RUТри разных запроса к интегралу
День 8 уже учит заменам, интегрированию по частям и несобственным интегралам. Здесь не меняем тот набор. Добавляем три решения о методе: уменьшить индекс семейства, продифференцировать накопленную площадь или разложить рациональную дробь с повторным множителем.
Перед счётом прочитайте глагол: «вычислите интеграл», «докажите рекуррентную формулу» и «найдите производную интеграла» требуют разных конечных результатов. Во втором случае число без доказательства неполно, а в третьем первообразная часто вообще не нужна.
По частям ради уменьшения индекса
Пусть $B_n=\int_0^1 x^ne^x dx$, $n\ge0$. Рекуррентная формула выражает следующий член через предыдущий. Здесь хочется заменить степень $n$ на $n-1$, поэтому в $u$ выбираем $x^n$, а в $dv$ — $e^x dx$.
$$du=nx^{n-1}dx,\qquad v=e^x,\qquad B_n=[x^ne^x]_0^1-n\int_0^1x^{n-1}e^x dx.$$Внеинтегральное выражение называется граничным членом. Его нельзя пропускать: это значение произведения на верхнем конце минус значение на нижнем. При $n\ge1$ верхнее значение равно $e$, нижнее — $0$.
$$B_n=e-nB_{n-1},\qquad n\ge1.$$Область индекса — часть доказательства. При $n=0$ подынтегральная функция $e^x$, и нижний граничный член равен $1$, а не $0$. Не используйте запись $0^0$ как способ решить этот вопрос: исходный интеграл для нулевого индекса определён отдельно.
$$B_0=e-1,\quad B_1=1,\quad B_2=e-2,\quad B_3=6-2e.$$Поэтому $B_1+B_2+B_3=5-e$. Проверка знака и размера: каждый интеграл положителен, а на $(0,1)$ величины $x^n$ убывают с ростом $n$, значит $B_0>B_1>B_2>B_3>0$.
Этот вывод проверяет Q8 независимо от готового ответа. В новом упражнении не переносите автоматически коэффициент $n$ и верхний член $e$: они изменяются вместе с экспонентой и границей.
Перенос на другую экспоненту и отрезок
Для $C_n=\int_0^a x^ne^{cx}dx$, $a>0$, $c\ne0$, выбираем $v=e^{cx}/c$. Тогда
$$C_n=\frac{a^ne^{ca}}c-\frac nc C_{n-1}\quad(n\ge1),\qquad C_0=\frac{e^{ca}-1}c.$$Отрицательное $c$ меняет знаки в формуле, но сам интеграл остаётся положительным. Для $c=0$ этот вывод с делением на $c$ не применяется; тогда напрямую интегрируем степень. Это пример проверки области метода до подстановки.
При другой нижней границе $b$ сохраняйте полный член $[x^ne^{cx}/c]_b^a$: он уже не обязательно зануляется снизу. Сначала выводите формулу, затем считайте по ней нужные индексы.
Производная накопленной площади
Пусть $H(z)=\int_a^z f(t)dt$, где $f$ непрерывна возле нужной точки. При малом изменении границы площадь меняется примерно на высоту $f(z)$, умноженную на ширину изменения. Поэтому основная теорема анализа даёт $H\prime(z)=f(z)$.
Буква $t$ внутри интеграла — переменная интегрирования. Она не остаётся в ответе. Независимая переменная функции — $z$ или $x$, как указано снаружи. Это различение особенно важно, когда верхняя граница равна $x^2$.
Если $F(x)=H(g(x))$, основная теорема соединяется с цепным правилом из дня 5.
$$\frac d{dx}\int_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g\prime(x).$$Здесь два действия: подставить всю верхнюю границу вместо $t$ и умножить на скорость изменения этой границы. Если в $f(t)$ стоит $t^2$, подстановка $t=x^2$ даёт $(x^2)^2=x^4$, а не $x^2$.
Например, $F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt$ имеет производную $F\prime(x)=2xe^{-x^4}$. При $x=1$ получаем $2/e$, а при $x=-1$ — $-2/e$. Хотя сама накопленная площадь одинакова в этих двух точках, направления движения границы различны.
У $e^{-t^2}$ нет первообразной, выражаемой конечной комбинацией обычных элементарных функций. Это не мешает определять $H$ интегралом и вычислять её производную: основная теорема требует непрерывности, а не наличия удобной формулы.
Если двигаются оба конца
Запишите интеграл как разность двух накопленных площадей от одного постоянного начала. Получается
$$\frac d{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g\prime(x)-f(h(x))h\prime(x).$$Минус перед нижней границей отражает то, что увеличение нижнего конца убирает площадь. Например, для $\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt$ производная равна $2xe^{-x^4}-e^{-x^2}$. При $x=1$ сам интеграл нулевой, но производная равна $1/e$.
Если подынтегральная функция зависит ещё и от внешнего $x$, этих формул недостаточно: появляется дополнительный член. В наших задачах под интегралом функция только от $t$, что указано в условии.
Повторный множитель в простейших дробях
Рациональная функция — отношение многочленов. Если степень числителя не меньше степени знаменателя, сначала делят многочлены. Для правильной дроби знаменатель раскладывают на множители и подбирают простейшие дроби.
Для множителя $x^2$ нужны все степени до второй: $A/x+B/x^2$. Для $(x-a)^3$ нужны $A/(x-a)+B/(x-a)^2+C/(x-a)^3$. Пропуск одной степени делает общее разложение невозможным.
Разберём $1/[x^2(x+1)]$. Пишем
$$\frac1{x^2(x+1)}=\frac Ax+\frac B{x^2}+\frac C{x+1},\qquad1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2.$$Второе равенство — тождество многочленов после умножения на знаменатель. Поэтому в него можно подставлять $x=0$ и $x=-1$, хотя в исходной дроби эти точки запрещены. Так получаем $B=1$, $C=1$, а сравнение коэффициентов при $x^2$ даёт $A=-1$.
Проверка перед интегрированием: $-x(x+1)+(x+1)+x^2=1$. Если числитель не восстановился, ещё рано искать первообразную.
Для квадратов и кубов используйте степенное правило: $\int x^{-2}dx=-1/x$, $\int x^{-3}dx=-1/(2x^2)$. Логарифм возникает только у степени $-1$.
Несобственный интеграл: сначала общий предел
Для интеграла от $1$ до бесконечности сначала пишем верхнюю границу $T$. После разложения получаем на конечном отрезке
$$\int_1^T\frac{dx}{x^2(x+1)}=\left[-\ln x-\frac1x+\ln(x+1)\right]_1^T.$$Объединяем логарифмы до предела: $\ln(x+1)-\ln x=\ln((x+1)/x)$. При $T\to\infty$ отношение стремится к $1$, логарифм — к $0$, а $1/T$ тоже к $0$. Получаем $1-\ln2$.
Запись «интеграл $-1/x$ до бесконечности плюс интеграл $1/(x+1)$ до бесконечности» недопустима как сумма конечных чисел: оба расходятся. Линейность на каждом конечном отрезке верна; общий предел берут только после объединения.
Сходимость можно проверить ещё до разложения: при $x\ge1$ имеем $0<1/[x^2(x+1)]<1/x^3$, а интеграл $1/x^3$ сходится. Эта оценка также даёт верхнюю границу ответа $1/2$; число $1-\ln2$ ей удовлетворяет.
Самостоятельная проверка
Для рекуррентности проверьте производную произведения и оба конца; для подвижной границы — цепное правило и знак скорости; для дробей — исходный числитель после приведения к общему знаменателю, затем производную первообразной и общий предел. Эти проверки ищут разные ошибки и не заменяют друг друга.
ENThree different requests about an integral
Day 8 already teaches substitution, integration by parts, and improper integrals. We retain that material and add three method choices: lower the index of a family, differentiate accumulated area, or decompose a rational function with a repeated factor.
Read the requested action first: “evaluate the integral,” “prove a recurrence,” and “differentiate the integral” require different outputs. In the second case a number without a proof is incomplete; in the third, an antiderivative is often unnecessary.
Integration by parts to lower an index
Let $B_n=\int_0^1 x^ne^x dx$, $n\ge0$. A recurrence expresses a term using an earlier term. Here we want to replace degree $n$ by $n-1$, so choose $u=x^n$ and $dv=e^x dx$.
$$du=nx^{n-1}dx,\qquad v=e^x,\qquad B_n=[x^ne^x]_0^1-n\int_0^1x^{n-1}e^x dx.$$The expression outside the integral is the boundary term. Do not omit it: evaluate the product at the upper endpoint and subtract its value at the lower endpoint. For $n\ge1$, the upper value is $e$ and the lower one is $0$.
$$B_n=e-nB_{n-1},\qquad n\ge1.$$The index range is part of the proof. At $n=0$, the integrand is $e^x$, and the lower boundary value is $1$, not $0$. Do not use the expression $0^0$ to settle this: the original integral at index zero is defined separately.
$$B_0=e-1,\quad B_1=1,\quad B_2=e-2,\quad B_3=6-2e.$$Therefore $B_1+B_2+B_3=5-e$. Check signs and sizes: each integral is positive, and on $(0,1)$ the values $x^n$ decrease as $n$ increases, so $B_0>B_1>B_2>B_3>0$.
This derives Q8 independently of a supplied answer. In a new problem, do not automatically reuse coefficient $n$ or upper term $e$: they change when the exponential or endpoint changes.
Changing the exponential or interval
For $C_n=\int_0^a x^ne^{cx}dx$, with $a>0$ and $c\ne0$, use $v=e^{cx}/c$. Then
$$C_n=\frac{a^ne^{ca}}c-\frac nc C_{n-1}\quad(n\ge1),\qquad C_0=\frac{e^{ca}-1}c.$$A negative $c$ changes signs in the recurrence, but the integral itself stays positive. If $c=0$, this derivation divides by zero and does not apply; integrate the power directly instead. Check the method's domain before substitution.
With a different lower endpoint $b$, retain the full term $[x^ne^{cx}/c]_b^a$: the lower contribution need not vanish. Derive the recurrence first, then use it to calculate the requested indices.
The derivative of accumulated area
Let $H(z)=\int_a^z f(t)dt$, with $f$ continuous near the point of interest. A small endpoint change adds approximately the height $f(z)$ times the endpoint displacement. The fundamental theorem of calculus therefore gives $H\prime(z)=f(z)$.
The letter $t$ inside the integral is the integration variable. It does not remain in the answer. The function's independent variable is $z$ or $x$, as written outside. This distinction matters especially when the upper endpoint is $x^2$.
If $F(x)=H(g(x))$, combine the fundamental theorem with the chain rule from day 5.
$$\frac d{dx}\int_a^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g\prime(x).$$There are two steps: substitute the entire upper endpoint for $t$, then multiply by that endpoint's rate of change. If $f(t)$ contains $t^2$, substituting $t=x^2$ produces $(x^2)^2=x^4$, not $x^2$.
For example, $F(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}dt$ has derivative $F\prime(x)=2xe^{-x^4}$. At $x=1$ it is $2/e$, while at $x=-1$ it is $-2/e$. The accumulated area is the same at those points, but the endpoint moves in opposite directions.
The function $e^{-t^2}$ has no antiderivative expressible as a finite combination of the usual elementary functions. This does not prevent us from defining $H$ by an integral and differentiating it: the fundamental theorem requires continuity, not a convenient closed formula.
If both endpoints move
Express the integral as the difference of two accumulated areas measured from the same fixed starting point. This gives
$$\frac d{dx}\int_{h(x)}^{g(x)}f(t)dt=f(g(x))g\prime(x)-f(h(x))h\prime(x).$$The minus sign for the lower endpoint reflects that increasing it removes area. For example, the derivative of $\int_x^{x^2}e^{-t^2}dt$ is $2xe^{-x^4}-e^{-x^2}$. At $x=1$, the integral itself is zero, but its derivative is $1/e$.
If the integrand also depends on the external variable $x$, these formulas alone are insufficient: an additional term appears. In our questions, the integrand depends only on $t$, as specified in the statement.
Repeated factors in partial fractions
A rational function is a ratio of polynomials. If the numerator's degree is at least the denominator's, divide the polynomials first. For a proper rational function, factor the denominator and construct partial fractions.
A factor $x^2$ requires every power up to two: $A/x+B/x^2$. A factor $(x-a)^3$ requires $A/(x-a)+B/(x-a)^2+C/(x-a)^3$. Omitting a power prevents the decomposition from representing a general numerator.
Consider $1/[x^2(x+1)]$. Write
$$\frac1{x^2(x+1)}=\frac Ax+\frac B{x^2}+\frac C{x+1},\qquad1=Ax(x+1)+B(x+1)+Cx^2.$$The second equation is a polynomial identity after clearing denominators. We may therefore substitute $x=0$ and $x=-1$ into it, even though the original fraction excludes those points. This gives $B=1$, $C=1$; comparing coefficients of $x^2$ gives $A=-1$.
Check before integrating: $-x(x+1)+(x+1)+x^2=1$. If the numerator is not recovered, fix the decomposition before seeking an antiderivative.
For squared and cubed factors, use the power rule: $\int x^{-2}dx=-1/x$, $\int x^{-3}dx=-1/(2x^2)$. A logarithm occurs only for power $-1$.
Improper integrals: use a common cutoff
For an integral from $1$ to infinity, first use a finite upper endpoint $T$. After decomposition, the finite-interval calculation gives
$$\int_1^T\frac{dx}{x^2(x+1)}=\left[-\ln x-\frac1x+\ln(x+1)\right]_1^T.$$Combine the logarithms before taking a limit: $\ln(x+1)-\ln x=\ln((x+1)/x)$. As $T\to\infty$, the ratio tends to $1$, the logarithm tends to $0$, and $1/T$ tends to $0$. The result is $1-\ln2$.
Writing “the integral of $-1/x$ to infinity plus the integral of $1/(x+1)$ to infinity” is not a sum of finite numbers: both diverge. Linearity is valid on every finite interval; take the common limit only after combining the terms.
Convergence can be checked before decomposition: for $x\ge1$, $0<1/[x^2(x+1)]<1/x^3$, and the integral of $1/x^3$ converges. This also bounds the answer above by $1/2$; the value $1-\ln2$ satisfies that bound.
Independent checks
For a recurrence, check the product derivative and both endpoints. For a moving endpoint, check the chain rule and the sign of its velocity. For partial fractions, recover the original numerator, then check the antiderivative's derivative and the common limit. These checks detect different errors and cannot replace one another.