent tends to one, not zero.

Решение / Solution

Шаг 1. Переменный показатель — сразу в экспоненту.

$$(1 + x)^{1/x} = \exp\left(\frac{\ln(1 + x)}{x}\right)$$

Шаг 2. Разложить показатель до второго члена. Знаменатель дроби имеет порядок $x$, значит показатель нужен с точностью до $x$. Он получается делением на $x$, поэтому логарифм нужен до $x^{2}$:

$$\frac{\ln(1 + x)}{x} = \frac{x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$$

Обрати внимание: показатель стремится к единице, а не к нулю. В этом вся особенность задачи — экспонента стремится к $e$, и нас интересует, с какой скоростью.

Шаг 3. Вынести $e$. Обозначим $u = -\frac{x}{2} + o(x)$; тогда $u \to 0$ и

$$(1 + x)^{1/x} = e^{1 + u} = e\,e^{u} \;\Longrightarrow\; (1 + x)^{1/x} - e = e\left(e^{u} - 1\right)$$

Шаг 4. Внешняя функция от малого. $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{e\left(-\frac{x}{2} + o(x)\right)}{x} = -\frac{e}{2} \approx -1.3591$$

Главная ловушка

Если оставить только первый член $\ln(1 + x) \approx x$, показатель станет ровно 1, выражение — ровно $e$, и получится $\frac{e - e}{x} = \frac00$: задача будто исчезает. Второй член разложения несёт здесь весь ответ.

Оба хода задачи отработаны по отдельности: «показатель получается делением на $x$, значит логарифм нужен на степень глубже» — это эталонная задача урока, а «показатель идёт к конечному числу, значит выносим $e$ и остаётся $e^{u} - 1$» — это мост b0604. Здесь они просто складываются.

Численная сверка: при $x = 0.001$ дробь равна $-1.3579$ и ползёт к $-1.3591$.

Step 1. Immediately rewrite the variable power as an exponential.

$$(1 + x)^{1/x} = \exp\left(\frac{\ln(1 + x)}{x}\right)$$

Step 2. Expand the exponent through its second term. The denominator of the original fraction is of order $x$, so the exponent must be known through order $x$. Since that exponent is obtained by dividing by $x$, the logarithm must be expanded through $x^{2}$:

$$\frac{\ln(1 + x)}{x} = \frac{x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$$

Notice that the exponent tends to one, not zero. This is the essential feature of the problem: the exponential tends to $e$, and we need to determine how quickly it does so.

Step 3. Factor out $e$. Set $u = -\frac{x}{2} + o(x)$; then $u \to 0$, and

$$(1 + x)^{1/x} = e^{1 + u} = e\,e^{u} \;\Longrightarrow\; (1 + x)^{1/x} - e = e\left(e^{u} - 1\right)$$

Step 4. Apply the outer function to a small quantity. Since $e^{u} - 1 \sim u$,

$$\lim_{x \to 0}\frac{e\left(-\frac{x}{2} + o(x)\right)}{x} = -\frac{e}{2} \approx -1.3591$$

The main trap

If we retain only the first term $\ln(1 + x) \approx x$, the exponent becomes exactly 1, the expression becomes exactly $e$, and we obtain $\frac{e - e}{x} = \frac00$: the problem seems to disappear. Here the second term of the expansion contains the entire answer.

The two key steps have already been practiced separately. “The exponent is obtained by dividing by $x$, so the logarithm must be expanded one order further” is the lesson's model problem; “the exponent tends to a finite number, so factor out $e$ and reduce the rest to $e^{u} - 1$” is bridge problem b0604. Here the two ideas are simply combined.

Numerical check: at $x = 0.001$, the fraction equals $-1.3579$ and approaches $-1.3591$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

S0601Уровень ШАДМатанализуровень ШАД

Пусть $a$ — вещественное число. Найдите то единственное его значение, при котором существует конечный предел

$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{\arcsin\big\lfloor (a+2)x \big\rfloor}{x + a} - \cos\big\lfloor |ax| \big\rfloor\right)$$

Здесь $\lfloor t \rfloor$ — наибольшее целое, не превосходящее $t$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Let $a$ be a real number. Find its unique value for which the following finite limit exists:

$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{\arcsin\big\lfloor (a+2)x \big\rfloor}{x + a} - \cos\big\lfloor |ax| \big\rfloor\right)$$

Here $\lfloor t \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $t$. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Целая часть рядом с нулём — это разрыв. Разбирай $x \to 0^{+}$ и $x \to 0^{-}$ отдельно и перебери случаи по знаку $a + 2$, как в b0603. Не забудь отдельно проверить $a = 0$.

The floor function has a discontinuity near zero. Consider $x \to 0^{+}$ and $x \to 0^{-}$ separately, and examine the cases determined by the sign of $a + 2$, as in b0603. Remember to check $a = 0$ separately.

Решение / Solution

Второе слагаемое разберём сразу. При $x \to 0$ имеем $|ax| \to 0$, причём $|ax| \ge 0$. Значит при достаточно малых $|x|$ выполнено $0 \le |ax| < 1$, откуда $\lfloor |ax| \rfloor = 0$ и $\cos 0 = 1$. Это слагаемое равно 1 и никаких проблем не создаёт ни при каком $a$.

Первое слагаемое — здесь вся суть. Ключевое наблюдение то же, что в мосте b0603: целая часть около нуля ведёт себя по-разному слева и справа. Если $t \to 0^{+}$, то $\lfloor t \rfloor = 0$; если $t \to 0^{-}$, то $\lfloor t \rfloor = -1$.

Обозначим $t = (a + 2)x$ и разберём случаи.

Случай 1: $a + 2 > 0$ и $a \ne 0$. При $x \to 0^{+}$ имеем $t \to 0^{+}$, значит $\lfloor t \rfloor = 0$ и $\arcsin 0 = 0$. При $x \to 0^{-}$ имеем $t \to 0^{-}$, значит $\lfloor t \rfloor = -1$ и $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Знаменатель стремится к $a \ne 0$, поэтому односторонние пределы равны $0$ и $-\frac{\pi}{2a}$ — они различны, предела нет.

Случай 2: $a + 2 < 0$. Симметрично: теперь при $x \to 0^{+}$ имеем $t \to 0^{-}$ и наоборот. Числитель по-прежнему прыгает между $0$ и $-\frac{\pi}{2}$, предела нет.

Случай 3: $a = 0$. Тогда $a + 2 = 2 > 0$, числитель слева равен $-\frac{\pi}{2}$, а знаменатель равен $x \to 0^{-}$. Дробь уходит в $+\infty$ — конечного предела тем более нет.

Случай 4: $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$. Тогда $t = (a + 2)x = 0$ тождественно, при любом $x$, а не только в пределе. Значит $\lfloor t \rfloor = 0$ и $\arcsin 0 = 0$ — числитель тождественно равен нулю, никаких скачков нет. Знаменатель стремится к $a = -2 \ne 0$, так что первое слагаемое равно $\frac{0}{-2} = 0$, и весь предел существует:

$$\lim_{x \to 0}\left(0 - 1\right) = -1$$

Ответ: $a = -2$.

Что забрать

Целая часть — это разрыв, а не гладкая функция. Увидел $\lfloor \cdot \rfloor$ около нуля — первым делом пиши два односторонних предела, они почти наверняка различны. Задача решается за пять минут, если есть этот рефлекс, и не решается вовсе, если его нет.

И второе, ради чего задача стоит последней: обрати внимание, как спасается случай $a = -2$. Выражение под целой частью становится тождественным нулём, а не стремящимся к нулю — это принципиально разные вещи. Мост b0603 тренировал ровно этот ход, здесь к нему добавились второе слагаемое и отдельная проверка знаменателя при $a = 0$.

Begin with the second term. As $x \to 0$, we have $|ax| \to 0$, with $|ax| \ge 0$. Thus, for all sufficiently small $|x|$, we have $0 \le |ax| < 1$, which gives $\lfloor |ax| \rfloor = 0$ and $\cos 0 = 1$. This term equals 1 and causes no difficulty for any $a$.

The first term contains the entire issue. The key observation is the same as in bridge problem b0603: near zero, the floor function behaves differently on the two sides. If $t \to 0^{+}$, then $\lfloor t \rfloor = 0$; if $t \to 0^{-}$, then $\lfloor t \rfloor = -1$.

Set $t = (a + 2)x$ and consider the possible cases.

Case 1: $a + 2 > 0$ and $a \ne 0$. As $x \to 0^{+}$, we have $t \to 0^{+}$, so $\lfloor t \rfloor = 0$ and $\arcsin 0 = 0$. As $x \to 0^{-}$, we have $t \to 0^{-}$, so $\lfloor t \rfloor = -1$ and $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. The denominator tends to $a \ne 0$, so the one-sided limits are $0$ and $-\frac{\pi}{2a}$. They differ, and the limit does not exist.

Case 2: $a + 2 < 0$. The argument is symmetric: now as $x \to 0^{+}$, we have $t \to 0^{-}$, and conversely. The numerator still jumps between $0$ and $-\frac{\pi}{2}$, so the limit does not exist.

Case 3: $a = 0$. Then $a + 2 = 2 > 0$. On the left, the numerator equals $-\frac{\pi}{2}$, while the denominator is $x \to 0^{-}$. The fraction tends to $+\infty$, so a finite limit certainly does not exist.

Case 4: $a + 2 = 0$, that is, $a = -2$. Then $t = (a + 2)x = 0$ identically for every $x$, not merely in the limit. Hence $\lfloor t \rfloor = 0$ and $\arcsin 0 = 0$; the numerator is identically zero and there is no jump. The denominator tends to $a = -2 \ne 0$, so the first term equals $\frac{0}{-2} = 0$, and the full limit exists:

$$\lim_{x \to 0}\left(0 - 1\right) = -1$$

Answer: $a = -2$.

What to take away

The floor function is discontinuous; it is not a smooth function. Whenever you see $\lfloor \cdot \rfloor$ near zero, begin by writing down the two one-sided limits—they will almost certainly differ. With this reflex, the problem takes five minutes; without it, the problem is unlikely to yield at all.

The second reason this problem comes last is the way the case $a = -2$ is rescued. The expression inside the floor function becomes identically zero, rather than merely tending to zero; these are fundamentally different situations. Bridge problem b0603 trained exactly this step. Here, it is supplemented by a second term and a separate check of the denominator when $a = 0$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0604Уровень YMLSМатанализуровень YMLS

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x - 3x\cos x}{x^{3}}$. Ответ — целое число.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x - 3x\cos x}{x^{3}}$. Your answer should be an integer.

ответ

Подсказка / Hint

Оба слагаемых раскладывай до кубического члена. Не забудь, что $3x\cos x$ — произведение ряда на множитель.

Expand both terms through the cubic term. Remember that $3x\cos x$ is a series multiplied by a factor.

Решение / Solution

Знаменатель имеет порядок $x^{3}$, значит числитель нужен с точностью до $x^{3}$.

Первое слагаемое — составной аргумент, подставляем $3x$ в строку целиком (это разминка w0602):

$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Второе слагаемое — произведение ряда на множитель. Перед скобкой стоит $3x$, значит внутри скобки хватит точности $x^{2}$: множитель сам добавит недостающую степень.

$$3x\cos x = 3x\left(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})\right) = 3x - \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Разность. Линейные части сокращаются полностью:

$$\sin 3x - 3x\cos x = -\frac{9x^{3}}{2} + \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4}) = -3x^{3} + o(x^{4})$$$$\lim_{x \to 0}\frac{-3x^{3} + o(x^{4})}{x^{3}} = -3$$

Частая ошибка

Подставить $\sin 3x \approx 3x$ и $\cos x \approx 1$, получить $\frac{3x - 3x}{x^{3}} = 0$ и записать ноль. Линейные части сокращаются целиком — значит весь ответ лежит в кубических членах, и разложение обязано до них доходить. Этот же сюжет отработан на мосте b0605.

Численная сверка: при $x = 0.05$ дробь равна $-2.9953$ — сходится к $-3$.

The denominator is of order $x^{3}$, so the numerator must be known through order $x^{3}$.

The first term has a composite argument. Substitute the entire expression $3x$ into the formula (as in warm-up problem w0602):

$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

The second term is a series multiplied by a factor. Since the factor outside the parentheses is $3x$, an expansion through $x^{2}$ inside the parentheses is sufficient: the factor supplies the additional power.

$$3x\cos x = 3x\left(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})\right) = 3x - \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Take the difference. The linear terms cancel completely:

$$\sin 3x - 3x\cos x = -\frac{9x^{3}}{2} + \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4}) = -3x^{3} + o(x^{4})$$$$\lim_{x \to 0}\frac{-3x^{3} + o(x^{4})}{x^{3}} = -3$$

A common error

Substituting $\sin 3x \approx 3x$ and $\cos x \approx 1$ gives $\frac{3x - 3x}{x^{3}} = 0$, tempting one to report zero. The linear terms cancel completely, so the entire answer lies in the cubic terms, and the expansions must include them. The same idea was practiced in bridge problem b0605.

Numerical check: at $x = 0.05$, the fraction equals $-2.9953$, converging to $-3$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0601БазаМатанализавторская

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\ln(1 + 3x)}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\ln(1 + 3x)}$. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Обе функции заменяются эквивалентами: это частное, а не разность.

Replace both functions by equivalent expressions: this is a quotient, not a difference.

Решение / Solution

При $x \to 0$ имеем $\sin 5x \sim 5x$ и $\ln(1 + 3x) \sim 3x$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{5x}{3x} = \frac53 \approx 1.6667$$

Проверим по правилу глубины, что одного члена достаточно. Числитель равен $5x + o(x^{2})$, знаменатель $3x + o(x^{2})$ — оба порядка $x$, главные коэффициенты не сократились, значит ответ уже получен и добирать члены незачем.

Когда одного члена хватает

Правило простое: если после подстановки первых членов числитель не обратился в ноль, работа окончена. Ноль в числителе — единственный повод идти глубже.

As $x \to 0$, we have $\sin 5x \sim 5x$ and $\ln(1 + 3x) \sim 3x$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{5x}{3x} = \frac53 \approx 1.6667$$

Let us use the expansion-depth rule to verify that one term is enough. The numerator is $5x + o(x^{2})$, and the denominator is $3x + o(x^{2})$. Both are of order $x$, and their leading coefficients do not cancel, so the answer is already determined and no further terms are needed.

When one term is enough

The rule is simple: if the numerator does not become zero after the leading terms are substituted, you are done. A zero numerator is the only reason to expand further.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

зачем это сегодня

Сегодня 28 августа. Окно онлайн-теста открылось вчера, попытка назначена на 4 сентября — через семь дней, ровно половина программы позади. Мок № 1 стоит здесь не для оценки, а для того, чтобы дыры в поведении вскрылись, пока их ещё можно чинить.

Регламент онлайн-этапа устроен так, что процесс весит не меньше математики: восемь задач, четыре часа, одна попытка, принимается только число без обоснования. Отсюда три следствия, и каждое сегодня отрабатывается руками. Первое: неверный ответ и пустая строка стоят одинаково — ноль, поэтому пустых строк быть не должно вообще. Второе: обоснование никто не читает, значит перебор в Python равноценен аналитическому решению. Третье: одна залипшая задача уносит не свои баллы, а баллы двух других, до которых ты не дошёл.

Время мока сжато до 150 минут при восьми задачах вместо 240. Это не строгость ради строгости: дефицит нужно пережить сейчас, в безопасной обстановке. Если восемь задач помещаются в два с половиной часа, то четыре часа 4 сентября окажутся не пределом, а запасом — и это ощущение стоит дороже любой дополнительной темы.

Вторая половина дня важнее самого мока. Одна тщательно разобранная ошибка стоит трёх новых решённых задач, потому что задача закрывает один случай, а разобранная ошибка — целый класс.

Today is August 28. The online-test window opened yesterday, and the attempt is scheduled for September 4 — seven days from now, exactly half the program is behind you. Mock No. 1 is here not to grade you, but to expose behavioral gaps while there is still time to repair them.

The online-round rules make process at least as important as mathematics: eight problems, four hours, one attempt, and only a number is accepted, with no justification. Three consequences follow, and you will practice each by hand today. First, a wrong answer and a blank field are worth the same — zero — so there should be no blank fields at all. Second, no one reads a derivation, so a Python enumeration is as valid as an analytical solution. Third, one problem that traps you costs not only its own points, but the points from two other problems you never reached.

The mock is compressed to 150 minutes for eight problems instead of 240. This is not strictness for its own sake: you need to experience the shortage now, in a safe setting. If eight problems fit into two and a half hours, then the four hours on September 4 will feel like a reserve rather than a limit — and that feeling is worth more than one extra topic.

The second half of the day matters more than the mock itself. One carefully analyzed error is worth three newly solved problems, because a problem closes one case, while an analyzed error closes an entire class.

Расписание

0:00–0:10ПодготовкаPreparation Стол пустой: бумага, ручка, вода, часы перед глазами. Телефон в другой комнате. На этой странице открыт только раздел «Урок» — «Эталон» и «Как работать сегодня» ниже разбирают задачи мока и читаются вечером. Python открыт: он разрешён и на настоящем экзамене.Keep the desk clear: paper, pen, water, and a clock in view. Phone in another room. On this page, keep only the “Lesson” section open — “The model answer” and “How to work today” below analyze the mock problems and are for the evening. Python is open: it is allowed on the real exam too.

0:10–2:40Мок № 1Mock No. 1 Восемь задач, 150 минут, протокол из урока соблюдается буквально. Отметки времени на полях обязательны: без них вечером нечего разбирать. Внутри мока отсчёт идёт от старта мока, а не от начала дня: 0:00 на листе — это 0:10 по часам дня, и все отметки урока и критериев — 1:30, 2:10, 2:30 — тоже от старта мока.Eight problems, 150 minutes, following the lesson protocol literally. Time marks in the margins are mandatory: without them there is nothing to review in the evening. The mock clock starts at the beginning of the mock, not the beginning of the day: 0:00 on the sheet is 0:10 on the wall clock, and all lesson and criteria marks — 1:30, 2:10, 2:30 — are also measured from the mock start.

2:40–3:00ПаузаBreak Ни одного взгляда на решения. Выйти из комнаты, вода, воздух. Разбор на горячую голову защищает решения вместо того, чтобы находить в них дыры.Do not look at a single solution. Leave the room, drink water, get some air. Reviewing while your head is hot makes you defend your work instead of finding its holes.

3:00–3:50Холодный разборCold review Сначала блок «Эталон» — своя разметка кладётся рядом с эталонной. Затем по каждой из восьми задач один из трёх диагнозов и ремонт двух самых дорогих промахов.Start with “The model answer” — put your own labels beside the reference labels. Then assign one of the three diagnoses to each of the eight problems and repair the two most expensive mistakes.

3:50–4:00АудитAudit Три вывода в журнал и коэффициент оптимизма. Ровно три: четвёртый не запомнится и обесценит первые.Three takeaways in the log and the optimism factor. Exactly three: a fourth will not stick and will devalue the first three.

Урок

разбираем с нуля

Что сегодня измеряется

Шесть дней ты набирал технику в спокойном режиме: тема названа, метод известен, время не ограничено. Сегодня проверяется, доживает ли эта техника до бумаги под таймером. Это отдельный навык, и сам собой он не появляется.

Оцениваются четыре наблюдаемые вещи, и ни одна из них не про математику:

Разметка всех восьми задач за первые десять минут: метка, оценка, слово темы.
Соблюдение отсечки в 12 минут и потолка в 25 — ни одного бесконечного захода.
Три прохода в конце строго в порядке: пустые поля, формат, правдоподобность.
Восемь заполненных полей к концу времени.

Число решённых задач — побочный продукт. Оно будет тем больше, чем строже соблюдены эти четыре.

Первые десять минут — разметка, ни одного вычисления

Правило одно и оно жёсткое: в первые десять минут не делается ни одного вычисления. Ни на бумаге, ни устно. На каждую из восьми задач записываются три вещи:

метка A (вижу решение целиком), B (вижу тему и первый ход), C (не вижу даже темы);
оценка в минутах — сколько, по-твоему, займёт;
слово темы — одно слово, к чему задача относится.

Это одинаково на моке 1, на моке 2 и на экзамене: те же три вещи ты записываешь 3 сентября на моке № 2 и 4 сентября на попытке.

Метка

Метка	Когда ставится	Что означает
A	Вижу решение целиком	Осталась арифметика
B	Вижу тему и первый ход	Есть риск залипнуть
C	Не вижу даже темы	Идёт последней или не идёт вовсе

Метка ставится по себе, а не по объективной трудности. Задача, которую весь мир считает лёгкой, но которую ты не видишь, — это C, и никакого стыда в этом нет. Разметка нужна для планирования, а не для самооценки: соврёшь себе — сломаешь план.

Оценка в минутах

Рядом с меткой — число минут, за которое ты рассчитываешь задачу закрыть. Оценка почти наверняка окажется заниженной, и это нормально: её работа не предсказать время, а задать порядок.

Вечером из этих же оценок считается самое полезное число сегодняшнего дня. Коэффициент оптимизма = фактическое время, делённое на оценку из разметки. Считается по задачам, которые доведены до ответа. Здесь он собирается впервые, 3 сентября на моке № 2 уточняется, а 4 сентября на него умножаются все прикидки времени. Поэтому оценки собираются всегда — и сегодня, и на моке № 2, и на самой попытке.

Слово темы

Одно слово: «счёт», «дополнение», «Байес», «индикатор», «производная», «предел». Это ровно тот навык распознавания, ради которого существует смешанная практика. Слово не находится — метка автоматически C, независимо от того, насколько знакомой задача выглядит.

Ловушка выписывается в момент чтения

Всё, что зацепило глаз, — «ровно» против «хотя бы», запрет на ноль в первом разряде, «различимые» против «одинаковых», область $x > 0$, слово «независимо» — пишется на поля сразу. Через час, когда ты дойдёшь до этой задачи, глаз замылится, и второй раз ты этого не увидишь. Именно так теряются задачи, которые «умеешь решать».

Разметка ста пятидесяти минут

Время	Что делаешь	Правило
0:00–0:10	Читаешь все восемь	Ни одного вычисления. Метка, оценка, слово темы
0:10–0:45	Все A	По возрастанию оценки, начиная с самой короткой. На первой проверяется формат ответа
0:45–1:45	Все B	Отсечка захода — 12 минут, потолок задачи — 25 минут суммарно
1:30	Перерыв	Минута: встал, отвёл глаза от экрана, сел
1:45–2:10	C и возвраты	Python, перебор, разумная оценка вместо пустоты
2:10–2:30	Закрытие листа	Три прохода строго в порядке: пустые поля, формат, правдоподобность

Это сжатая версия четырёхчасовой сетки из «Справочника»: там те же пять фаз занимают 10, 80, 90, 40 и 20 минут. Сжимаются только три рабочие фазы: 80, 90 и 40 минут на A, на B и на «C и возвраты» превращаются в 35, 60 и 25. Числа правил не масштабируются ни одно: десять минут разметки в начале, 12 минут на заход, 25 минут на задачу и двадцать минут на закрытие листа в конце сегодня ровно те же, что будут 4 сентября. Поэтому пропорций между сеткой мока и сеткой экзамена нет и быть не может — края закреплены жёстко, сжимается только середина, и именно эти края и переносятся на 4 сентября без переучивания.

Порядок взятия задач — по возрастанию оценки внутри метки: сначала все A, начиная с самой короткой, потом B, потом C. Нумерация задач не значит ничего. Составители не сортируют задачи по сложности, и первая задача листа с равной вероятностью окажется самой трудной. Первой берётся самая короткая A: на ней проверяется, как система принимает формат ответа, и делать это на самой дорогой задаче листа — расточительство.

Перерывы — два, по часам, а не по самочувствию: на 1:30 — минута (встал, отвёл глаза от экрана, сел), на 2:30 — три минуты и вода. В сжатом моке внутрь помещается только первый: отметка 2:30 — это финиш. Встать на 1:30 обязательно, даже посреди выкладки.

Отсечка захода — 12 минут

Задача не сдвинулась за 12 минут одного захода: ставлю метку «возврат», одной строкой пишу, на чём встал, и ухожу. Метка задачи при этом не меняется. Не появилось выражения, куда осталось подставить числа, — заход кончился. Записать, на чём встал, обязательно: без этой строки возврат начнётся с нуля и съест ещё двенадцать минут.

Метка не меняется намеренно: C — это первичная метка разметки, а не наказание за неудачный заход. Задача, помеченная утром как B, остаётся B, даже если первый заход в неё провалился.

Отсев — после первого захода

Если после первого захода не можешь одним предложением назвать, чего именно не хватает, задача уходит в конец очереди и берётся последней. Отсев меняет очередь, но не закрывает задачу: закрывает только потолок 25 минут.

Проверка ровно одна и она словесная: произнеси вслух, чего тебе не хватило. «Не вижу, чем считать числитель», «не знаю, как берётся этот интеграл», «не помню формулу площади сектора» — предложение нашлось, задача остаётся в очереди на своём месте. Не нашлось ничего, кроме «не идёт», — задача уезжает в конец очереди: сейчас она стоит дороже любой из оставшихся, а через час, после трёх закрытых задач, может пойти сама.

Потолок задачи — 25 минут суммарно

25 минут суммарно по всем заходам: пишу в поле разумную оценку и закрываю насовсем. Возврата к ней больше нет. Никаких «плюс пять минут»: 25 — это выход, а не предупреждение.

Двадцать пять минут — это шестая часть мока при восьми задачах: дороже неё — только две другие задачи, которых ты из-за неё не увидишь.

Признак залипания

Мысль «вот-вот получится», пришедшая второй раз подряд на одной задаче, — это не близость к ответу, а физиология: мозг не хочет отдавать вложенное время. Экономисты называют это ошибкой невозвратных затрат, и она работает тем сильнее, чем больше уже потрачено. Как только поймал себя на ней во второй раз — встаёшь, три вдоха, берёшь самую короткую по оценке из оставшихся.

Возврат

Возврат делается только после полного круга по всем восьми задачам. Не «когда появится идея» и не «сейчас, я почти вспомнил». Причина простая: пока ты не прошёл круг, ты не знаешь, есть ли среди оставшихся задача дешевле этой.

Возврат начинается не с решения, а с перечитывания условия целиком, вслух, с нуля. Половина возвратов заканчивается на первой же фразе: обнаруживается, что условие было прочитано неверно, и никакой математики чинить не требовалось.

Проверка правдоподобности

Двадцать секунд на ответ, ловится примерно половина промахов. Пять типов проверок, и хотя бы один применим почти всегда.

Диапазон. Вероятность в $[0,1]$, счёт — целое неотрицательное, среднее внутри диапазона значений, $|\cos\varphi| \le 1$.
Направление. Наблюдение обязано сдвинуть вероятность в ту сторону, куда указывает. Апостериорная вероятность гипотезы, которую наблюдение поддерживает, не может оказаться меньше априорной.
Рамка сверху и снизу. Для задач на счёт: посчитай заведомо больший вариант, сняв ограничение, и заведомо меньший, ужесточив его. Ответ обязан лежать строго между ними, и обе границы берутся в уме за полминуты.
Порядок величины. Прикинь ответ грубо, одной строкой, до всякой аккуратной формулы. Расхождение в разы — сигнал искать потерянный множитель, а не переписывать решение.
Подстановка числа. Для предела — подставь $x = 0.01$ и сравни. Для экстремума — посчитай функцию в двух соседних точках и убедись, что найденное значение меньше обеих. Для производной — сравни с разностным отношением. Тридцать секунд в Python.

Формат ответа

Четыре знака после запятой, точка как разделитель, без пробелов и единиц. Целые — без десятичной части. Нули дописываются: ответ $-0.37$ вводится как -0.3700. Проверь формат на первой же задаче, а не на восьмой.

Закрытие листа: три прохода строго в этом порядке

Под это отведены последние 20 минут — и 4 сентября, и сегодня. Это число правила, и при сжатии мока оно не масштабируется вместе с рабочими фазами: сегодня решение прекращается на отметке 2:10, 4 сентября — на отметке 3:40. Порядок один и тот же, и он не переставляется:

Пустые поля. В каждое пустое поле — разумная оценка. Пустая строка стоит ровно столько же, сколько неверный ответ, а штрафа за неверный нет.
Формат всех восьми. Четыре знака после запятой, точка как разделитель, без пробелов и единиц.
Правдоподобность. Вероятность в $[0,1]$, счёт — целое неотрицательное, среднее внутри диапазона значений, $|\cos\varphi| \le 1$, порядок величины.

Любое число, вписанное на шаге 1, обязано пройти шаги 2 и 3 вместе со всеми остальными. Оценка, поставленная в пустое поле и не прошедшая проверку формата, — это та же пустая строка, только с потраченной на неё минутой.

Разумная оценка не выдумывается из воздуха: если задача про вероятность и ты понял, что событие скорее редкое, чем частое, то $0.1$ содержательнее пустоты. Если задача на счёт и ты знаешь верхнюю рамку — пиши половину рамки.

Python — легальное оружие

Обоснование на онлайн-этапе не принимается, значит численный ответ равноценен аналитическому. Три случая, когда Python экономит больше всего:

Полный перебор. Пространство исходов конечно и невелико — перебираешь его целиком и считаешь долю. Четыре строки, ноль риска ошибиться в комбинаторике.
Монте-Карло. Пространство велико, но моделируется. Миллион испытаний даёт около трёх верных знаков; при требуемых четырёх это способ проверить аналитический ответ, а не заменить его.
Численная проверка. Предел, производная, минимум — всё это проверяется подстановкой за полминуты, даже когда ответ уже получен формулой.

Пауза

Двадцать минут между моком и разбором — не отдых, а часть метода.

Почему разбор через паузу

Сразу после мока ты помнишь ход своих рассуждений и подсознательно их защищаешь: перечитывая своё решение, ты видишь не то, что написано, а то, что имел в виду. Через двадцать минут связь между текстом и намерением рвётся, и ты смотришь на своё решение как на чужое. Дырки становятся видны.

Холодный разбор: три диагноза

Разбор каждой незакрытой или неверной задачи даёт ровно один диагноз, письменно. Слова у диагнозов одни и те же сегодня, на моке № 2 и 4 сентября:

Диагноз	Что означает	Чем лечится
не опознал тему	Не понял, к чему задача относится	Триггерами: какая деталь условия должна была подсказать
не знал метод	Тему опознал, приёма не знал	Теорией и карточкой: метод выписывается отдельно
сломался на исполнении	Знал метод, потерял в счёте, знаке, границе или формате	Вниманием к конкретному типу промаха

Третий диагноз самый ценный и самый неудобный: его хочется записать как «был невнимателен», а это не диагноз, а отговорка. Требуется точное место: арифметика в третьей строке, потерянный краевой случай, неверно прочитанное условие, не та формула из двух похожих. Только такая запись меняет поведение.

Ошибки первого типа лечатся практикой, второго — теорией, третьего — только собственным списком, который перечитывается перед каждым моком. Именно третьи идут в журнал.

Что делать с числом решённых

Никакой шкалы «столько-то из восьми значит то-то» здесь нет и не будет: официальный проходной балл не объявлен, а на сжатом моке число решённых не сравнимо ни с экзаменом, ни даже с моком № 2. Сегодня измеряется протокол, а не результат, и все четыре сегодняшних показателя — про поведение.

Не расстраивайся, если сегодня получилось мало. Мок № 1 стоит на седьмом дне специально: половина программы ещё впереди, и его работа — показать дыры, а не успехи. Плохой результат сегодня стоит несопоставимо дешевле, чем плохой результат 4 сентября.

What is being measured today

For six days you built technique in a calm setting: the topic was named, the method was known, and time was unlimited. Today we check whether that technique survives on paper under a timer. This is a separate skill; it does not appear by itself.

Four observable things are measured, and none is mathematics:

Labeling all eight problems in the first ten minutes: label, estimate, topic word.
Respecting the 12-minute cutoff and the 25-minute ceiling — no endless attempts.
Three final passes, strictly in order: blank fields, format, plausibility.
Eight filled fields by the end of the allotted time.

The number of problems solved is a by-product. It will be larger the more strictly these four are followed.

The first ten minutes: label, do not calculate

The rule is simple and strict: do not perform a single calculation in the first ten minutes. Not on paper, not aloud. Write three things for each of the eight problems:

Label A (I can see the whole solution), B (I see the topic and first move), or C (I cannot even see the topic);
Estimate in minutes — how long you expect the problem to take;
Topic word — one word naming what the problem is about.

This is the same for Mock 1, Mock 2, and the exam: you will write these same three things on September 3 for Mock No. 2 and on September 4 for the attempt.

Label

Label	When to use it	What it means
A	I can see the whole solution	Only arithmetic remains
B	I see the topic and first move	There is a risk of getting stuck
C	I cannot even see the topic	It goes last or not at all

The label is about you, not objective difficulty. A problem the whole world considers easy but you cannot see is C, and there is no shame in that. Labeling is for planning, not self-evaluation: lie to yourself and you break the plan.

Estimate in minutes

Next to the label, write the number of minutes in which you expect to close the problem. The estimate will almost certainly be too low, and that is fine: its job is not to predict time, but to set the order.

In the evening, the most useful number of the day is calculated from these same estimates. Optimism factor = actual time divided by the estimate from the labeling. It is calculated for problems brought to an answer. We collect it for the first time today, refine it on September 3 in Mock No. 2, and multiply every time estimate by it on September 4. That is why estimates are always recorded — today, in Mock No. 2, and in the attempt itself.

Topic word

One word: “counting,” “complement,” “Bayes,” “indicator,” “derivative,” “limit.” This is exactly the recognition skill that mixed practice exists for. If the word does not come, the label is automatically C, however familiar the problem looks.

Write the trap while reading

Anything that catches your eye — “exactly” versus “at least,” a ban on zero in the first digit, “distinct” versus “identical,” the domain $x > 0$, the word “independent” — goes in the margin at once. An hour later, when you reach the problem, your eyes will be tired and you will not notice it a second time. This is how problems you “know how to solve” are lost.

The 150-minute layout

Time	What you do	Rule
0:00–0:10	Read all eight	No calculations. Label, estimate, topic word
0:10–0:45	All A problems	In increasing estimate order, starting with the shortest. Check answer format on the first one
0:45–1:45	All B problems	Attempt cutoff — 12 minutes; problem ceiling — 25 minutes total
1:30	Break	One minute: stand up, look away from the screen, sit down
1:45–2:10	C and returns	Python, enumeration, a sensible estimate instead of a blank
2:10–2:30	Close the sheet	Three passes strictly in order: blank fields, format, plausibility

This is a compressed version of the four-hour schedule from the “Reference guide”: its same five phases take 10, 80, 90, 40, and 20 minutes. Only the three working phases are compressed: 80, 90, and 40 minutes for A, B, and “C and returns” become 35, 60, and 25. None of the rule numbers scales: ten minutes for labeling at the beginning, 12 minutes per attempt, 25 minutes per problem, and twenty minutes for closing the sheet at the end are exactly the same today as on September 4. That is why there can be no proportional relationship between the mock schedule and the exam schedule — the edges are fixed, only the middle shrinks, and those edges transfer to September 4 without relearning.

Take problems in increasing estimate order within each label: all A first, starting with the shortest, then B, then C. Problem numbers mean nothing. Authors do not sort problems by difficulty, and the first problem on the sheet is just as likely to be the hardest. Start with the shortest A: it is where you check how the system accepts the answer format; doing that on the most expensive problem would be wasteful.

There are two scheduled breaks, by the clock rather than by how you feel: at 1:30, one minute (stand up, look away from the screen, sit down), and at 2:30, three minutes and water. In the compressed mock only the first fits inside; 2:30 is the finish. Stand up at 1:30 even if you are mid-calculation.

The 12-minute attempt cutoff

If the problem has not moved after 12 minutes in one attempt, mark it “return,” write in one line where you stopped, and leave. The problem’s original label does not change. If no expression has appeared where only numbers remain to be substituted, the attempt is over. Recording where you stopped is mandatory: without that line, the return starts from zero and consumes another twelve minutes.

The label does not change on purpose: C is the initial label from the scan, not a punishment for a failed attempt. A problem labeled B in the morning stays B even if the first attempt fails.

The filter after the first attempt

If after the first attempt you cannot say in one sentence exactly what is missing, move the problem to the end of the queue and take it last. Filtering changes the queue but does not close the problem: only the 25-minute ceiling closes it.

There is exactly one check, and it is verbal: say aloud what was missing. “I cannot see how to compute the numerator,” “I do not know how to evaluate this integral,” “I do not remember the sector-area formula” — if you can say the sentence, the problem stays in its place in the queue. If all you can say is “it is not working,” move it to the end: right now it costs more than any remaining problem, and an hour later, after three problems are closed, it may solve itself.

The 25-minute total ceiling

After 25 minutes total across all attempts, write a sensible estimate in the field and close the problem for good. There is no return. No “five more minutes”: 25 is an exit, not a warning.

Twenty-five minutes is one sixth of the mock for eight problems: only two other problems cost more, and you will not even see them if this one consumes you.

A sign of getting stuck

The thought “it is about to work,” arriving for the second time in a row on the same problem, is not evidence that you are close; it is physiology: your brain does not want to give up the time already invested. Economists call this the sunk-cost fallacy, and it grows stronger the more you have spent. The moment you catch it a second time, stand up, take three breaths, and take the shortest remaining problem by estimate.

Return

A return is made only after a complete pass through all eight problems. Not “when an idea appears” and not “I am almost remembering it.” The reason is simple: until you complete the pass, you do not know whether a cheaper problem is waiting among the rest.

A return starts not with solving but with rereading the entire statement aloud, from zero. Half of returns end with the first sentence: you discover that you misread the statement, and no mathematics needed fixing.

Plausibility check

Spend twenty seconds on the answer; this catches about half of mistakes. There are five kinds of checks, and at least one applies almost always.

Range. A probability is in $[0,1]$, a count is a nonnegative integer, an average lies within the range of values, and $|\cos\varphi| \le 1$.
Direction. An observation must move the probability in the indicated direction. The posterior probability of a hypothesis supported by the observation cannot be lower than its prior probability.
Upper and lower bounds. For counting problems, compute an obviously larger case by removing a restriction and an obviously smaller case by tightening it. The answer must lie strictly between them; both bounds can be found mentally in half a minute.
Order of magnitude. Estimate the answer roughly in one line before writing a careful formula. A difference by a factor of several signals a lost multiplier, not a reason to rewrite the solution.
Numerical substitution. For a limit, substitute $x = 0.01$ and compare. For an extremum, evaluate the function at two neighboring points and check that the proposed value is smaller than both. For a derivative, compare with a difference quotient. Thirty seconds in Python.

Answer format

Four digits after the decimal point, a period as separator, no spaces or units. Integers have no decimal part. Add zeros: the answer $-0.37$ is entered as -0.3700. Check the format on the first problem, not the eighth.

Closing the sheet: three passes in strict order

The last 20 minutes are reserved for this — both on September 4 and today. This is a fixed rule, and compressing the mock does not scale it with the working phases: today solving stops at 2:10; on September 4 it stops at 3:40. The order is the same and is never rearranged:

Blank fields. Put a sensible estimate in every blank field. A blank is worth exactly as much as a wrong answer, and there is no penalty for a wrong one.
Format all eight. Four digits after the decimal point, a period as separator, no spaces or units.
Plausibility. Probability in $[0,1]$, count a nonnegative integer, average within the range of values, $|\cos\varphi| \le 1$, and the right order of magnitude.

Every number written in Step 1 must go through Steps 2 and 3 along with all the others. An estimate put in a blank field and failing the format check is still a blank, just one that cost a minute.

A sensible estimate is not invented from thin air: if a probability problem seems to describe a rare event rather than a common one, $0.1$ conveys more than a blank. If it is a counting problem and you know an upper bound, write half that bound.

Python is a legal tool

Justification is not accepted in the online round, so a numerical answer is as valid as an analytical one. Python saves the most time in three cases:

Complete enumeration. The outcome space is finite and small: enumerate it and count the fraction. Four lines, no risk of a combinatorics mistake.
Monte Carlo. The space is large but can be simulated. A million trials gives about three correct digits; with four required, it checks an analytical answer rather than replacing it.
Numerical checking. A limit, derivative, or minimum can be checked by substitution in half a minute, even after a formula has produced the answer.

Break

The twenty minutes between the mock and the review are not rest; they are part of the method.

Why review after a break

Right after the mock, you remember the path of your reasoning and unconsciously defend it: when rereading your solution, you see not what is written but what you meant. After twenty minutes, the link between the text and your intention breaks, and you look at your solution as if it were someone else’s. The holes become visible.

Cold review: three diagnoses

Every unfinished or incorrect problem gets exactly one written diagnosis. The labels are the same today, on Mock No. 2, and on September 4:

Diagnosis	What it means	The remedy
failed to recognize the topic	You did not understand what the problem was about	Triggers: what detail in the statement should have given it away
did not know the method	You recognized the topic but did not know the technique	Theory and a flashcard: write the method separately
execution broke down	You knew the method but lost the arithmetic, sign, bound, or format	Attention to the specific type of mistake

The third diagnosis is the most valuable and the most uncomfortable: you want to write “I was careless,” but that is an excuse, not a diagnosis. Name the exact location: arithmetic on the third line, a missed boundary case, a misread condition, or the wrong one of two similar formulas. Only such a record changes behavior.

Errors of the first type are fixed by practice, the second by theory, and the third only by your own list, which you reread before every mock. Only the third type goes in the log.

What to do with the number solved

There is no scale saying “this many out of eight means that” and there will not be one: the official passing score has not been announced, and the number solved on a compressed mock is comparable neither to the exam nor even to Mock No. 2. Today measures the protocol, not the result, and all four measurements are about behavior.

Do not be upset if the number is small today. Mock No. 1 is deliberately on Day 7: half the program is still ahead, and the mock’s job is to show gaps, not successes. A poor result today costs far less than a poor result on September 4.

Признаки и действия

Слева — что заметить в условии. Справа — что сделать первым.

Увидел	Первый ход
Прочитал условие и рука сама потянулась писать формулуYou read the statement and your hand reaches for a formula	Останавливаюсь: в первые десять минут только метка, оценка и слово темы, вычислений нетStop: in the first ten minutes, only label, estimate, and topic word; no calculations
Слово темы не находится за минуту чтенияYou cannot find the topic word within a minute of reading	Ставлю C и иду дальше: без названного типа задача не готова к решению, сколько бы знакомой ни выгляделаMark C and move on: without a named type, the problem is not ready to solve, however familiar it looks
Задача не сдвинулась за 12 минут одного заходаThe problem has not moved after 12 minutes in one attempt	Ставлю метку «возврат», одной строкой пишу, на чём встал, и ухожу; метка задачи при этом не меняется, возврат — только после полного кругаMark “return,” write in one line where you stopped, and leave; do not change the problem label, and return only after a complete pass
После первого захода не могу одним предложением назвать, чего не хватаетAfter the first attempt you cannot say in one sentence what is missing	Задача уходит в конец очереди и берётся последней; отсев меняет очередь, но не закрывает задачуMove the problem to the end of the queue and take it last; filtering changes the queue but does not close the problem
Одна задача суммарно съела 25 минутOne problem has consumed 25 minutes in total	Пишу в поле разумную оценку и закрываю насовсем: возврата к ней больше нет, никаких «плюс пять минут»Write a sensible estimate in the field and close it for good: there is no return and no “five more minutes”
Часы показывают 1:30The clock shows 1:30	Встаю по расписанию, а не по самочувствию: минута, отвёл глаза от экрана, сел — даже посреди выкладкиStand up by schedule, not by how you feel: one minute, look away from the screen, sit down — even in the middle of a derivation
Ловлю мысль «вот-вот получится» второй раз подрядYou catch yourself thinking “it is about to work” for the second time in a row	Это залипание, а не близость к ответу: встаю, три вдоха, беру самую короткую по оценке из оставшихсяThis is getting stuck, not being close to the answer: stand up, take three breaths, and take the shortest remaining problem by estimate
Аналитического хода не видно, а исходы конечны и перечислимыYou cannot see an analytical route, but the outcomes are finite and enumerable	Открываю Python и считаю перебором: обоснование на онлайн-этапе не сдаётся, принимается только числоOpen Python and enumerate: justification is not submitted in the online round, only the number is accepted
Число вышло за границу — вероятность больше единицы, отрицательный счёт, среднее вне диапазонаThe number is out of range — probability above one, negative count, or average outside its range	Не переписываю решение с нуля, а ищу потерянный множитель в той строке, где число вышло за рамкуDo not rewrite the solution from scratch; find the lost factor on the line where the number left the range
На часах 2:10, до конца 20 минутThe clock shows 2:10 and 20 minutes remain	Решение прекращается: дальше три прохода строго в порядке — пустые поля, формат всех восьми, правдоподобностьStop solving: make the three passes in order — blank fields, format all eight, plausibility
При разборе видно, что метод был известен, а ответ не сошёлсяThe review shows that the method was known but the answer did not match	Диагноз «сломался на исполнении»: выписываю в журнал точное место слома и не иду перечитывать теориюUse the diagnosis “execution broke down”: record the exact break in the log and do not reread the theory

эталонная задача

Первые десять минут: восемь задач превращаются в планThe first ten minutes: eight problems become a plan

Этот блок читается вечером

Ниже названы все восемь задач мока. Место этого разбора — слот 3:00–3:50, когда своя разметка уже лежит на столе и её есть с чем сравнить. До мока сюда заглядывать нечего.

Эпизод. 0:00. Восемь задач открыты, таймер идёт, ручка в руке. Вычислять нельзя ничего. Через десять минут на полях должна лежать таблица из восьми строк, а под ней — порядок работы.

Шаг 1. Завести таблицу до чтения первой задачи. Пять столбцов: номер, слово темы, метка, оценка в минутах, ловушка. Разметка при этом остаётся ровно из трёх вещей — метка, оценка, слово темы; пятый столбец разметкой не считается вовсе. Это поля: место, куда уезжает замеченная при чтении деталь условия, и заводится оно потому, что записывать её больше некуда. Таблица чертится заранее именно для того, чтобы во время чтения не приходилось решать, что записывать: пустая клетка сама требует заполнения.

Шаг 2. Один проход, по минуте на задачу. Читаешь до конца, не возвращаясь. Восемь минут — восемь строк:

Задача	Слово темы	Метка	Оценка	На поля
k101	правило умножения	A	3	ноль запрещён только в первом разряде, дальше разрешён
k102	доля исходов	B	5	знаменатель очевиден, числитель руками не берётся — перебор
k103	Байес	A	3	априорные равны, значит сократятся
k104	индикатор	B	12	развилка: индикатор на человека или на объект счёта
k105	производная частного	A	2	самая короткая, на ней проверяю формат ответа
k106	предел, лист асимптотик	A	3	вычли линейную часть — понадобится квадратичный член
k107	экстремум	A	4	область $x > 0$; обоснование минимума сдавать не нужно
k108	дополнение	A	3	«хотя бы один» — считаю противоположное событие

Шаг 3. Проверить разметку на честность. Ни одной C — повод насторожиться, а не обрадоваться: скорее всего, где-то метка завышена. Смотришь на строки с самой короткой оценкой и спрашиваешь себя, действительно ли видишь решение целиком, а не только тему и первый ход. Здесь подозрение падает на k102: тема и первый ход очевидны, а вот чем считать числитель — вопрос, поэтому она и стоит B, несмотря на маленькую оценку.

Шаг 4. Сложить оценки и посмотреть на сумму. Шесть A дают 18 минут, две B — ещё 17, итого 35 против доступных 120 — столько минут остаётся на решение, когда из ста пятидесяти вычтены десять минут разметки и двадцать на закрытие листа. Такого не будет: реальное время окажется в два-три раза больше. Смысл суммы не в прогнозе, а в том, что страшное «восемь задач за два с половиной часа» после разметки перестало быть страшным: работать надо на точность, а не на скорость. Сама сумма коэффициента не даёт. Коэффициент оптимизма = фактическое время, делённое на оценку из разметки, и считается он по задачам, которые доведены до ответа: строка k105 с оценкой 2 и фактическими 5 минутами даёт 2.5, а строка k104, которая осталась без ответа, в счёт не идёт вовсе.

Шаг 5. Назначить порядок. По возрастанию оценки внутри метки: сначала все A, начиная с самой короткой, потом B, потом C. Нумерация задач не значит ничего: k105 — k101 — k103 — k106 — k108 — k107 — k102 — k104. Заметь, что номера перемешались полностью: положение задачи в листе не имеет к её трудности никакого отношения.

Шаг 6. Записать план на поля и стартовать. Порядок выписывается строкой в углу листа и не пересматривается до конца первого круга. Задача, которая при решении оказалась совсем не тем, чем выглядела при чтении, получает новую оценку и встаёт в очередь заново по ней. Метка при этом не меняется: она первичная разметка, а не оценка результата, и C — не наказание за неудачный заход.

Алгоритм

Начерти таблицу из пяти столбцов до того, как прочтёшь первое условие: номер, тема, метка, оценка, ловушка.
Минута на задачу, восемь минут на все. В разметку идут ровно три вещи: метка, оценка в минутах, слово темы. Вычислений нет ни одного.
Метка: вижу решение целиком — A, вижу тему и первый ход — B, не вижу даже темы — C.
Ловушку, замеченную при чтении, выписывай сразу — на поля, в пятый столбец, а не в разметку: во второй раз глаз её пропустит.
Последние две минуты — порядок: по возрастанию оценки внутри метки, сначала все A, начиная с самой короткой, потом B, потом C.

Read this block in the evening

All eight mock problems are named below. This review belongs in the 3:00–3:50 slot, after your own labels are on the table and can be compared with the reference. There is nothing useful here before the mock.

Episode. 0:00. Eight problems are open, the timer is running, and the pen is in your hand. You cannot calculate anything. After ten minutes, the margins should contain a table of eight rows and, below it, a work order.

Step 1. Set up the table before reading the first problem. Five columns: number, topic word, label, estimate in minutes, and trap. The labeling itself remains exactly three things — label, estimate, topic word; the fifth column does not count as labeling at all. It is the place where a detail noticed while reading goes, because there is nowhere else to put it. Draw the table in advance so that you do not need to decide what to record while reading: a blank cell demands to be filled.

Step 2. One pass, one minute per problem. Read to the end without going back. Eight minutes — eight rows:

Problem	Topic word	Label	Estimate	Margin note
k101	multiplication rule	A	3	zero forbidden only in the first digit, allowed afterward
k102	outcome fraction	B	5	denominator is obvious, numerator cannot be handled by hand — enumerate
k103	Bayes	A	3	priors are equal, so they will cancel
k104	indicator	B	12	fork: indicator on the person or on the object being counted
k105	quotient derivative	A	2	shortest one; use it to check the answer format
k106	limit, asymptotics sheet	A	3	subtract the linear part — a quadratic term will be needed
k107	extremum	A	4	domain $x > 0$; no justification of the minimum is required
k108	complement	A	3	“at least one” — count the complementary event

Step 3. Check that the labeling is honest. Having no C labels is a reason to be cautious, not happy: one of the labels is probably too high. Look at the shortest estimates and ask whether you really see the entire solution, rather than only the topic and first move. Here suspicion falls on k102: the topic and first move are obvious, but how to count the numerator is the question, so it is B despite the small estimate.

Step 4. Add the estimates and look at the total. Six A problems give 18 minutes, and two B problems add 17, for 35 total against the available 120 — the time left for solving after subtracting ten minutes for labeling and twenty for closing the sheet from the 150. This will not happen: actual time will be two or three times longer. The point of the total is not prediction but that the scary “eight problems in two and a half hours” stops being scary after labeling: work for accuracy, not speed. The total alone gives no factor. The optimism factor is actual time divided by the estimate from labeling, and it is calculated for problems brought to an answer: k105, with an estimate of 2 and an actual 5 minutes, gives 2.5; k104, which remained unanswered, is not counted at all.

Step 5. Set the order. In increasing estimate order within each label: all A, starting with the shortest, then B, then C. Problem numbers mean nothing: k105 — k101 — k103 — k106 — k108 — k107 — k102 — k104. Notice that the numbers are completely mixed: position on the sheet has nothing to do with difficulty.

Step 6. Write the plan in the margin and start. Write the order in a corner of the sheet and do not revisit it until the first pass is over. A problem that turns out to be completely different from what it looked like while reading gets a new estimate and is reinserted in the queue according to that estimate. The label does not change: it is the initial labeling, not an evaluation of the result, and C is not a punishment for a failed attempt.

Algorithm

Draw a five-column table before reading the first statement: number, topic, label, estimate, trap.
One minute per problem, eight minutes total. Labeling contains exactly three things: label, estimate in minutes, and topic word. No calculations at all.
Label: see the whole solution — A; see the topic and first move — B; cannot even see the topic — C.
Write any trap noticed while reading immediately in the margin, in the fifth column, not in the labeling: your eyes will skip it the second time.
Use the last two minutes for the order: increasing estimate within each label, all A first from the shortest, then B, then C.

Дополнительные материалы

Другие объяснения и материалы по теме. Используй их, если основного урока недостаточно.

текстТри шага в ШАД: тактика распределения времениThree steps in SHAD: time-allocation tactics RU

Разбор всех трёх этапов отбора с точки зрения поведения, а не математики. Читать раздел про таймингA review of all three selection stages from the perspective of behavior, not mathematics. Read the timing section

интерактивЯндекс КонтестYandex Contest RU

Та самая платформа, на которой пройдёт онлайн-этап. Сегодня — только предварительное знакомство: зайди и посмотри, где условие, где поле ответа, как устроена страница задачи. Это не техническая проверка: настоящая стоит отдельным слотом 3 сентября, в дне 13, и ввод дробного числа, Python, numpy и sympy проверяются тамThe platform where the online round will take place. Today is only a preliminary visit: see where the statement and answer field are and how a problem page is laid out. This is not the technical check; that has its own slot on September 3, Day 13, where decimal input, Python, numpy, and sympy are tested

текстКлюч с ответами к Practice ProblemsAnswer key for Practice Problems RU

Официальный образец формата ответа — четыре знака после запятой. Открыть на две минуты и посмотреть, как оформлены числаOfficial example of the answer format — four digits after the decimal point. Open it for two minutes and look at how numbers are formatted

как работать сегодня

Здесь тоже названы задачи мока

Блок работает в слоте 3:00–3:50 и позже, после разбора. До мока он бесполезен и вреден.

После разбора — ремонт, а не новая теория. Берёшь две самые дорогие ошибки — не все восемь задач, а именно две — и прорешиваешь по три однотипные из банков прошлых дней. Ремонт по горячим следам работает в разы лучше, чем «повторю на выходных»: сейчас ещё живо ощущение того, как именно ты ошибся.

Задача мока	Что она проверяла	Куда идти за однотипными
k101	правило умножения с ограничением на первый шаг	`w0102`, `b0101`, `b0102`
k102	модель исхода и доля	`w0201`, `b0202`, `b0206`
k103	разворот условия формулой Байеса	`b0301`, `b0304`, `y0302`
k104	индикатор на нужный объект	`b0406`, `b0407`, `y0402`
k105	производная частного в точке	`b0501`, `b0502`, `b0503`
k106	глубина разложения по листу асимптотик	`b0602`, `b0605`, `y0604`
k107	экстремум, доведённый до значения	`w0501`, `b0503`, `y0501`
k108	счёт через дополнение	`w0204`, `b0204`, `y0201`

Ограничение в две строки существенно. Ремонт всех восьми не помещается в пятьдесят минут, а попытка всё-таки его втиснуть даёт восемь поверхностных проходов вместо двух настоящих.

Если после ремонта осталось время — тренажёр с карточками. Сегодня их накопилось много: интервалы первых дней как раз сошлись, и повторение первого дня на седьмой — самая выгодная точка.

Чего сегодня делать не надо

Новых тем нет. Разбора чужих решений задач, которые ты не решал, нет. Вечернего «добора» по темам, прозвучавшим сегодня слабо, тоже нет: они стоят в программе впереди и будут закрыты по плану. Сегодня чинится процесс, а не содержание.

The mock problems are named here as well

This block belongs in the 3:00–3:50 slot and later, after the review. Before the mock it is useless and harmful.

After the review comes repair, not new theory. Take the two most expensive mistakes — not all eight problems, exactly two — and solve three similar problems from the banks of previous days for each. Repairing the mistake while it is fresh works much better than “I’ll review it on the weekend”: you still remember exactly how you went wrong.

Mock problem	What it tested	Where to find similar problems
k101	multiplication rule with a restriction on the first step	`w0102`, `b0101`, `b0102`
k102	outcome model and fraction	`w0201`, `b0202`, `b0206`
k103	reversing the condition with Bayes’ formula	`b0301`, `b0304`, `y0302`
k104	placing the indicator on the right object	`b0406`, `b0407`, `y0402`
k105	quotient derivative at a point	`b0501`, `b0502`, `b0503`
k106	expansion depth on the asymptotics sheet	`b0602`, `b0605`, `y0604`
k107	an extremum carried through to its value	`w0501`, `b0503`, `y0501`
k108	counting through the complement	`w0204`, `b0204`, `y0201`

The two-problem limit matters. Repairing all eight does not fit in fifty minutes, and trying to force it in produces eight superficial passes instead of two real ones.

If time remains after repair, use the flashcard trainer. Many cards have accumulated today: the intervals from the first days have aligned, and reviewing Day 1 on Day 7 is the most profitable point.

What not to do today

There are no new topics. Do not review solutions to problems you did not attempt. Do not add an evening “catch-up” on topics that sounded weak today: they are already ahead in the program and will be covered on schedule. Today repairs the process, not the content.

контрольная точка

Мок № 1Mock 1

Восемь задач, 2 часа 30 минут. Время сжато намеренно: дефицит нужно пережить сейчас, а не 4 сентября.Eight problems, 2 hours 30 minutes. The time is intentionally compressed: experience the shortage now, not on September 4.

Перейти к моку

день закрыт, когда

За первые десять минут все восемь задач получили три вещи — метку A/B/C, оценку в минутах и слово темы — и за эти десять минут не сделано ни одного вычисления, ни на бумаге, ни устноIn the first ten minutes, all eight problems received the three things — A/B/C label, estimate in minutes, and topic word — and not one calculation was made, on paper or aloud

Задачи брались по возрастанию оценки внутри метки: сначала все A, начиная с самой короткой, потом B, потом C; порядок выписан на полях до старта, и разошёлся с фактическим только там, где его двигали сами правила — отсев уводил задачу в конец очереди, а не закрывал её, а задача, оказавшаяся не тем, чем выглядела, вставала в очередь заново по новой оценкеProblems were taken in increasing estimate order within each label: all A first from the shortest, then B, then C; the order was written in the margin before starting and differed from the actual order only when the rules themselves moved a problem — filtering sent it to the end rather than closing it, and a problem that turned out unlike its first impression was reinserted according to its new estimate

Ни один заход не длился дольше 12 минут при стоящей задаче, ни одна задача не съела больше 25 минут суммарно, и ни к одной не вернулся раньше, чем прошёл круг по всем восьми; та, что дошла до потолка, закрыта насовсем — возврата к ней не былоNo attempt lasted longer than 12 minutes while a problem was stuck, no problem consumed more than 25 minutes total, and you did not return to any problem before completing a pass through all eight; one reaching the ceiling was closed permanently, with no return

К отметке 2:10 решение прекращено, и последние 20 минут ушли на три прохода строго в порядке: пустые поля, формат всех восьми, правдоподобность; в 2:30 ни одной пустой строкиSolving stopped at 2:10, and the final 20 minutes went to three passes in strict order: blank fields, format for all eight, plausibility; at 2:30 no blank fields remained

Разбор начат через 20 минут после мока, письменно, и по каждой незакрытой или неверной задаче в журнале стоит ровно один из трёх диагнозов: не опознал тему, не знал метод, сломался на исполненииThe review began 20 minutes after the mock, in writing, and each unfinished or incorrect problem has exactly one of the three diagnoses in the log: failed to recognize the topic, did not know the method, execution broke down

В журнале ровно три вывода, каждый в форме «увидел X — делаю Y», и рядом коэффициент оптимизма: фактическое время, делённое на оценку из разметки, по задачам, доведённым до ответаThe log contains exactly three takeaways, each in the form “I saw X — I do Y,” plus the optimism factor: actual time divided by the estimate from labeling, calculated for problems brought to an answer

Перерыв на отметке 1:30 сделан по часам, а не по самочувствию: встал, отвёл глаза от экрана, сел — даже посреди выкладки; второй перерыв в сжатый мок не помещается, отметка 2:30 это финишThe 1:30 break was taken by the clock, not by how you felt: stand up, look away from the screen, sit down — even in the middle of a derivation; a second break does not fit in the compressed mock, so 2:30 is the finish

аудит дня

Три вывода. Формат строгий: «В задаче N я сделал X, потому что Y. В следующий раз при виде Z делаю W». Расплывчатое «был невнимателен» не считается — оно не меняет ни одного действия и потому бесполезно.

Отдельной строкой — коэффициент оптимизма = фактическое время, делённое на оценку из разметки. Считается по задачам, которые доведены до ответа. Незакрытые задачи в счёт не идут: у них нет фактического времени решения, есть только время, которое ты в них вложил. Это число уточняется 3 сентября на моке № 2, а 4 сентября все прикидки времени на экзамене умножаются на него.

И третье, в одну строку: сколько меток оказались неверными. Задача, помеченная A и съевшая двадцать минут, — ошибка разметки, а не решения, и лечится она отдельно от математики. Если таких больше двух, завтра перед началом занятий перечитай раздел про метки: это самый дешёвый источник потерянных баллов из всех.

Three takeaways. The format is strict: “In problem N, I did X because Y. Next time, when I see Z, I will do W.” Vague wording such as “I was careless” does not count — it changes no action and is therefore useless.

On a separate line, write the optimism factor = actual time divided by the estimate from labeling. It is calculated for problems brought to an answer. Unfinished problems are not counted: they have no actual solving time, only the time you invested in them. This number is refined on September 3 in Mock No. 2, and on September 4 every exam time estimate is multiplied by it.

And in one line, record how many labels were wrong. A problem labeled A that consumed twenty minutes is a labeling error, not a solving error, and needs separate treatment from mathematics. If there are more than two, reread the section on labels before starting tomorrow: it is the cheapest source of lost points of all.

заметка дня

Открыть журнал ошибок

← Пределы и асимптотикиLimits and asymptotics Интеграл: обратный ход и техника счётаIntegrals: reverse engineering and calculation technique →