День 06 27 августа, четверг МатанализCalculus

Пределы и асимптотикиLimits and asymptotics

Лист асимптотик вместо Лопиталя: подставить, сократить, назвать главный членAn asymptotics sheet instead of L’Hôpital: substitute, simplify, and name the leading term

0% дня закрыто · решено задач 11 из 16

цель дня

К вечеру ты берёшь предел вида «ноль на ноль» подстановкой готовых разложений за полминуты и до начала счёта говоришь вслух, до какой степени нужен числитель. Главное — не терять ответ там, где главные члены сократились. Проверка — пять финальных задач ниже, вторая под таймером.

By the end of the day, you can evaluate a $0/0$ limit by substituting a ready-made expansion in about thirty seconds, and say out loud before calculating how many terms the numerator needs. The key is not to lose the answer when leading terms cancel. Check yourself with the five final problems below; the second one is timed.

Самостоятельные задачи

К концу дня нужно уметь решать эти задачи самостоятельно, без подсказок.

Y0601Уровень YMLS✓Опознать $1^{\infty}$, перейти к логарифму, посчитать его по листу и вернуть экспонентуRecognize $1^{\infty}$, switch to logarithms, compute the logarithm from the sheet, and return the exponentialк задаче →Y0602Уровень YMLSВынести общий множитель из разности двух экспонент и свести всё к одному $e^{u} - 1 \sim u$ — эта же задача идёт мини-тестом дняFactor the difference of two exponentials and reduce it to a single $e^{u} - 1 \sim u$ — this problem is also today’s mini-testк задаче →Y0603Уровень YMLSРазложить показатель до второго члена: первый даёт ровно $e$, а весь ответ лежит во второмExpand the exponent through the second term: the first gives exactly $e$, while the whole answer is hidden in the secondк задаче →Y0604Уровень YMLS✓Развернуть составной аргумент и произведение ряда на множитель там, где линейные части сокращаются полностьюExpand a composite argument and a series multiplied by a factor where the linear terms cancel completelyк задаче →S0601Уровень ШАД✓Разобрать целую часть около нуля слева и справа и подобрать параметр, при котором скачок исчезаетAnalyze the floor function just to the left and right of zero and choose the parameter that removes the jumpк задаче →

Мост · что нужно вспомнить

Вчерашняя касательная приближала функцию прямой: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. Сегодня та же идея продолжается вправо — приближение многочленом второй, третьей и более высокой степени. Каждая строка сегодняшнего листа асимптотик и есть вчерашняя формула, дописанная до нужной глубины.

Долг тоже возвращается. Определение производной — это предел вида $\frac00$, и вчера мы считали его руками, приёмами вроде домножения на сопряжённое, потому что другого инструмента не было. Сегодня инструмент появляется, и вчерашний дриль получает второй способ проверки. А правило Лопиталя, к которому мы придём во второй половине урока, работает ровно на вчерашней таблице производных и цепном правиле — без них его не применить.

Из четвёртого дня возвращается число $e$. Там вероятность «ни разу за $n$ попыток» записывалась как $(1 - p)^{n}$ — например, $\left(\frac56\right)^{6} \approx 0.3349$ в задаче y0402. Вопрос «а к чему это стремится при малом $p$ и $n = 1/p$» — уже сегодняшний: $(1 - p)^{1/p} \to e^{-1} \approx 0.3679$. Число $e$ приходит в вероятностные задачи именно отсюда.

Yesterday’s tangent line approximated a function with a straight line: $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\Delta x$. Today the same idea continues to the right — approximation by a polynomial of second, third, or higher degree. Every line on today’s asymptotics sheet is yesterday’s formula, extended to the depth we need.

The debt comes back, too. The definition of the derivative is a $\frac00$ limit, and yesterday we computed it by hand with tricks such as multiplying by the conjugate because we had no other tool. Today that tool appears, and yesterday’s drill gets a second way to check the result. L’Hôpital’s rule, which we reach in the second half of the lesson, works precisely with yesterday’s derivative table and chain rule — without them, it cannot be applied.

The number $e$ returns from Day 4. There, the probability of “not once in $n$ attempts” was written as $(1 - p)^{n}$ — for example, $\left(\frac56\right)^{6} \approx 0.3349$ in problem y0402. The question “what does this approach when $p$ is small and $n = 1/p$?” is already today’s question: $(1 - p)^{1/p} \to e^{-1} \approx 0.3679$. This is where $e$ enters probability problems.

Вспомни вслух, до открытия конспектов:

Предел непрерывной функции — это подстановка: $\lim_{x \to 2}(x^{2} + 3x) = 10$, отдельного приёма тут нетThe limit of a continuous function is found by substitution: $\lim_{x \to 2}(x^{2} + 3x) = 10$; no special technique is needed
Неопределённости — это $\frac00$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, $1^{\infty}$; выражение $\frac{a}{0}$ при $a \ne 0$ неопределённостью не являетсяIndeterminate forms are $\frac00$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$, and $1^{\infty}$; $\frac{a}{0}$ with $a \ne 0$ is not indeterminate
Общий множитель сокращается: $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ при $x \ne 2$, а сама точка предел не интересуетA common factor cancels: $\frac{x^{2} - 4}{x - 2} = x + 2$ for $x \ne 2$, and the point itself does not matter to the limit
Многочлен на многочлен при $x \to \infty$: делим на старшую степень, ответ — отношение старших коэффициентовFor a polynomial divided by a polynomial as $x \to \infty$, divide by the highest power; the answer is the ratio of leading coefficients
$a^{b} = e^{b \ln a}$ при $a > 0$; $e^{u + v} = e^{u}e^{v}$; $\ln(uv) = \ln u + \ln v$$a^{b} = e^{b \ln a}$ for $a > 0$; $e^{u + v} = e^{u}e^{v}$; $\ln(uv) = \ln u + \ln v$
Таблица производных и цепное правило пятого дня — на них стоит правило ЛопиталяThe derivative table and chain rule from Day 5 are what L’Hôpital’s rule rests on
$\lfloor t \rfloor$ — наибольшее целое, не превосходящее $t$: $\lfloor 0.3 \rfloor = 0$, $\lfloor -0.3 \rfloor = -1$, $\lfloor 0 \rfloor = 0$$\lfloor t \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $t$: $\lfloor 0.3 \rfloor = 0$, $\lfloor -0.3 \rfloor = -1$, $\lfloor 0 \rfloor = 0$
$\arcsin 0 = 0$, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, $\cos 0 = 1$$\arcsin 0 = 0$, $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$, $\cos 0 = 1$
$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac1x\right)^{x} = e \approx 2.71828$ — это и есть определение числа $e$$\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac1x\right)^{x} = e \approx 2.71828$ — this is the definition of $e$
Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда оба односторонних существуют и равныA two-sided limit exists if and only if both one-sided limits exist and are equal

Повторение прошлых дней

Карточки возвращаются через 1, 2, 4, 7, 14 и 21 день в зависимости от того, насколько уверенно ты их вспомнил; «не помню» отправляет карточку в начало. Это часть разогрева, вместе с блоком «Мост».

Комбинаторика день 1 осталось 59

Правило умножения: две оговорки, без которых оно не работает

The multiplication rule: two qualifications without which it does not work

Сначала сформулируй вслух. Попытка вспомнить закрепляет сильнее, чем чтение готового ответа.

6 задач: подборка покрывает темы и микронавыки последнего учебного дня (5), а для каждой идеи выбирает наиболее сильный доступный уровень. Здесь отдельная попытка: решение в исходном дне не подставляется. Сначала назови тему вслух, затем решай.

Собрать новый набор

Y0501Уровень YMLSМатанализуровень YMLS

Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ при $x > 0$. В ответе укажите само значение функции.

Find the minimum value of the function $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ for $x > 0$. In your answer, give the value of the function itself.

ответ

Подсказка / Hint

Приравняй производную нулю. Проверь, что найденная точка — минимум, а не максимум, и не забудь оценить края открытого промежутка.

Set the derivative equal to zero. Check that the point you find is a minimum rather than a maximum, and remember to examine the ends of the open interval.

Решение / Solution

RU$$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$$

Приравниваем нулю: $\frac{4}{x^2} = 1$, то есть $x^2 = 4$. Условие $x > 0$ оставляет единственный корень $x = 2$.

Тип точки. При $0 < x < 2$ имеем $\frac{4}{x^2} > 1$, значит $f' < 0$ и функция убывает; при $x > 2$ производная положительна и функция растёт. Смена знака с минуса на плюс — минимум.

Края промежутка. Он открыт с обеих сторон, поэтому подставлять нечего, но оценить нужно: при $x \to 0^{+}$ слагаемое $\frac4x$ уходит в $+\infty$, при $x \to +\infty$ в бесконечность уходит само $x$. На обоих краях функция больше любого числа, значит найденный минимум глобальный.

$$f(2) = 2 + \frac42 = 4$$

В ответ идёт четвёрка, а не двойка.

Проверка другим способом

По неравенству о средних $x + \frac4x \ge 2\sqrt{x \cdot \frac4x} = 4$, причём равенство достигается при $x = \frac4x$, то есть при $x = 2$. Тот же ответ без всякой производной — хорошая сверка за десять секунд.

EN$$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$$

Set this equal to zero: $\frac{4}{x^2} = 1$, so $x^2 = 4$. The condition $x > 0$ leaves only the root $x = 2$.

Type of the critical point. For $0 < x < 2$, we have $\frac{4}{x^2} > 1$, so $f' < 0$ and the function decreases. For $x > 2$, the derivative is positive and the function increases. The change from negative to positive gives a minimum.

Ends of the interval. The interval is open at both ends, so there are no endpoints to substitute, but their limiting behavior must still be examined. As $x \to 0^{+}$, the term $\frac4x$ tends to $+\infty$; as $x \to +\infty$, the term $x$ itself tends to infinity. At both ends, the function eventually exceeds any given number, so the minimum found above is global.

$$f(2) = 2 + \frac42 = 4$$

The answer is four, not two.

Check by another method

By the AM–GM inequality, $x + \frac4x \ge 2\sqrt{x \cdot \frac4x} = 4$, with equality when $x = \frac4x$, or $x = 2$. This gives the same answer without using a derivative—a useful ten-second check.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0502Уровень YMLSМатанализуровень YMLS

Найдите значение локального максимума функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. В ответе укажите значение функции в точке максимума.

Find the value of the local maximum of the function $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. In your answer, give the value of the function at the maximum point.

ответ

Подсказка / Hint

Тот же ход, что в w0504 и b0502: первая производная даёт обе критические точки, вторая различает их по знаку. Отличие одно — в ответ идёт значение, а не абсцисса.

Use the same approach as in w0504 and b0502: the first derivative gives both critical points, and the sign of the second derivative distinguishes them. The only difference is that the answer here is the value, not the $x$-coordinate.

Решение / Solution

RU$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$$

Критические точки: $x = 1$ и $x = 3$. Их две, и вопрос спрашивает ровно про одну — значит тип определить обязательно.

Различаем. $f''(x) = 6x - 12$. $f''(1) = -6 < 0$ — выпуклость вверх, «горка», локальный максимум. $f''(3) = 6 > 0$ — выпуклость вниз, «чаша», локальный минимум.

То же самое читается по знаку $f'$: множители $(x-1)$ и $(x-3)$ дают плюс на $(-\infty;1)$, минус на $(1;3)$ и снова плюс на $(3;+\infty)$ — рост, спад, рост.

$$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$$

Локальный максимум — не наибольшее значение

Спрашивают именно локальный максимум, и концы промежутка здесь ни при чём: у кубического многочлена значения уходят в $+\infty$, наибольшего значения у него просто нет. Это единственный тип вопроса, где концы можно не смотреть.

EN$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$$

The critical points are $x = 1$ and $x = 3$. There are two, while the question asks about exactly one, so they must be classified.

Distinguish them. We have $f''(x) = 6x - 12$. $f''(1) = -6 < 0$, so the graph is concave down—a “hill”—and has a local maximum. $f''(3) = 6 > 0$, so the graph is concave up—a “bowl”—and has a local minimum.

The same conclusion follows from the sign of $f'$. The factors $(x-1)$ and $(x-3)$ make $f'$ positive on $(-\infty;1)$, negative on $(1;3)$, and positive again on $(3;+\infty)$: the function increases, decreases, then increases.

$$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$$

A local maximum is not a greatest value

The question asks specifically for a local maximum, so the ends of the interval are irrelevant here. A cubic polynomial tends to $+\infty$ in one direction and therefore has no greatest value. This is the one type of question for which there is no need to examine endpoints.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

S0501Уровень ШАДМатанализЭкзамен ШАД 2024, задача B «Читеры»

Группа из $k$ друзей вступает в сговор на экзамене; $k$ — целое, $k \ge 1$. Антиплагиат ловит группу из $k$ человек с вероятностью

$$\P(C = k) = \frac{k^2}{100}\,I(0 \le k \le 10) + I(k > 10)$$

где $I$ — индикаторная функция. Доля решённых группой задач распределена равномерно на отрезке

$$\left[\frac{\min(k, 5)}{8},\ 1\right]$$

Найдите оптимальный размер группы — то целое $k$, при котором разность между математическим ожиданием доли решённых задач и вероятностью быть пойманными наибольшая. В ответе укажите $k$.

A group of $k$ friends colludes on an exam, where $k$ is an integer and $k \ge 1$. The plagiarism-detection system catches a group of $k$ people with probability

$$\P(C = k) = \frac{k^2}{100}\,I(0 \le k \le 10) + I(k > 10)$$

where $I$ is the indicator function. The fraction of the problems solved by the group is uniformly distributed on the interval

$$\left[\frac{\min(k, 5)}{8},\ 1\right]$$

Find the optimal group size: the integer $k$ for which the difference between the expected fraction of problems solved and the probability of being caught is greatest. In your answer, give $k$.

ответ

Подсказка / Hint

Матожидание равномерного распределения — полусумма концов отрезка. Дальше подумай, при каких $k$ разность вообще может расти, и перебери остаток руками.

The expected value of a uniform distribution is the average of the interval's endpoints. Then determine for which values of $k$ the difference can still increase, and check the remaining cases directly.

Решение / Solution

Что максимизируем. Матожидание равномерного распределения на $[a,\,1]$ равно $\frac{a+1}{2}$, поэтому средняя доля решённых задач равна

$$\frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right)$$

Вероятность быть пойманными компактно записывается как $\dfrac{\min(k,10)^2}{100}$: при $k \le 10$ это $\frac{k^2}{100}$, при $k > 10$ это единица.

$$S(k) = \frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right) - \frac{\min(k,10)^2}{100}$$

Отсекаем бесконечный перебор. При $k \ge 5$ первое слагаемое перестаёт расти (из-за $\min(k,5)$), а вычитаемое продолжает увеличиваться вплоть до $k = 10$ и дальше остаётся равным единице. Значит на $k \ge 5$ функция $S$ не возрастает, и максимум лежит среди $k = 1, 2, 3, 4, 5$. Это тот же ход, что в мосте b0507.

$k$	доля решённых	штраф	$S(k)$
1	0.5625	0.01	0.5525
2	0.6250	0.04	0.5850
3	0.6875	0.09	0.5975
4	0.7500	0.16	0.5900
5	0.8125	0.25	0.5625

Максимум при $k = 3$.

Что забрать на YMLS

Приём «отсеки рассуждением, доперебирай руками». Переменная целочисленная, поэтому производную брать бессмысленно. Вместо этого одно рассуждение о монотонности свело бесконечный перебор к пяти значениям, и они честно посчитаны в таблице.

Так устроены почти все прикладные экстремальные задачи Яндекса: сначала аналитика сужает область, потом перебор добивает.

Quantity to maximize. The expected value of a uniform distribution on $[a,\,1]$ is $\frac{a+1}{2}$, so the expected fraction of problems solved is

$$\frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right)$$

The probability of being caught can be written compactly as $\dfrac{\min(k,10)^2}{100}$: it equals $\frac{k^2}{100}$ for $k \le 10$ and one for $k > 10$.

$$S(k) = \frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right) - \frac{\min(k,10)^2}{100}$$

Eliminating an infinite search. For $k \ge 5$, the first term stops growing because of $\min(k,5)$, while the subtracted term continues to increase through $k = 10$ and then remains equal to one. Thus, $S$ is nonincreasing for $k \ge 5$, and the maximum lies among $k = 1, 2, 3, 4, 5$. This is the same approach used in the bridge problem b0507.

$k$	expected fraction solved	penalty	$S(k)$
1	0.5625	0.01	0.5525
2	0.6250	0.04	0.5850
3	0.6875	0.09	0.5975
4	0.7500	0.16	0.5900
5	0.8125	0.25	0.5625

The maximum occurs at $k = 3$.

The key technique to take to YMLS

Reason first, then finish by enumeration. Since the variable is an integer, taking a derivative is meaningless. Instead, one monotonicity argument reduces an infinite search to five values, which are then calculated explicitly in the table.

Nearly all of Yandex's applied extremum problems have this structure: analysis first narrows the search space, and enumeration finishes the job.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0504Уровень YMLSМатанализуровень YMLS

Прямая $y = kx$, проходящая через начало координат, касается графика функции $y = \ln x$. Найдите $k$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

The line $y = kx$, which passes through the origin, is tangent to the graph of $y = \ln x$. Find $k$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

В точке касания совпадают две вещи сразу: значения функций и наклоны. Это система из двух уравнений с двумя неизвестными — как в b0504, только функция другая.

At the point of tangency, two things agree simultaneously: the function values and the slopes. This gives a system of two equations in two unknowns, just as in b0504, but with a different function.

Решение / Solution

Пусть касание происходит в точке $x_0$. Выполняются два условия одновременно.

Значения совпадают (точка лежит на обеих кривых):

$$k x_0 = \ln x_0$$

Наклоны совпадают (прямая касается, а не пересекает):

$$k = (\ln x)'\big|_{x_0} = \frac{1}{x_0}$$

Подставляем второе уравнение в первое:

$$\frac{1}{x_0} \cdot x_0 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; 1 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; x_0 = e$$

Отсюда

$$k = \frac{1}{x_0} = \frac1e \approx 0.3679$$

Проверка. Точка касания $(e,\,1)$ лежит на прямой, потому что $\frac1e \cdot e = 1$, и на логарифме, потому что $\ln e = 1$; наклоны в ней равны $\frac1e$ у обеих кривых.

Геометрический смысл ответа

$y = x/e$ — единственная прямая через начало координат, которая касается логарифма, а не пересекает его. Число корней уравнения $kx = \ln x$ читается по наклону так: при $0 < k < \frac1e$ корней два, при $k = \frac1e$ ровно один (это и есть касание), при $k > \frac1e$ ни одного. При $k \le 0$ корень тоже ровно один, но по другой причине: функция $kx - \ln x$ там строго убывает с $+\infty$ до $-\infty$ и пересекает ноль один раз. Двух пересечений вне полосы $0 < k < \frac1e$ не бывает.

Suppose the tangency occurs at $x_0$. Two conditions hold simultaneously.

The values agree (the point lies on both curves):

$$k x_0 = \ln x_0$$

The slopes agree (the line is tangent rather than merely intersecting the curve):

$$k = (\ln x)'\big|_{x_0} = \frac{1}{x_0}$$

Substitute the second equation into the first:

$$\frac{1}{x_0} \cdot x_0 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; 1 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; x_0 = e$$

Hence,

$$k = \frac{1}{x_0} = \frac1e \approx 0.3679$$

Check. The point of tangency $(e,\,1)$ lies on the line because $\frac1e \cdot e = 1$, and on the logarithmic curve because $\ln e = 1$. Both curves have slope $\frac1e$ there.

Geometric meaning of the answer

$y = x/e$ is the unique line through the origin that is tangent to the logarithmic curve rather than crossing it. The number of roots of $kx = \ln x$ can be read from the slope: for $0 < k < \frac1e$, there are two roots; for $k = \frac1e$, there is exactly one (the tangency); and for $k > \frac1e$, there are none. For $k \le 0$, there is also exactly one root, but for a different reason: the function $kx - \ln x$ is then strictly decreasing from $+\infty$ to $-\infty$ and crosses zero once. Two intersections occur only in the range $0 < k < \frac1e$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0503Уровень YMLSМатанализуровень YMLS

Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x^{x}$ на промежутке $x > 0$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

Find the minimum value of the function $f(x) = x^{x}$ on the interval $x > 0$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Переменная стоит и в основании, и в показателе — обычные правила не подходят. Прологарифмируй перед дифференцированием.

The variable appears in both the base and the exponent, so the usual rules do not apply. Take logarithms before differentiating.

Решение / Solution

Приём — логарифмическое дифференцирование, отработанное в b0505:

$$f'(x) = x^x(\ln x + 1)$$

Так как $x^x > 0$ при $x > 0$, критическая точка там, где $\ln x + 1 = 0$, то есть

$$x = e^{-1} = \frac1e \approx 0.3679$$

Тип точки. При $x < \frac1e$ имеем $\ln x < -1$, скобка отрицательна, производная отрицательна; при $x > \frac1e$ — положительна. Смена знака с минуса на плюс: минимум.

Края. При $x \to 0^{+}$ произведение $x\ln x$ стремится к нулю (логарифм растёт медленнее, чем убывает $x$), поэтому $f = e^{x\ln x} \to 1$. При $x \to +\infty$ функция растёт неограниченно. Оба края выше найденного значения.

$$f\!\left(\frac1e\right) = \left(\frac1e\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.6922$$

В ответ идёт $0.6922$, а не $0.3679$: спрашивали значение функции.

Две ловушки в одной задаче

Первая — попытаться дифференцировать $x^x$ как степень или как показательную. Вторая — записать в ответ точку минимума $\frac1e \approx 0.3679$. Число $0.3679$ сегодня действительно встретится в ответе, но в другой задаче — в y0504.

Use logarithmic differentiation, as practiced in b0505:

$$f'(x) = x^x(\ln x + 1)$$

Since $x^x > 0$ for $x > 0$, the critical point occurs where $\ln x + 1 = 0$; that is,

$$x = e^{-1} = \frac1e \approx 0.3679$$

Type of the critical point. If $x < \frac1e$, then $\ln x < -1$, so the factor in parentheses and the derivative are negative. If $x > \frac1e$, they are positive. The change from negative to positive gives a minimum.

Ends of the interval. As $x \to 0^{+}$, the product $x\ln x$ tends to zero (the logarithm grows more slowly than $x$ tends to zero), so $f = e^{x\ln x} \to 1$. As $x \to +\infty$, the function grows without bound. Both ends lie above the value found.

$$f\!\left(\frac1e\right) = \left(\frac1e\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.6922$$

The answer is $0.6922$, not $0.3679$: the question asks for the value of the function.

Two traps in one problem

The first is trying to differentiate $x^x$ as either a power function or an exponential function. The second is giving the minimum point $\frac1e \approx 0.3679$ as the answer. The number $0.3679$ does appear as an answer today, but in a different problem: y0504.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0501БазаМатанализавторская · счёт строго по определению

Пользуясь только определением производной (не таблицей и не правилами), найдите $f'(1)$ для $f(x) = \sqrt{3x + 1}$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

Using only the definition of the derivative (not a derivative table or differentiation rules), find $f'(1)$ for $f(x) = \sqrt{3x + 1}$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Разность корней в числителе — домножай на сопряжённое.

The numerator contains a difference of square roots; multiply by the conjugate.

Решение / Solution

По определению:

$$f'(1) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{3(1+h) + 1} - \sqrt{4}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h}$$

И числитель, и знаменатель стремятся к нулю — сокращать пока нечего. Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{4+3h} + 2$:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{(4 + 3h) - 4}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)} = \lim_{h \to 0}\frac{3h}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)}$$

Теперь $h$ сокращается, и неопределённость исчезла:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{3}{\sqrt{4+3h} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac34 = 0.75$$

Сверка с таблицей (на экзамене так решать было нельзя, но проверить себя можно): $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$, при $x = 1$ это $\frac{3}{2 \cdot 2} = 0.75$. Сходится.

Почему эта задача вообще здесь стоит

Формулировка «пользуясь только определением» закрывает таблицу, и без отработанного приёма задача теряется целиком, хотя техника в ней одна на все случаи. Отработай её на трёх функциях — $\sqrt{x}$, $\frac1x$, $\sqrt{ax+b}$ — и этот тип задачи закрыт.

By definition,

$$f'(1) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{3(1+h) + 1} - \sqrt{4}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h}$$

Both the numerator and the denominator tend to zero, so there is nothing to cancel yet. Multiply the numerator and denominator by the conjugate $\sqrt{4+3h} + 2$:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{(4 + 3h) - 4}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)} = \lim_{h \to 0}\frac{3h}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)}$$

Now $h$ cancels, eliminating the indeterminate form:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{3}{\sqrt{4+3h} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac34 = 0.75$$

Check using the standard formula (this method was not allowed for the solution, but it is useful as a check): $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$, which at $x = 1$ gives $\frac{3}{2 \cdot 2} = 0.75$. The results agree.

Why this problem is included

The instruction “using only the definition” rules out standard derivative formulas. Without a practiced method, the entire problem can be lost even though the same single technique handles every such example. Practice it on three functions—$\sqrt{x}$, $\frac1x$, and $\sqrt{ax+b}$—and you will have mastered this problem type.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

зачем это сегодня

Пределы — тема, где разрыв между «знаю» и «умею» измеряется секундомером. Один и тот же предел считается пять минут с риском ошибиться в знаке на третьем дифференцировании или сорок секунд наверняка. На онлайн-этапе восемь задач на четыре часа, принимается только число и второй попытки нет: четыре сэкономленные минуты — это дочитанное условие следующей задачи, а не абстрактная скорость.

Разница целиком в инструменте. Правило Лопиталя — универсальный, но медленный ход: дифференцировать числитель и знаменатель, пока неопределённость не исчезнет, и каждое дифференцирование выражений вроде $e^{\sin x} - e^{\tan x}$ добавляет по строке к шансу ошибиться. Лист асимптотик — это восемь заранее выученных строк, после которых предел превращается в приведение подобных.

Отдельно стоит s0601: там нет ни одного сложного разложения, а есть целая часть около нуля. Такая задача либо решается за пять минут, если заведён рефлекс «разрыв — считаю слева и справа», либо не решается вовсе. Это самый дешёвый навык дня и самый обидный при потере.

И организационное: сегодня, 27 августа, открывается окно онлайн-теста — оно продлится до 10 сентября, попытка запланирована на 4 сентября. Проверь в личном кабинете, что заявка принята и кнопка входа видна. Обнаружить проблему сегодня стоит десяти минут, четвёртого — всего.

Limits are a topic where the gap between “I know this” and “I can do it” is measured with a stopwatch. The same limit can take five minutes with a risk of a sign error on the third differentiation, or forty seconds with confidence. In the online round there are eight problems in four hours, only a number is accepted, and there is no second attempt: four saved minutes mean reading the next problem, not abstract speed.

The difference is entirely in the tool. L’Hôpital’s rule is universal but slow: differentiate the numerator and denominator until the indeterminacy disappears, and each differentiation of an expression such as $e^{\sin x} - e^{\tan x}$ adds another opportunity for error. The asymptotics sheet is eight lines learned in advance; after that, a limit becomes collecting like terms.

s0601 is different: it has no difficult expansion, only the floor function near zero. This kind of problem takes five minutes if you have the reflex “at a discontinuity, check left and right,” or it does not get solved at all. It is the cheapest skill of the day and the most frustrating one to lose.

There is an organizational point as well: today, August 27, the online-test window opens and runs through September 10; the attempt is scheduled for September 4. Check your account to make sure the application was accepted and the entrance button is visible. Finding a problem today costs ten minutes; finding it on September 4 costs everything.

Навыки по порядку

Тема разбита на отдельные навыки от простого к сложному. Для каждого указаны тренировочные задачи.

1Лист асимптотикAsymptotics sheetПодставляешь первый значащий член вместо каждой функции, в том числе при составном аргументе $3x$ или $x^{2}$, и сокращаешь в произведении или частномSubstitute the first nonzero term for each function, including a composite argument such as $3x$ or $x^{2}$, then simplify in a product or quotientW0601 W0602 B0601
2Глубина разложенияExpansion depthЗамечаешь, что главные члены сократились, и добираешь члены, пока не появится ненулевой главныйNotice when leading terms cancel and keep adding terms until a nonzero leading term appearsB0602 B0605 Y0604
3Вынесение общего множителяFactoring out a common termРазность двух похожих функций сводишь к одному малому: $e^{A} - e^{B} = e^{B}\left(e^{A - B} - 1\right)$, дальше работает $e^{u} - 1 \sim u$Reduce the difference of two similar functions to one small quantity: $e^{A} - e^{B} = e^{B}\left(e^{A - B} - 1\right)$, then use $e^{u} - 1 \sim u$W0603 B0606 Y0602
4Переменный показательVariable exponentСтепень переписываешь как $f^{g} = e^{g \ln f}$ и считаешь предел показателя по листу: если он уходит в бесконечность, это $1^{\infty}$ и в конце нужна экспонента, а если стремится к конечному $c$, выносишь $e^{c}$ и остаётся $e^{u} - 1 \sim u$Rewrite a power as $f^{g} = e^{g \ln f}$ and evaluate the exponent’s limit from the sheet: if it goes to infinity, it is $1^{\infty}$ and you need the exponential at the end; if it tends to a finite $c$, factor out $e^{c}$ and use $e^{u} - 1 \sim u$B0604 B0607 Y0601 Y0603
5Односторонние пределы и параметрOne-sided limits and a parameterОтдельная линия дня: при целой части или модуле считаешь слева и справа отдельно и подбираешь параметр так, чтобы скачок исчезA separate thread for the day: with a floor function or absolute value, calculate left and right separately and choose the parameter that removes the jumpW0604 B0603 S0601

Расписание

0:00–0:15РазогревWarm-up Десять пунктов блока «Мост» вслух, без конспекта. Отдельно проверь два: чему равно $\lfloor -0.3 \rfloor$ и чему равен $\arcsin(-1)$.Say the ten points in the “Bridge” block aloud, without notes. Check two in particular: what is $\lfloor -0.3 \rfloor$ and what is $\arcsin(-1)$?

0:15–1:30УрокLesson С бумагой. Лист асимптотик выпиши от руки на отдельный листок и положи рядом со столом — сегодня он рабочий, к 4 сентября должен быть в голове.Use paper. Write the asymptotics sheet by hand on a separate page and keep it beside your desk — it is a working tool today and must be memorized by September 4.

1:30–3:20ЗадачиProblems По ступеням 1 → 4, основная линия и линия односторонних пределов идут параллельно. Разминка устно, по полминуты. Задачи b0602, b0605 и b0606 реши дважды — Лопиталем и листом — с секундомером.Work through levels 1 → 4; the main line and the one-sided-limit line run in parallel. Do the warm-up aloud, about thirty seconds each. Solve b0602, b0605, and b0606 twice — once with L’Hôpital and once with the sheet — using a stopwatch.

3:20–3:45Мини-тестMini-test y0602 под таймером, в режиме экзамена: подсказка и разбор закрыты, ответ вводится один раз.Do y0602 under time pressure, in exam mode: hints and the solution are closed, and the answer is entered once.

3:45–4:00Аудит и доступAudit and access Журнал ошибок с разделением на два типа. Затем личный кабинет YMLS: окно теста открылось сегодня, убедись, что вход работает.Log errors by the two types. Then open your YMLS account: the test window opened today, so make sure sign-in works.

Урок

разбираем с нуля

Вход: два предела, которые выглядят одинаково

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{\ln(1 + 2x)} \qquad \text{и} \qquad \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$$

Оба вида $\frac00$, обе дроби собраны из школьных функций. Первый берётся в строку: около нуля $\sin 3x$ ведёт себя как $3x$, а $\ln(1 + 2x)$ — как $2x$, отношение равно $\frac32$.

Во втором тот же ход даёт $\frac{x - x}{x^{2}} = 0$, потому что $e^{x} - 1 \sim x$. Это неверный ответ: настоящий равен $\frac12$. Ничего не сломалось в приёме — просто главные члены числителя сократились полностью, и весь ответ остался в том, что мы выбросили. Урок про инструмент, который работает в обоих случаях, и про правило, которое заранее говорит, насколько глубоко копать.

Знаки $\sim$ и $o$: что именно они означают

Запись $f(x) \sim g(x)$ при $x \to 0$ означает ровно одно: $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$.

Запись $o(x^{n})$ — не конкретная функция, а класс: любая функция $r(x)$, для которой $\frac{r(x)}{x^{n}} \to 0$. Словами: «что-то, убывающее быстрее, чем $x^{n}$». Отсюда арифметика остатков — её надо принять целиком, иначе каждая выкладка будет буксовать.

Действие	Результат	Почему
$o(x^{n}) \pm o(x^{n})$	$o(x^{n})$	сумма двух «быстрее $x^{n}$» тоже быстрее $x^{n}$
$o(x^{n}) + o(x^{m})$ при $m > n$	$o(x^{n})$	выживает более грубая оценка
$C \cdot o(x^{n})$	$o(x^{n})$	постоянный множитель ничего не меняет
$x^{k} \cdot o(x^{n})$	$o(x^{n + k})$	множитель добавляет степень

Запрещено ровно два действия: сокращать $o(x^{n})$ с $o(x^{n})$ (это разные функции, а не одна) и делить на $o(\cdot)$.

Лист асимптотик

Восемь строк, которые надо знать как таблицу умножения. Каждая — вчерашнее линейное приближение, продолженное дальше.

Лист асимптотик при $x \to 0$$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$$$$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{5})$$$$\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$$$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})$$$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$$$$(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^{2} + o(x^{2})$$$$\arcsin x = x + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$$$$\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$$

Два следствия, которые встречаются чаще самих строк:

$$1 - \cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3}), \qquad \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + o(x^{2})$$

Первое — вторая строка, перенесённая налево; второе — шестая при $\alpha = \frac12$, где $\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} = -\frac18$. А если оставить в каждой строке только первый значащий член, получатся знакомые эквивалентности $\sin x \sim x$, $\tan x \sim x$, $e^{x} - 1 \sim x$, $\ln(1 + x) \sim x$ — ими и берётся первый предел из входного примера.

Правило глубины

Приведение к главному члену

Приведи числитель и знаменатель к виду $C x^{m} + o(x^{m})$ с $C \ne 0$. При $m_{1} = m_{2}$ предел равен $\frac{C_{1}}{C_{2}}$, при $m_{1} > m_{2}$ равен нулю. При $m_{1} < m_{2}$ конечного предела нет: модуль уходит в бесконечность, а если разность степеней $m_{2} - m_{1}$ нечётна, то знак слева и справа разный — тогда нет и бесконечного предела.

Практический вид этого правила: посмотри на знаменатель. Если он ведёт себя как $x^{k}$, числитель нужен с точностью до $x^{k}$ включительно, остальное — в $o(x^{k})$. Вернёмся к сломавшемуся примеру: знаменатель $x^{2}$, значит числитель нужен до $x^{2}$.

$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) \;\Longrightarrow\; e^{x} - 1 - x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$$

Главный член числителя — $\frac{x^{2}}{2}$, знаменателя — $x^{2}$, ответ $\frac12$. Первые два члена сократились, но мы это увидели, потому что заранее знали глубину: эквивалент $e^{x} - 1 \sim x$ хранит только первый член, а весь ответ лежал во втором.

Где эквивалентность ломается

Заменять функцию эквивалентом можно в произведениях и частных — там ошибка уходит в множитель, стремящийся к единице. В сумме и разности так делать нельзя, если главные члены складываемых частей сокращаются: тогда от них ничего не остаётся, а ответ сидит в следующем члене. Признак беды простой: подставил эквиваленты, получил в числителе чистый ноль. Это не ответ, а сигнал вернуться и взять на порядок глубже.

Составной аргумент и произведение на множитель

В лист подставляется не обязательно $x$. Годится любое выражение, стремящееся к нулю, — подставляй его в строку целиком, вместе со степенями:

$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$$$e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + o(x^{4})$$

Самая частая потеря здесь — забыть возвести множитель: написать $3x - \frac{3x^{3}}{6}$ вместо $3x - \frac{9x^{3}}{2}$. Коэффициент отличается в девять раз, и ответ уезжает целиком.

Когда ряд умножается на множитель, глубина пересчитывается: если перед скобкой стоит $2x$, внутри скобки хватит точности на одну степень меньше — множитель добавит недостающую:

$$2x\ln(1 + x) = 2x\left(x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\right) = 2x^{2} - x^{3} + o(x^{3})$$

Внутри скобки взято два члена, а на выходе получились степени $x^{2}$ и $x^{3}$.

Вынесение общего множителя

Разность двух похожих функций почти всегда выгоднее не раскладывать по отдельности, а свести к одному малому:

$$e^{A} - e^{B} = e^{B}\left(e^{A - B} - 1\right), \qquad \ln A - \ln B = \ln\left(1 + \frac{A - B}{B}\right)$$

Дальше работают эквиваленты $e^{u} - 1 \sim u$ и $\ln(1 + u) \sim u$, и задача сводится к разности показателей. Пример: $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\tan x} - e^{x}}{x^{3}}$. Выносим: $e^{\tan x} - e^{x} = e^{x}\left(e^{\tan x - x} - 1\right)$, множитель $e^{x} \to 1$, показатель $\tan x - x = \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$ — одна строка листа, и предел равен $\frac13$. Без вынесения пришлось бы раскладывать $e^{\tan x}$ до третьей степени: композиция двух рядов, вдвое больше работы и вдвое больше шансов ошибиться.

Частный случай, где вторая экспонента — просто число. Если показатель зависит от $x$, но стремится не к нулю, а к конечному $c$, пиши $e^{f(x)} = e^{c}\,e^{f(x) - c}$: первый множитель постоянен и выносится за знак предела, а во втором показатель уже мал, и работает $e^{u} - 1 \sim u$. Например, $e^{\cos x} - e = e\left(e^{\cos x - 1} - 1\right)$, где $\cos x - 1 = -\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$. Применять $e^{u} - 1 \sim u$ к показателю, идущему к единице, нельзя — малое надо сначала создать вынесением константы.

Переменный показатель

Степень, у которой и основание, и показатель зависят от $x$, сразу переписывается через экспоненту: $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln f(x)}$. Особый и самый частый случай — неопределённость $1^{\infty}$: основание стремится к единице, показатель к бесконечности, и ни одно из двух не решает исход.

Шаблон для $1^{\infty}$

Обозначь предел $L$ и логарифмируй: $\ln L = \lim g(x)\ln f(x)$. Внутри логарифма стоит $1 + u$ с малым $u$, поэтому $\ln f \sim u$, и дальше идёт обычная работа с листом. В конце возьми экспоненту: найден $\ln L$, а нужен $L$.

Пример. $\lim_{x \to 0}(1 + \sin 2x)^{1/x}$. Логарифм равен $\frac{\ln(1 + \sin 2x)}{x}$, внутри $\ln(1 + u)$ стоит $u = \sin 2x \sim 2x$, значит $\ln L = \lim \frac{2x}{x} = 2$ и $L = e^{2} \approx 7.3891$. Тот же шаблон на бесконечности даёт $\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{bx} \to e^{ab}$.

Потерянный последний шаг

Дошли до $\ln L = -\frac12$ и записали в ответ $-0.5$. Это самая дорогая опечатка темы: решение верно целиком, а задача не засчитана. Заведи привычку писать ответ сразу в виде $L = e^{\ldots}$, ещё до того, как посчитаешь показатель.

Правило Лопиталя: когда оно нужно и когда мешает

Правило Лопиталя

Если $f$ и $g$ дифференцируемы около точки $a$, $g'(x) \ne 0$ рядом с ней, обе функции стремятся к нулю (или обе к бесконечности) и предел $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ существует, то $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Числитель и знаменатель дифференцируются по отдельности; это не производная частного.

Правило действительно нужно там, где листа нет: на бесконечности и при сравнении скоростей роста. Например, $\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim \frac{1/x}{1} = 0$ — отсюда же берётся вся иерархия $\ln x \ll x^{a} \ll e^{x}$ при $x \to +\infty$.

Проверь неопределённость до применения

$\lim_{x \to 0}\frac{x + 1}{x + 2}$ — подстановка сразу даёт $\frac12$, а применённое не глядя правило даёт $\frac{1}{1} = 1$: неопределённости не было вовсе, и условие «обе стремятся к нулю» — не формальность, а первое, что надо проверить.

И второе: правило работает в одну сторону. Если $\lim \frac{f'}{g'}$ не существует, о самом пределе оно не говорит ничего — так, $\lim_{x \to +\infty}\frac{x + \sin x}{x} = 1$, а отношение производных равно $1 + \cos x$ и предела не имеет.

Практический вывод дня: при $x \to 0$ лист быстрее в разы. Разность $e^{\sin x} - e^{\tan x}$ придётся дифференцировать трижды, и выражение растёт на каждом шаге; через вынесение множителя та же задача занимает две строки. На бесконечности — наоборот, Лопиталь удобнее.

Односторонние пределы: целая часть, модуль, параметр

Классический поставщик разного поведения слева и справа — целая часть:

$$\lim_{t \to 0^{+}}\lfloor t \rfloor = 0, \qquad \lim_{t \to 0^{-}}\lfloor t \rfloor = -1$$

Это скачок, а не маленькая поправка: $\cos\lfloor x \rfloor$ стремится к $\cos 0 = 1$ справа и к $\cos(-1) \approx 0.5403$ слева, двустороннего предела нет.

Рефлекс, который надо завести

Увидел в условии $\lfloor \cdot \rfloor$, модуль, чётный корень или знаменатель, который может обнулиться, — не пиши ни одной строки, пока не выписаны два односторонних предела.

Отсюда устроен целый тип задач: «при каком значении параметра предел существует». Схема работы всегда одна: выписать оба односторонних предела как функции параметра, приравнять их — и отдельно перебрать особые значения параметра, при которых знаменатель обнуляется или меняется сама структура выражения. Ответом обычно оказывается как раз особое значение.

Различие, на котором всё держится: выражение может стремиться к нулю (и тогда целая часть от него скачет между $0$ и $-1$) либо быть тождественно равным нулю при всех $x$ (и тогда целая часть равна нулю всегда, скачка нет). Подбор параметра обычно превращает первое во второе.

Что должно остаться в голове

$f \sim g$ — это $\frac fg \to 1$; $o(x^{n})$ — класс функций, убывающих быстрее $x^{n}$.
Восемь строк листа наизусть, плюс $1 - \cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$.
Смотри на знаменатель: он задаёт, до какой степени нужен числитель.
Эквиваленты — в произведениях и частных. Получил в числителе ноль — иди глубже.
Составной аргумент подставляется в строку целиком, вместе со степенями множителя.
Разность похожих функций — вынеси общий множитель, останется $e^{u} - 1$ или $\ln(1 + u)$.
Переменный показатель — сразу $e^{g\ln f}$; посчитал $\ln L$ — верни экспоненту.
Показатель идёт не к нулю, а к конечному $c$ — вынеси $e^{c}$, в скобке останется $e^{u} - 1$.
Лопиталь: проверь неопределённость, дифференцируй порознь; на $x \to 0$ он медленнее листа, на бесконечности удобнее.
Целая часть и модуль около нуля — скачок; два односторонних предела до всякого счёта, а параметр подбирается так, чтобы скачок исчез.

Opening: two limits that look alike

$$\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{\ln(1 + 2x)} \qquad \text{and} \qquad \lim_{x \to 0}\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}}$$

Both are of the form $\frac00$, and both use familiar school-level functions. The first is one line: near zero, $\sin 3x$ behaves like $3x$, while $\ln(1 + 2x)$ behaves like $2x$, so the ratio is $\frac32$.

In the second, the same move gives $\frac{x - x}{x^{2}} = 0$, because $e^{x} - 1 \sim x$. That answer is wrong: the actual answer is $\frac12$. Nothing went wrong with the technique — the numerator’s leading terms simply canceled completely, and the answer was left in what we threw away. This lesson is about a tool that works in both cases and a rule that tells you in advance how far to expand.

The symbols $\sim$ and $o$: what they actually mean

Writing $f(x) \sim g(x)$ as $x \to 0$ means exactly one thing: $\lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 1$.

Writing $o(x^{n})$ does not name a particular function; it names a class: any function $r(x)$ for which $\frac{r(x)}{x^{n}} \to 0$. In words: “something that goes to zero faster than $x^{n}$.” This gives us the arithmetic of remainders; accept it as a whole or every calculation will stall.

Operation	Result	Why
$o(x^{n}) \pm o(x^{n})$	$o(x^{n})$	the sum of two terms smaller than $x^{n}$ is still smaller than $x^{n}$
$o(x^{n}) + o(x^{m})$ for $m > n$	$o(x^{n})$	the coarser estimate survives
$C \cdot o(x^{n})$	$o(x^{n})$	a constant factor changes nothing
$x^{k} \cdot o(x^{n})$	$o(x^{n + k})$	the factor adds a power

Exactly two operations are forbidden: canceling $o(x^{n})$ with $o(x^{n})$ (they are different functions, not one function) and dividing by $o(\cdot)$.

The asymptotics sheet

Eight lines to know as well as the multiplication table. Each is yesterday’s linear approximation, extended further.

Asymptotics sheet as $x \to 0$$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$$$$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24} + o(x^{5})$$$$\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$$$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})$$$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{3})$$$$(1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2}x^{2} + o(x^{2})$$$$\arcsin x = x + \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$$$$\arctan x = x - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$$

Two consequences appear more often than the lines themselves:

$$1 - \cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3}), \qquad \sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + o(x^{2})$$

The first is the second line moved to the other side; the second is the sixth line with $\alpha = \frac12$, where $\frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} = -\frac18$. If you keep only the first nonzero term in each line, you get the familiar equivalences $\sin x \sim x$, $\tan x \sim x$, $e^{x} - 1 \sim x$, and $\ln(1 + x) \sim x$ — these are enough for the first limit in the opening example.

The depth rule

Reduce to the leading term

Reduce the numerator and denominator to $C x^{m} + o(x^{m})$ with $C \ne 0$. If $m_{1} = m_{2}$, the limit is $\frac{C_{1}}{C_{2}}$; if $m_{1} > m_{2}$, it is zero. If $m_{1} < m_{2}$, there is no finite limit: the magnitude goes to infinity, and if the difference $m_{2} - m_{1}$ is odd, the signs on the left and right differ — so there is no infinite limit either.

The practical version is: look at the denominator. If it behaves like $x^{k}$, you need the numerator through $x^{k}$, with everything else in $o(x^{k})$. Return to the broken example: the denominator is $x^{2}$, so the numerator is needed through $x^{2}$.

$$e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2}) \;\Longrightarrow\; e^{x} - 1 - x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})$$

The numerator’s leading term is $\frac{x^{2}}{2}$ and the denominator’s is $x^{2}$, so the answer is $\frac12$. The first two terms canceled, but we saw it because we knew the depth in advance: the equivalence $e^{x} - 1 \sim x$ keeps only the first term, while the whole answer was in the second.

Where equivalence breaks down

Replacing a function by an equivalent is valid in products and quotients — the error becomes a factor tending to one. In a sum or difference, it is not valid when the leading terms cancel: then nothing remains of them, and the answer lives in the next term. The warning sign is simple: substitute equivalents and get a pure zero in the numerator. That is not the answer; it is a signal to go back and expand one order further.

Composite arguments and multiplication by a factor

The input to a line need not be $x$. Any expression tending to zero works — substitute it into the line as a whole, including its powers:

$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$$$e^{x^{2}} = 1 + x^{2} + \frac{x^{4}}{2} + o(x^{4})$$

The most common loss here is forgetting to raise the factor to a power: writing $3x - \frac{3x^{3}}{6}$ instead of $3x - \frac{9x^{3}}{2}$. The coefficient differs by a factor of nine, and the answer shifts completely.

When a series is multiplied by a factor, recalculate the depth: if $2x$ stands before the brackets, the brackets need one fewer power of precision — the factor supplies the missing power:

$$2x\ln(1 + x) = 2x\left(x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})\right) = 2x^{2} - x^{3} + o(x^{3})$$

Two terms were taken inside the brackets, and powers $x^{2}$ and $x^{3}$ came out.

Factoring out a common term

For the difference of two similar functions, it is almost always better not to expand them separately, but to reduce the expression to one small quantity:

$$e^{A} - e^{B} = e^{B}\left(e^{A - B} - 1\right), \qquad \ln A - \ln B = \ln\left(1 + \frac{A - B}{B}\right)$$

Then use $e^{u} - 1 \sim u$ and $\ln(1 + u) \sim u$, reducing the problem to a difference of exponents. Example: $\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{\tan x} - e^{x}}{x^{3}}$. Factor it: $e^{\tan x} - e^{x} = e^{x}\left(e^{\tan x - x} - 1\right)$, with $e^{x} \to 1$; the exponent $\tan x - x = \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$ is one line from the sheet, so the limit is $\frac13$. Without factoring, you would have to expand $e^{\tan x}$ through the third degree: twice the work and twice the chance of error.

A special case is when the second exponential is simply a number. If the exponent depends on $x$ but tends not to zero, rather to a finite $c$, write $e^{f(x)} = e^{c}\,e^{f(x) - c}$: the first factor is constant and can be taken outside the limit, while the second exponent is small, so $e^{u} - 1 \sim u$ applies. For example, $e^{\cos x} - e = e\left(e^{\cos x - 1} - 1\right)$, where $\cos x - 1 = -\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$. You cannot apply $e^{u} - 1 \sim u$ to an exponent tending to one — first create a small exponent by factoring out the constant.

Variable exponent

A power whose base and exponent both depend on $x$ should immediately be rewritten through an exponential: $f(x)^{g(x)} = e^{g(x)\ln f(x)}$. The special and most common case is the indeterminate form $1^{\infty}$: the base tends to one, the exponent to infinity, and neither one determines the result.

Template for $1^{\infty}$

Call the limit $L$ and take logarithms: $\ln L = \lim g(x)\ln f(x)$. Inside the logarithm there is $1 + u$ with small $u$, so $\ln f \sim u$, and the rest is ordinary work with the sheet. At the end, take the exponential: you have found $\ln L$, but you need $L$.

Example. $\lim_{x \to 0}(1 + \sin 2x)^{1/x}$. The logarithm is $\frac{\ln(1 + \sin 2x)}{x}$; inside $\ln(1 + u)$ we have $u = \sin 2x \sim 2x$, so $\ln L = \lim \frac{2x}{x} = 2$ and $L = e^{2} \approx 7.3891$. The same template at infinity gives $\left(1 + \frac{a}{x}\right)^{bx} \to e^{ab}$.

The lost final step

We reached $\ln L = -\frac12$ and entered $-0.5$ as the answer. This is the costliest typo in the topic: the solution is completely correct, but the problem is marked wrong. Make a habit of writing the answer immediately as $L = e^{\ldots}$, before you calculate the exponent.

L’Hôpital’s rule: when it helps and when it gets in the way

L’Hôpital’s rule

If $f$ and $g$ are differentiable near $a$, $g'(x) \ne 0$ nearby, both functions tend to zero (or both to infinity), and the limit $\lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ exists, then $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$. Differentiate numerator and denominator separately; this is not the derivative of a quotient.

The rule is genuinely useful where the sheet is not: at infinity and when comparing growth rates. For example, $\lim_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim \frac{1/x}{1} = 0$ — the whole hierarchy $\ln x \ll x^{a} \ll e^{x}$ as $x \to +\infty$ follows from this.

Check the indeterminate form first

$\lim_{x \to 0}\frac{x + 1}{x + 2}$ gives $\frac12$ immediately by substitution, whereas applying the rule without looking gives $\frac{1}{1} = 1$: there was no indeterminate form, and the condition “both tend to zero” is not a formality but the first thing to check.

Second, the rule works only in one direction. If $\lim \frac{f'}{g'}$ does not exist, the rule says nothing about the original limit — for example, $\lim_{x \to +\infty}\frac{x + \sin x}{x} = 1$, while the derivative ratio is $1 + \cos x$ and has no limit.

The practical conclusion for today: as $x \to 0$, the sheet is many times faster. The difference $e^{\sin x} - e^{\tan x}$ would need three differentiations, and the expression grows at each step; factoring out a common term takes two lines. At infinity, the situation is reversed — L’Hôpital is more convenient.

One-sided limits: floor function, absolute value, and a parameter

The classic source of different behavior on the left and right is the floor function:

$$\lim_{t \to 0^{+}}\lfloor t \rfloor = 0, \qquad \lim_{t \to 0^{-}}\lfloor t \rfloor = -1$$

This is a jump, not a small correction: $\cos\lfloor x \rfloor$ tends to $\cos 0 = 1$ from the right and to $\cos(-1) \approx 0.5403$ from the left, so the two-sided limit does not exist.

The reflex to build

If you see $\lfloor \cdot \rfloor$, an absolute value, an even root, or a denominator that may vanish, do not write a single line until you have written both one-sided limits.

This creates an entire family of problems: “for which value of the parameter does the limit exist?” The method is always the same: write both one-sided limits as functions of the parameter, set them equal, and separately check exceptional parameter values where the denominator vanishes or the structure of the expression itself changes. The answer is usually precisely that exceptional value.

The distinction everything rests on is this: an expression may tend to zero (so its floor function jumps between $0$ and $-1$), or it may be identically zero for every $x$ (so its floor function is always zero and there is no jump). Choosing the parameter usually turns the first case into the second.

What should stay in your head

$f \sim g$ means $\frac fg \to 1$; $o(x^{n})$ is the class of functions that vanish faster than $x^{n}$.
Know the eight sheet lines by heart, plus $1 - \cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$.
Look at the denominator: it determines how far the numerator must be expanded.
Use equivalences in products and quotients. If the numerator becomes zero, go deeper.
Substitute a composite argument into the whole line, including powers of its factor.
For the difference of similar functions, factor out a common term; what remains is $e^{u} - 1$ or $\ln(1 + u)$.
For a variable exponent, immediately write $e^{g\ln f}$; once you have computed $\ln L$, return to the exponential.
If the exponent tends to a finite $c$ rather than zero, factor out $e^{c}$; the brackets will contain $e^{u} - 1$.
With L’Hôpital, check the indeterminate form and differentiate separately; near $x \to 0$ it is slower than the sheet, while at infinity it is more convenient.
A floor function or absolute value near zero creates a jump: write two one-sided limits before any calculation, and choose the parameter that removes the jump.

Признаки и действия

Слева — что заметить в условии. Справа — что сделать первым.

Увидел	Первый ход
Дробь вида $\frac00$ при $x \to 0$A $\frac00$ fraction as $x \to 0$	Подставь лист, начни с одного члена и посмотри, сократилось лиSubstitute from the sheet, start with one term, and see whether it cancels
После подстановки числитель обратился в нольThe numerator becomes zero after substitution	Главные члены сократились: вернись и возьми на один член глубжеThe leading terms canceled: go back and take one more term
Аргумент не $x$, а $3x$, $2x$ или $x^{2}$The argument is $3x$, $2x$, or $x^{2}$ rather than $x$	Подставляй его в строку листа целиком; куб множителя тоже возводится в кубSubstitute the whole argument into the sheet line; raise the factor to the third power as well
Разность двух похожих функций: две экспоненты, два логарифмаThe difference of two similar functions: two exponentials or two logarithms	Вынеси общий множитель, чтобы осталось $e^{u} - 1 \sim u$ или $\ln(1 + u) \sim u$Factor out a common term so that $e^{u} - 1 \sim u$ or $\ln(1 + u) \sim u$ remains
Показатель зависит от $x$ в любом видеThe exponent depends on $x$ in any form	Перепиши как $f^{g} = e^{g\ln f}$; если основание идёт к 1, а показатель к бесконечности, это $1^{\infty}$: считай $\ln L$ и в конце верни экспонентуRewrite as $f^{g} = e^{g\ln f}$; if the base tends to 1 and the exponent to infinity, this is $1^{\infty}$: compute $\ln L$ and return to the exponential at the end
Показатель стремится не к нулю, а к конечному числу $c$The exponent tends not to zero but to a finite number $c$	Вынеси константу: $e^{f} = e^{c}e^{f - c}$, и в скобке останется $e^{u} - 1 \sim u$Factor out the constant: $e^{f} = e^{c}e^{f - c}$, leaving $e^{u} - 1 \sim u$ in the brackets
Целая часть, модуль или чётный корень около точкиA floor function, absolute value, or even root appears near the point	Два односторонних предела, и только потом любые выкладкиWrite two one-sided limits, and only then do any algebra
Параметр плюс слова «предел существует»A parameter appears together with the words “the limit exists”	Приравняй односторонние пределы и отдельно проверь, при каком параметре выражение становится тождественным нулёмSet the one-sided limits equal and separately check when the expression becomes identically zero

эталонная задача

Степень с переменным показателемA power with a variable exponent

Условие. Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{1/x^{2}}$.

Смотри не на числа, а на то, какое решение принимается на каждом шаге. Эта задача в банке дня не встречается — она разбирается здесь целиком именно как шаблон. Та же последовательность решений закрывает мост b0607 (там основание собирается из двух экспонент) и финальные задачи y0601 и y0603; в y0603 работает и главный ход второго шага — деление на $x$ добавляет одну степень глубины.

Шаг 1. Назвать тип и решить, что вообще считать. Основание: $\tan x \sim x$, значит $\frac{\tan x}{x} \to 1$. Показатель $\frac{1}{x^{2}} \to +\infty$. Это $1^{\infty}$ — ни основание, ни показатель исхода не решают. Решение: не считать выражение как есть, а перейти к логарифму.

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{\tan x}{x}$$

Шаг 2. Решить глубину — до всякой подстановки. Знаменатель ведёт себя как $x^{2}$, значит числитель нужен с точностью до $x^{2}$. Числитель — это $\ln(1 + u)$, где $u = \frac{\tan x}{x} - 1$; поскольку $\ln(1 + u) = u + o(u)$, с той же точностью $x^{2}$ нужен и сам $u$. А $u$ получается делением на $x$ — значит $\tan x$ нужен до $x^{3}$.

Вот это и есть главное решение задачи: деление на $x$ добавляет одну степень глубины. Взяв $\tan x \sim x$, мы получили бы $u = 0$ и потеряли задачу.

Шаг 3. Подставить лист. $\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$, делим на $x$:

$$\frac{\tan x}{x} = 1 + \frac{x^{2}}{3} + o(x^{3}), \qquad u = \frac{x^{2}}{3} + o(x^{3})$$

Шаг 4. Внешняя функция от малого. $\ln(1 + u) = u + o(u) = \frac{x^{2}}{3} + o(x^{3})$.

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^{2}}{3} + o(x^{3})}{x^{2}} = \frac13$$

Шаг 5. Вернуть экспоненту. $L = e^{1/3} \approx 1.3956$. Пропустить этот шаг — значит сдать $0.3333$ при полностью верном решении.

Шаг 6. Проверить численно. Ответ — число, значит его можно проверить подстановкой. При $x = 0.1$ выражение равно $1.3967$, при $x = 0.05$ — $1.3959$: значения ползут к $1.3956$ сверху. Это независимая проверка, а не пересказ решения, и стоит она двадцать секунд.

Алгоритм

Подставь мысленно $x = 0$ и назови тип неопределённости; степень с переменным показателем сразу переводи в $e^{g\ln f}$.
Найди порядок знаменателя $x^{k}$ — он задаёт, до какой степени нужен числитель.
Иди снаружи внутрь: каждая внешняя функция требует свой аргумент с той же точностью, а деление на $x$ добавляет одну степень.
Подставь лист, приведи подобные, оставь главный член; остальное — в $o(\cdot)$.
Сверься: числитель занулился весь — вернись глубже; брал логарифм — возьми экспоненту; ответ числовой — подставь малый $x$ и сравни.

Problem. Compute $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan x}{x}\right)^{1/x^{2}}$.

Watch not the numbers but the decision made at each step. This problem is not in today’s bank — it is worked through here as a complete template. The same sequence solves bridge b0607 (where the base is built from two exponentials) and final problems y0601 and y0603; in y0603, the main move in Step 2 also applies — dividing by $x$ adds one order of depth.

Step 1. Name the type and decide what to compute. The base satisfies $\tan x \sim x$, so $\frac{\tan x}{x} \to 1$. The exponent $\frac{1}{x^{2}} \to +\infty$. This is $1^{\infty}$: neither the base nor the exponent determines the result. Do not calculate the expression as it stands; take its logarithm instead.

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x^{2}}\ln\frac{\tan x}{x}$$

Step 2. Decide the depth before substituting anything. The denominator behaves like $x^{2}$, so the numerator is needed through $x^{2}$. The numerator is $\ln(1 + u)$, where $u = \frac{\tan x}{x} - 1$; since $\ln(1 + u) = u + o(u)$, $u$ itself is also needed to order $x^{2}$. Obtaining $u$ means dividing by $x$, so $\tan x$ is needed through $x^{3}$.

This is the key decision in the problem: division by $x$ adds one order of depth. If we took only $\tan x \sim x$, we would get $u = 0$ and lose the problem.

Step 3. Substitute from the sheet. $\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$; divide by $x$:

$$\frac{\tan x}{x} = 1 + \frac{x^{2}}{3} + o(x^{3}), \qquad u = \frac{x^{2}}{3} + o(x^{3})$$

Step 4. Apply the outer function to the small quantity. $\ln(1 + u) = u + o(u) = \frac{x^{2}}{3} + o(x^{3})$.

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^{2}}{3} + o(x^{3})}{x^{2}} = \frac13$$

Step 5. Return to the exponential. $L = e^{1/3} \approx 1.3956$. Skipping this step means submitting $0.3333$ despite a completely correct derivation.

Step 6. Check numerically. The answer is a number, so it can be checked by substitution. At $x = 0.1$ the expression is $1.3967$; at $x = 0.05$ it is $1.3959$: the values move toward $1.3956$ from above. This is an independent check, not a retelling of the derivation, and it takes twenty seconds.

Algorithm

Mentally substitute $x = 0$ and name the indeterminate form; immediately rewrite a variable-exponent power as $e^{g\ln f}$.
Find the denominator’s order $x^{k}$; it determines how far the numerator must be expanded.
Work from outside inward: every outer function needs its argument to the same precision, and dividing by $x$ adds one order.
Substitute from the sheet, collect like terms, and keep the leading term; put the rest in $o(\cdot)$.
Check yourself: if the entire numerator vanished, go deeper; if you took a logarithm, take the exponential; if the answer is numeric, substitute a small $x$ and compare.

Дополнительные материалы

Другие объяснения и материалы по теме. Используй их, если основного урока недостаточно.

видео3Blue1Brown · Taylor series3Blue1Brown · Taylor series EN

Откуда берутся коэффициенты $\frac{1}{n!}$ в разложениях, показано геометрически. Двадцать минут, после которых лист перестаёт быть набором для зубрёжкиA geometric explanation of where the coefficients $\frac{1}{n!}$ in expansions come from. Twenty minutes after which the sheet stops feeling like a memorization list

видео3Blue1Brown · Limits, L'Hôpital's rule, epsilon delta3Blue1Brown · Limits, L'Hôpital's rule, epsilon delta EN

Почему правило Лопиталя вообще работает и что стоит за определением пределаWhy L’Hôpital’s rule works and what lies behind the definition of a limit

текстPaul's Online Notes · LimitsPaul's Online Notes · Limits EN

Односторонние пределы, неопределённости, пределы на бесконечности и асимптоты — с разобранными примерами и упражнениями. Тот же формат, что понадобится в дне 8One-sided limits, indeterminate forms, limits at infinity, and asymptotes, with worked examples and exercises. The same format needed on Day 8

интерактивDesmos · сравнение функции с её разложениемDesmos · comparing a function with its expansion —

Построй $\sin x$ и $x - x^3/6$ на одном графике и посмотри, где они расходятся. Затем добавь $+x^5/120$Plot $\sin x$ and $x - x^3/6$ on one graph and see where they diverge. Then add $+x^5/120$

текстУчебник Яндекса · Математика для анализа данныхYandex textbook · Mathematics for data analysis RU

Раздел «Основы математического анализа»: строгие определения предела и непрерывности на русском, с разобранными примерами. Брать, если хочется формального обоснования, а не только техникиThe “Fundamentals of mathematical analysis” section: rigorous definitions of limits and continuity in Russian, with worked examples. Use it when you want formal justification, not just technique

как работать сегодня

Задачи дня выстроены в лестницу из четырёх ступеней, и идти по ним надо по порядку: каждая следующая ступень пользуется тем, что отработано на предыдущей.

У дня два сюжета, и это надо держать в голове. Основной — лист асимптотик: четыре микронавыка от подстановки первого члена до переменного показателя идут строго друг за другом, каждый следующий пользуется предыдущим. Пятый микронавык, односторонние пределы с параметром, — отдельная линия: она стоит не на листе, а на определении предела и на целой части, поэтому её три задачи (w0604, b0603, s0601) можно делать в любой момент дня. Если основная линия буксует, начни с них: результат приходит быстро.

Полный объём — 16 задач. Всё, что есть на странице, включая ступень ШАД. Это план на день, который идёт хорошо и оставляет на задачи почти два часа.

Минимум — 10 задач. b0602, b0603, b0604, b0605, b0606, b0607, y0601, y0602, y0603, y0604 — вся база выше входного уровня и все четыре финала уровня YMLS. Разминка w0601–w0604 и задача b0601 в этот счёт не входят, но не выбрасываются: они устные, по полминуты на задачу, и делаются сразу после урока.

Задача ступени ШАД s0601 в минимум не входит: она стоит на том же рефлексе, что и её мост b0603, но добавляет к нему разбор второго слагаемого и отдельную проверку знаменателя — работы на полчаса, а на онлайн-этапе такой длины задач не бывает. Мост b0603 при этом остаётся обязательным: рефлекс «увидел целую часть — пишу два односторонних предела» нужен и без ШАД-задачи, и одна задача такого типа на онлайн-этапе вполне может оказаться.

Обязательные — 5 задач. b0603, b0604, b0605, b0606, b0607. Каждая — мост ровно к одному финалу: b0605 к y0604, b0606 к мини-тесту y0602, b0607 к y0601, b0604 к y0603, b0603 к s0601. Пропустить любую значит прийти к финалу без инструмента. Если день сорвался и осталось сорок минут — делаются эти пять и мини-тест, остальное переносится.

Обязательное упражнение дня, на секундомере. Возьми b0602, b0605 и b0606 и реши каждую дважды: сначала правилом Лопиталя, потом листом. Записывай время. Разница выйдет в три-пять раз, и увидеть её на своём опыте важнее, чем прочитать здесь. После этого рука сама тянется к разложениям.

Второе обязательное: до подстановки в каждой задаче ступеней 2 и 3 напиши на полях одно число — порядок знаменателя. Это тот самый шаг, который отличает решённую задачу от нуля в числителе.

Формат ответа

Числовые ответы дня вводятся с четырьмя знаками после запятой, точка как разделитель. Исключения — задачи с целым ответом (w0603, b0603, b0605, y0604): там вводится целое число без десятичной части, со знаком минус, если он есть.

Лист асимптотик — не на один день

Выпиши его от руки прямо сейчас и положи у рабочего места. Каждое утро следующей недели начинай с того, что воспроизводишь лист по памяти и сверяешь. К 4 сентября он должен писаться за девяносто секунд без ошибок; восьмой день, про интегралы, начнётся с него же.

Today’s problems form a four-level staircase, and you should take them in order: each level uses what you practiced in the previous one.

The day has two storylines, and you need to keep both in mind. The main one is the asymptotics sheet: four micro-skills, from substituting the first term to handling a variable exponent, follow one another strictly, with each new skill using the previous one. The fifth micro-skill, one-sided limits with a parameter, is a separate line: it is based not on the sheet but on the definition of a limit and the floor function, so its three problems (w0604, b0603, s0601) can be done at any point in the day. If the main line stalls, start there: the result comes quickly.

Full workload — 16 problems. Everything on the page, including the SHAD level. This is the plan for a good day that leaves nearly two hours for problems, with enough time to review the method. It is a realistic target when the day is going well.

Minimum — 10 problems. b0602, b0603, b0604, b0605, b0606, b0607, y0601, y0602, y0603, y0604 — all the material above the entry level and all four YMLS-level finals. The warm-up w0601–w0604 and problem b0601 are not counted, but do not skip them: they are oral, about thirty seconds each, and should be done immediately after the lesson.

The SHAD-level problem s0601 is not part of the minimum: it uses the same reflex as bridge b0603, but adds an analysis of the second term and a separate denominator check — half an hour of work, while no online-round problem is that long. It therefore belongs to the full plan only, not the minimum. Bridge b0603 remains mandatory: the reflex “I see a floor function, so I write two one-sided limits” is useful even without the SHAD problem, and an online problem of this type is entirely plausible.

Mandatory — 5 problems. b0603, b0604, b0605, b0606, b0607. Each is a bridge to exactly one final: b0605 to y0604, b0606 to mini-test y0602, b0607 to y0601, b0604 to y0603, and b0603 to s0601. Skipping one means reaching its final without the tool. If the day goes badly and only forty minutes remain, do these five and the mini-test; carry the rest forward.

The day’s required exercise is timed. Take b0602, b0605, and b0606 and solve each twice: first with L’Hôpital’s rule, then with the sheet. Record the time. The difference will be three to fivefold, and seeing it in your own work matters more than reading about it here. After that, your hand will reach for expansions on its own.

The second requirement: before substituting, write one number in the margin for every Level 2 and Level 3 problem — the denominator’s order. This is the step that separates a solved problem from a zero in the numerator.

Answer format

Enter numeric answers with four digits after the decimal point and a period as the separator. Exceptions are problems with integer answers (w0603, b0603, b0605, y0604): enter an integer without a decimal part, with a minus sign when needed.

The asymptotics sheet is not just for one day

Write it out by hand right now and keep it at your workstation. Every morning next week, start by reproducing the sheet from memory and checking it. By September 4 it should take ninety seconds with no mistakes; Day 8 on integrals will start with the same exercise.

полный объём

минимум

обязательные

Полный объём — все задачи ниже. Минимум — если день сорвался и часа осталось два. Обязательные — мосты к финальной задаче, они не пропускаются никогда.

Разминка

решено 4 из 4

Устно, за полминуты. Проверяет, что определение понято, а не выучено.

W0601Разминкаступень 1Матанализ✓разминка

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{1 - \cos x}{x^{2}}$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Косинус в листе записан с точностью до $x^{2}$ — этого достаточно.

The cosine expansion on the reference sheet includes terms through $x^{2}$, which is sufficient here.

Решение / Solution

RU$$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3}) \;\Longrightarrow\; 1 - \cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$$

Числитель и знаменатель имеют один и тот же порядок $x^{2}$, значит ответ — отношение коэффициентов при главных членах:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})}{x^{2}} = \frac12 = 0.5$$

Эту строку надо знать отдельно

$1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ — вторая по частоте эквивалентность после $\sin x \sim x$. Степень здесь вторая, а не первая. Написать $1 - \cos x \sim x$ значит ошибиться в порядке всей дроби, а не в коэффициенте.

EN$$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3}) \;\Longrightarrow\; 1 - \cos x = \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$$

The numerator and denominator are both of order $x^{2}$, so the answer is the ratio of the coefficients of their leading terms:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})}{x^{2}} = \frac12 = 0.5$$

A formula worth memorizing

$1 - \cos x \sim \frac{x^{2}}{2}$ is the second most commonly used equivalence after $\sin x \sim x$. The exponent here is two, not one. Writing $1 - \cos x \sim x$ means getting the order of the entire fraction wrong, not merely its coefficient.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W0602Разминкаступень 1Матанализ✓разминка

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x - 3x}{x^{3}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x - 3x}{x^{3}}$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Подставь в строку листа аргумент $3x$ целиком — вместе с кубом.

Substitute the entire argument $3x$ into the formula on the reference sheet—including its cube.

Решение / Solution

RU$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{27x^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Линейные части сокращаются, остаётся кубический член:

$$\sin 3x - 3x = -\frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{9x^{3}}{2}}{x^{3}} = -\frac92 = -4.5$$

Где теряют эту задачу

Пишут $\sin 3x = 3x - \frac{3x^{3}}{6}$, забыв возвести множитель в куб. Выходит $-0.5$ вместо $-4.5$ — ошибка ровно в девять раз. Аргумент подставляется в строку целиком, вместе со всеми степенями.

Запомни этот разбор: ровно половина финальной задачи y0604 — это он.

EN$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{27x^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

The linear terms cancel, leaving the cubic term:

$$\sin 3x - 3x = -\frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{9x^{3}}{2}}{x^{3}} = -\frac92 = -4.5$$

The common pitfall

One may write $\sin 3x = 3x - \frac{3x^{3}}{6}$, forgetting to cube the factor. This gives $-0.5$ instead of $-4.5$—an error by a factor of exactly nine. Substitute the entire argument into the formula, including every power.

Remember this solution: it provides exactly half of the work needed for the final problem y0604.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W0603Разминкаступень 1Матанализ✓разминка

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x} - e^{x}}{x}$. Ответ — целое число.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{2x} - e^{x}}{x}$. Your answer should be an integer.

ответверно

Подсказка / Hint

Раскладывать обе экспоненты по отдельности не нужно: у них есть общий множитель.

There is no need to expand the two exponentials separately: they have a common factor.

Решение / Solution

Обе экспоненты стремятся к единице, числитель — к нулю, знаменатель тоже: это $\frac00$. Но раскладывать каждую экспоненту незачем — из разности выносится общий множитель:

$$e^{2x} - e^{x} = e^{x}\left(e^{2x - x} - 1\right) = e^{x}\left(e^{x} - 1\right)$$

Выносим ту экспоненту, у которой показатель проще. Множитель $e^{x} \to 1$ и на ответ не влияет. В скобке осталось $e^{u} - 1$ с малым $u = x$, а это строка листа: $e^{x} - 1 \sim x$.

$$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}\left(e^{x} - 1\right)}{x} = 1 \cdot \lim_{x \to 0}\frac{x}{x} = 1$$

Что здесь отработано

Самая короткая версия приёма дня: разность двух экспонент сводится к одному малому множителю $e^{u} - 1$, где $u$ — разность показателей. Здесь она равна просто $x$, дальше по цепочке она усложняется: на мосте b0606 это $3x - \sin 3x$, а в мини-тесте y0602 — $\sin x - \tan x$. Ход при этом не меняется ни на строку.

Both exponentials tend to one, so the numerator tends to zero, as does the denominator; this is the indeterminate form $\frac00$. There is no need, however, to expand each exponential separately: factor the difference instead.

$$e^{2x} - e^{x} = e^{x}\left(e^{2x - x} - 1\right) = e^{x}\left(e^{x} - 1\right)$$

Factor out the exponential with the simpler exponent. The factor $e^{x} \to 1$ does not affect the answer. The expression in parentheses is now $e^{u} - 1$ with the small quantity $u = x$, so the reference-sheet equivalence $e^{x} - 1 \sim x$ applies.

$$\lim_{x \to 0}\frac{e^{x}\left(e^{x} - 1\right)}{x} = 1 \cdot \lim_{x \to 0}\frac{x}{x} = 1$$

What this problem teaches

This is the shortest version of today's technique: reduce the difference of two exponentials to a single small factor $e^{u} - 1$, where $u$ is the difference of the exponents. Here that difference is simply $x$. It becomes more involved later: in bridge problem b0606 it is $3x - \sin 3x$, and in mini-test problem y0602 it is $\sin x - \tan x$. The method itself remains exactly the same.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W0604Разминкаступень 1Матанализ✓разминка

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\arcsin\big\lfloor x \big\rfloor$, где $\lfloor t \rfloor$ — наибольшее целое, не превосходящее $t$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}}\arcsin\big\lfloor x \big\rfloor$, where $\lfloor t \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $t$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Возьми любое отрицательное $x$, близкое к нулю, скажем $-0.01$, и посчитай целую часть.

Take any negative $x$ close to zero, say $-0.01$, and compute its floor.

Решение / Solution

Значок $0^{-}$ означает, что рассматриваются только $x < 0$.

При $-1 < x < 0$ наибольшее целое, не превосходящее $x$, равно $-1$: например, $\lfloor -0.01 \rfloor = -1$ и $\lfloor -0.4 \rfloor = -1$. Значит на всей левой полуокрестности нуля под арксинусом стоит постоянная $-1$, и предел равен значению в этой точке:

$$\lim_{x \to 0^{-}}\arcsin\lfloor x \rfloor = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$$

Скачок, а не поправка

Справа ответ другой: при $0 < x < 1$ имеем $\lfloor x \rfloor = 0$ и $\arcsin 0 = 0$. Слева $-\frac{\pi}{2}$, справа $0$ — двустороннего предела нет вовсе. Именно на этом разрыве построены b0603 и s0601, и обе задачи начинаются с той же проверки, что и эта разминка.

The notation $0^{-}$ means that only values $x < 0$ are considered.

For $-1 < x < 0$, the greatest integer not exceeding $x$ is $-1$: for example, $\lfloor -0.01 \rfloor = -1$ and $\lfloor -0.4 \rfloor = -1$. Thus, throughout a left-hand neighborhood of zero, the argument of the arcsine is the constant $-1$, and the limit equals the value of the function at that point:

$$\lim_{x \to 0^{-}}\arcsin\lfloor x \rfloor = \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$$

A jump, not a correction term

The right-hand limit is different: for $0 < x < 1$, we have $\lfloor x \rfloor = 0$ and $\arcsin 0 = 0$. The left-hand limit is $-\frac{\pi}{2}$ and the right-hand limit is $0$, so the two-sided limit does not exist. Problems b0603 and s0601 are both built around this discontinuity, and both begin with the same check as this warm-up.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

База

решено 4 из 7

Чистая техника без сюрпризов. Здесь нарабатывается автоматизм.

B0601Базаступень 2Матанализ✓авторская

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\ln(1 + 3x)}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 5x}{\ln(1 + 3x)}$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Обе функции заменяются эквивалентами: это частное, а не разность.

Replace both functions by equivalent expressions: this is a quotient, not a difference.

Решение / Solution

При $x \to 0$ имеем $\sin 5x \sim 5x$ и $\ln(1 + 3x) \sim 3x$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{5x}{3x} = \frac53 \approx 1.6667$$

Проверим по правилу глубины, что одного члена достаточно. Числитель равен $5x + o(x^{2})$, знаменатель $3x + o(x^{2})$ — оба порядка $x$, главные коэффициенты не сократились, значит ответ уже получен и добирать члены незачем.

Когда одного члена хватает

Правило простое: если после подстановки первых членов числитель не обратился в ноль, работа окончена. Ноль в числителе — единственный повод идти глубже.

As $x \to 0$, we have $\sin 5x \sim 5x$ and $\ln(1 + 3x) \sim 3x$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{5x}{3x} = \frac53 \approx 1.6667$$

Let us use the expansion-depth rule to verify that one term is enough. The numerator is $5x + o(x^{2})$, and the denominator is $3x + o(x^{2})$. Both are of order $x$, and their leading coefficients do not cancel, so the answer is already determined and no further terms are needed.

When one term is enough

The rule is simple: if the numerator does not become zero after the leading terms are substituted, you are done. A zero numerator is the only reason to expand further.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0602Базаступень 2минимумМатанализ✓авторская

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}}$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Здесь эквивалент $\sin x \sim x$ приведёт к неверному ответу. Посмотри на знаменатель и реши, до какой степени нужен числитель.

Using the equivalence $\sin x \sim x$ here will produce the wrong answer. Examine the denominator and determine how far the numerator must be expanded.

Решение / Solution

Как делать не надо. Если написать $\sin x \sim x$, получится $\frac{x - x}{x^{3}} = 0$. Ответ неверный: главные члены сократились, и вся информация ушла в отброшенный остаток.

Правильно. Знаменатель имеет порядок $x^{3}$, значит числитель нужен с точностью до $x^{3}$ включительно:

$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; \sin x - x = -\frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$$$$\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})}{x^{3}} = -\frac16 \approx -0.1667$$

Правило глубины

Если после подстановки получился ноль или снова неопределённость — значит взято недостаточно членов. Ориентир: знаменатель порядка $x^{3}$ требует числитель с точностью до $x^{3}$.

The wrong approach. If we write $\sin x \sim x$, we obtain $\frac{x - x}{x^{3}} = 0$. This answer is incorrect: the leading terms have canceled, and all relevant information was discarded with the remainder.

The correct approach. The denominator is of order $x^{3}$, so the numerator must be expanded through the $x^{3}$ term:

$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; \sin x - x = -\frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$$$$\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})}{x^{3}} = -\frac16 \approx -0.1667$$

The expansion-depth rule

If substitution gives zero or leaves another indeterminate form, you have not retained enough terms. As a guide, a denominator of order $x^{3}$ requires the numerator to be expanded through order $x^{3}$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0603Базаступень 3обязательнаяМатанализавторская

Пусть $a$ — вещественное число. Найдите то единственное его значение, при котором существует конечный предел

$$\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin\big\lfloor (a + 3)x \big\rfloor}{x + 1}$$

Здесь $\lfloor t \rfloor$ — наибольшее целое, не превосходящее $t$. Ответ — целое число.

Let $a$ be a real number. Find its unique value for which the following finite limit exists:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\arcsin\big\lfloor (a + 3)x \big\rfloor}{x + 1}$$

Here $\lfloor t \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $t$. Your answer should be an integer.

ответ

Подсказка / Hint

Знаменатель ни при каком $a$ проблем не создаёт. Всё решает то, как ведёт себя $\lfloor (a + 3)x \rfloor$ слева и справа от нуля.

The denominator causes no difficulty for any $a$. Everything depends on the behavior of $\lfloor (a + 3)x \rfloor$ to the left and right of zero.

Решение / Solution

Знаменатель $x + 1 \to 1$: он не влияет ни на существование предела, ни на его величину. Вся задача — в числителе.

Обозначим $t = (a + 3)x$ и разберём три случая по знаку множителя $a + 3$.

Случай 1: $a + 3 > 0$. При $x \to 0^{+}$ имеем $t \to 0^{+}$, значит $\lfloor t \rfloor = 0$ и числитель равен $\arcsin 0 = 0$. При $x \to 0^{-}$ имеем $t \to 0^{-}$, значит $\lfloor t \rfloor = -1$ и числитель равен $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

Односторонние пределы равны $0$ и $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$. Они различны — предела нет.

Случай 2: $a + 3 < 0$. Знак $t$ меняется на противоположный: теперь $t \to 0^{-}$ при $x \to 0^{+}$ и $t \to 0^{+}$ при $x \to 0^{-}$. Односторонние пределы просто меняются местами, но по-прежнему различны. Предела снова нет.

Случай 3: $a + 3 = 0$, то есть $a = -3$. Тогда $t = 0$ тождественно, при каждом $x$, а не только в пределе. Значит $\lfloor t \rfloor = 0$ всегда, числитель тождественно равен нулю, и

$$\lim_{x \to 0}\frac{0}{x + 1} = 0$$

Предел существует и равен нулю. Ответ: $a = -3$.

Что забрать в финальную задачу

«Стремится к нулю» и «тождественно равно нулю» — принципиально разные вещи. В первом случае целая часть скачет между $0$ и $-1$, во втором она просто равна нулю при всех $x$. Подбор параметра в таких задачах почти всегда сводится к тому, чтобы обратить выражение под целой частью в тождественный ноль. Ровно этот ход решает s0601 — там добавятся только второе слагаемое и проверка знаменателя.

The denominator $x + 1 \to 1$, so it affects neither the existence nor the value of the limit. The entire issue lies in the numerator.

Set $t = (a + 3)x$ and consider three cases according to the sign of the factor $a + 3$.

Case 1: $a + 3 > 0$. As $x \to 0^{+}$, we have $t \to 0^{+}$, so $\lfloor t \rfloor = 0$ and the numerator is $\arcsin 0 = 0$. As $x \to 0^{-}$, we have $t \to 0^{-}$, so $\lfloor t \rfloor = -1$ and the numerator is $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$.

The one-sided limits are $0$ and $-\frac{\pi}{2} \approx -1.5708$. They differ, so the limit does not exist.

Case 2: $a + 3 < 0$. The sign of $t$ is reversed: now $t \to 0^{-}$ as $x \to 0^{+}$, and $t \to 0^{+}$ as $x \to 0^{-}$. The one-sided limits simply exchange places, but they remain different. Again, the limit does not exist.

Case 3: $a + 3 = 0$, that is, $a = -3$. Then $t = 0$ identically for every $x$, not merely in the limit. Hence $\lfloor t \rfloor = 0$ always, the numerator is identically zero, and

$$\lim_{x \to 0}\frac{0}{x + 1} = 0$$

The limit exists and equals zero. Answer: $a = -3$.

What to carry forward to the final problem

“Tends to zero” and “is identically zero” are fundamentally different statements. In the first case, the floor function jumps between $0$ and $-1$; in the second, it is simply zero for every $x$. In problems of this kind, choosing the parameter almost always amounts to making the expression inside the floor function identically zero. That is exactly the step that solves s0601; the only additions there are a second term and a check of the denominator.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0604Базаступень 3обязательнаяМатанализавторская

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) - e}{x^{2}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) - e}{x^{2}}$. Round your answer to four decimal places.

ответневерно · 2-я попытка

Подсказка / Hint

Показатель зависит от $x$, но стремится не к нулю, а к единице. Вынеси из разности множитель $e$ — и следи, до какой степени нужен синус.

The exponent depends on $x$, but it tends to one rather than zero. Factor $e$ out of the difference, and take care to expand the sine far enough.

Решение / Solution

Шаг 1. Куда идёт показатель. При $x \to 0$ имеем $\frac{\sin x}{x} \to 1$, значит $\exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) \to e$: числитель стремится к нулю, знаменатель тоже, это $\frac00$.

Ловушка здесь в том, что показатель стремится к единице, а не к нулю, поэтому эквивалентность $e^{u} - 1 \sim u$ напрямую не годится — сначала надо получить именно $e^{u} - 1$ с малым $u$.

Шаг 2. Вынести конечный множитель. Это та же разность двух экспонент, только вторая из них постоянна:

$$\exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) - e = e\left(\exp\left(\frac{\sin x}{x} - 1\right) - 1\right)$$

Множитель $e$ — обычное число, он выносится за знак предела целиком.

Шаг 3. Разложить показатель. Знаменатель имеет порядок $x^{2}$, значит показатель нужен с точностью до $x^{2}$. Но показатель получается делением на $x$ — значит сам синус нужен на одну степень глубже, до $x^{3}$:

$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; \frac{\sin x}{x} - 1 = -\frac{x^{2}}{6} + o(x^{3})$$

Взяв $\sin x \sim x$, мы получили бы в показателе чистый ноль и потеряли задачу.

Шаг 4. Внешняя функция от малого. Теперь показатель стремится к нулю, и работает $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{e\left(-\frac{x^{2}}{6} + o(x^{3})\right)}{x^{2}} = -\frac{e}{6} \approx -0.4530$$

Показатель с конечным пределом

Если показатель стремится не к нулю, а к числу $c$, пиши $e^{f(x)} = e^{c}\,e^{f(x) - c}$: первый множитель — константа и выносится, второй даёт малое, к которому применимо $e^{u} - 1 \sim u$. Ровно этим ходом решается финальная задача y0603: там показателем оказывается $\frac{\ln(1 + x)}{x}$, и он тоже стремится к единице.

Численная сверка: при $x = 0.1$ дробь равна $-0.4524$ — ползёт к $-0.4530$.

Step 1. Determine the limit of the exponent. As $x \to 0$, we have $\frac{\sin x}{x} \to 1$, so $\exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) \to e$. Both the numerator and denominator tend to zero, giving the indeterminate form $\frac00$.

The subtlety is that the exponent tends to one, not zero. Thus the equivalence $e^{u} - 1 \sim u$ cannot be applied directly; we must first obtain an expression of the form $e^{u} - 1$ with a small $u$.

Step 2. Factor out the finite term. This is again a difference of two exponentials, except that the second one is constant:

$$\exp\left(\frac{\sin x}{x}\right) - e = e\left(\exp\left(\frac{\sin x}{x} - 1\right) - 1\right)$$

The factor $e$ is an ordinary constant and may be taken outside the limit.

Step 3. Expand the exponent. The denominator is of order $x^{2}$, so the exponent must be known through order $x^{2}$. But the exponent is obtained by dividing by $x$, which means the sine itself must be expanded one order further, through $x^{3}$:

$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; \frac{\sin x}{x} - 1 = -\frac{x^{2}}{6} + o(x^{3})$$

If we had used only $\sin x \sim x$, the exponent would have become exactly zero and we would have lost all the information needed to solve the problem.

Step 4. Apply the outer function to a small quantity. The exponent now tends to zero, so $e^{u} - 1 \sim u$ applies:

$$\lim_{x \to 0}\frac{e\left(-\frac{x^{2}}{6} + o(x^{3})\right)}{x^{2}} = -\frac{e}{6} \approx -0.4530$$

An exponent with a finite limit

If an exponent tends not to zero but to a number $c$, write $e^{f(x)} = e^{c}\,e^{f(x) - c}$. The first factor is constant and can be taken outside the limit; the second produces a small quantity to which $e^{u} - 1 \sim u$ applies. The final problem y0603 uses exactly this step: there the exponent is $\frac{\ln(1 + x)}{x}$, which also tends to one.

Numerical check: at $x = 0.1$, the fraction equals $-0.4524$, approaching $-0.4530$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0605Базаступень 3обязательнаяМатанализ✓авторская

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x - \sin x}$. Ответ — целое число.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\tan x - x}{x - \sin x}$. Your answer should be an integer.

ответверно

Подсказка / Hint

Здесь сокращаются линейные части и сверху, и снизу. Оба разложения нужны до кубического члена.

The linear terms cancel in both the numerator and the denominator. Both expansions are needed through the cubic term.

Решение / Solution

Ни числитель, ни знаменатель не имеют порядка $x$: в обоих линейные части уничтожаются. Значит оба нужны до $x^{3}$.

$$\tan x = x + \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; \tan x - x = \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4})$$$$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4}) \;\Longrightarrow\; x - \sin x = \frac{x^{3}}{6} + o(x^{4})$$

Оба порядка $x^{3}$, ответ — отношение коэффициентов:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^{3}}{3}}{\frac{x^{3}}{6}} = \frac{1/3}{1/6} = 2$$

Мост к финальной задаче

Через Лопиталя понадобилось бы три дифференцирования обеих частей. Здесь — две строки. Именно на этой задаче стоит финал y0604: там линейные части тоже сокращаются целиком, только числитель собран из двух слагаемых, а не из одного.

Проверь себя по знакам: у тангенса кубический коэффициент положительный $+\frac13$, у синуса отрицательный $-\frac16$. Перепутать их — значит получить $-2$ вместо $2$.

Neither the numerator nor the denominator is of order $x$: their linear terms cancel in both cases. Thus both must be expanded through $x^{3}$.

Both expressions are of order $x^{3}$, so the answer is the ratio of their coefficients:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{x^{3}}{3}}{\frac{x^{3}}{6}} = \frac{1/3}{1/6} = 2$$

A bridge to the final problem

L'Hôpital's rule would require differentiating the numerator and denominator three times. Here, two lines suffice. Final problem y0604 builds directly on this one: its linear terms also cancel completely, but its numerator consists of two terms rather than one.

Check the signs: the cubic coefficient for the tangent is positive, $+\frac13$, while that for the sine is negative, $-\frac16$. Reversing them gives $-2$ instead of $2$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0606Базаступень 3обязательнаяМатанализ✓авторская

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - e^{\sin 3x}}{x^{3}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - e^{\sin 3x}}{x^{3}}$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Не раскладывай экспоненты по отдельности: вынеси общий множитель, чтобы осталось $e^{u} - 1$.

Do not expand the exponentials separately. Factor out a common term to obtain $e^{u} - 1$.

Решение / Solution

Шаг 1. Вынести общий множитель.

$$e^{3x} - e^{\sin 3x} = e^{\sin 3x}\left(e^{3x - \sin 3x} - 1\right)$$

Шаг 2. Оценить множитель. $\sin 3x \to 0$, поэтому $e^{\sin 3x} \to 1$: на ответ он не влияет и дальше не участвует.

Шаг 3. Разложить показатель. Знаменатель имеет порядок $x^{3}$, значит показатель нужен с точностью до $x^{3}$. Аргумент составной, подставляем $3x$ в строку целиком:

$$3x - \sin 3x = 3x - \left(3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4})\right) = \frac{27x^{3}}{6} + o(x^{4}) = \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Шаг 4. Внешняя функция от малого. Показатель стремится к нулю, значит $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})}{x^{3}} = \frac92 = 4.5$$

Ступенька между разминкой и мини-тестом

В разминке w0603 разность показателей была равна просто $x$ и раскладывать было нечего. Здесь она уже требует одной строки листа с составным аргументом, а в мини-тесте y0602 её придётся собирать из двух строк. Ход при этом всюду один и тот же.

Почему вынесение обязательно: без него пришлось бы раскладывать $e^{\sin 3x}$ как композицию двух рядов до третьей степени — вдвое больше работы и вдвое больше шансов ошибиться в коэффициенте.

Step 1. Factor out a common term.

$$e^{3x} - e^{\sin 3x} = e^{\sin 3x}\left(e^{3x - \sin 3x} - 1\right)$$

Step 2. Evaluate the factor. Since $\sin 3x \to 0$, we have $e^{\sin 3x} \to 1$. It does not affect the answer and requires no further attention.

Step 3. Expand the exponent. The denominator is of order $x^{3}$, so the exponent must be known through order $x^{3}$. The argument is composite, so substitute the entire expression $3x$ into the formula:

$$3x - \sin 3x = 3x - \left(3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4})\right) = \frac{27x^{3}}{6} + o(x^{4}) = \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Step 4. Apply the outer function to a small quantity. The exponent tends to zero, so $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{\frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})}{x^{3}} = \frac92 = 4.5$$

The step between the warm-up and the mini-test

In warm-up problem w0603, the difference of the exponents was simply $x$, so there was nothing to expand. Here it requires one reference-sheet formula with a composite argument; in mini-test problem y0602, it must be assembled from two formulas. The underlying method is the same throughout.

Why factoring is essential: without it, we would have to expand $e^{\sin 3x}$ as a composition of two series through the third degree—twice the work and twice the opportunity to make a coefficient error.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0607Базаступень 3обязательнаяМатанализавторская

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{e^{x} + e^{2x}}{2}\right)^{1/x}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{e^{x} + e^{2x}}{2}\right)^{1/x}$. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Основание стремится к 1, показатель к бесконечности. Логарифмируй — и сначала собери основание в виде $1 + u$ с малым $u$.

The base tends to 1 while the exponent is unbounded in magnitude. Take logarithms, and first write the base in the form $1 + u$ with a small $u$.

Решение / Solution

Шаг 1. Назвать тип. Обе экспоненты стремятся к единице, значит и их среднее стремится к $1$; показатель $\frac1x \to \infty$. Это $1^{\infty}$ — ни основание, ни показатель исхода не решают. Обозначим предел $L$ и логарифмируем:

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln\frac{e^{x} + e^{2x}}{2}$$

Шаг 2. Глубина — до всякой подстановки. Знаменатель имеет порядок $x$, значит логарифм нужен с точностью до $x$. Внутри логарифма стоит $1 + u$, а $\ln(1 + u) = u + o(u)$, поэтому и сам $u$ нужен до $x$ — то есть обе экспоненты берутся с двумя членами.

Шаг 3. Собрать основание в вид $1 + u$.

$$\frac{e^{x} + e^{2x}}{2} = \frac{\left(1 + x + o(x)\right) + \left(1 + 2x + o(x)\right)}{2} = 1 + \frac{3x}{2} + o(x)$$

Здесь и был весь риск: если бы вместо $e^{2x}$ подставили $1 + x$, забыв про множитель в показателе, получилось бы $1 + x$ вместо $1 + \frac{3x}{2}$ и ответ уехал бы целиком.

Шаг 4. Внешняя функция от малого. $u = \frac{3x}{2} + o(x) \to 0$, значит $\ln(1 + u) = u + o(u)$:

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{3x}{2} + o(x)}{x} = \frac32$$

Шаг 5. Вернуть экспоненту. $L = e^{3/2} \approx 4.4817$.

Последний шаг

$1.5$ — это $\ln L$, а не $L$. Проверка на разумность: основание чуть больше единицы, показатель уходит в бесконечность — предел обязан быть заметно больше единицы, и $4.4817$ подходит, а $1.5$ по смыслу мало.

Тот же шаблон стоит в финале y0601: там основание $\cos x$ собирается в $1 + u$ одной строкой листа, а показатель равен $\frac{1}{x^{2}}$, поэтому глубина нужна вторая.

Численная сверка: при $x = 0.001$ выражение равно $4.4822$ — ползёт к $4.4817$.

Step 1. Identify the indeterminate form. Both exponentials tend to one, so their average also tends to $1$. Meanwhile, $\frac1x \to +\infty$ from the right and $\frac1x \to -\infty$ from the left. This is an indeterminate power: neither the base nor the exponent alone determines the answer. Denote the limit by $L$ and take logarithms:

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}\ln\frac{e^{x} + e^{2x}}{2}$$

Step 2. Determine the required depth before substituting anything. The denominator is of order $x$, so the logarithm must be known through order $x$. Its argument has the form $1 + u$, and $\ln(1 + u) = u + o(u)$, so $u$ itself is needed through order $x$. Thus both exponentials need only their first two terms.

Step 3. Write the base in the form $1 + u$.

$$\frac{e^{x} + e^{2x}}{2} = \frac{\left(1 + x + o(x)\right) + \left(1 + 2x + o(x)\right)}{2} = 1 + \frac{3x}{2} + o(x)$$

This is the crucial point: replacing $e^{2x}$ by $1 + x$ and forgetting the factor in the exponent would give $1 + x$ instead of $1 + \frac{3x}{2}$, changing the answer completely.

Step 4. Apply the outer function to a small quantity. Here $u = \frac{3x}{2} + o(x) \to 0$, so $\ln(1 + u) = u + o(u)$:

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\frac{3x}{2} + o(x)}{x} = \frac32$$

Step 5. Exponentiate. $L = e^{3/2} \approx 4.4817$.

Do not forget the final step

$1.5$ is $\ln L$, not $L$. As a plausibility check, for $x>0$ the base is greater than one and the exponent is positive; for $x<0$ the base is less than one and the exponent is negative. On both sides the power should therefore exceed one. The value $4.4817$ fits this expectation.

The final problem y0601 uses the same pattern. There, one reference-sheet formula writes the base $\cos x$ as $1 + u$, while the exponent is $\frac{1}{x^{2}}$, so a second-order expansion is required.

Numerical check: at $x = 0.001$, the expression equals $4.4822$, approaching $4.4817$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Уровень YMLS

решено 2 из 3

Целевая сложность вступительного экзамена. Ответ — число.

Y0601Уровень YMLSступень 4минимумМатанализ✓уровень YMLS

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\cos x\right)^{1/x^{2}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\cos x\right)^{1/x^{2}}$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Неопределённость $1^{\infty}$ — тот же шаблон, что в b0607.

The indeterminate form $1^{\infty}$ follows the same pattern as in b0607.

Решение / Solution

Основание $\cos x \to 1$, показатель $\frac{1}{x^{2}} \to +\infty$: тип $1^{\infty}$. Обозначим предел $L$ и логарифмируем:

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\ln \cos x}{x^{2}}$$

Глубина. Знаменатель порядка $x^{2}$, значит числитель нужен с точностью $x^{2}$. Внутри логарифма стоит $1 + u$, где

$$u = \cos x - 1 = -\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$$

Здесь косинус пришлось взять с двумя членами: одного не хватило бы, потому что первый член единицы даёт $\ln 1 = 0$. По листу $\ln(1 + u) = u + o(u)$, значит

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})}{x^{2}} = -\frac12$$

Последний шаг:

$$L = e^{-1/2} \approx 0.6065$$

Где теряют эту задачу

Дошли до $\ln L = -\frac12$ и записали в ответ $-0.5$. Найден логарифм предела, а нужен сам предел. На онлайн-этапе это стоит целой задачи при полностью верном решении.

Сверка глазами: $\cos x$ чуть меньше 1, показатель огромен, значит ответ обязан быть между 0 и 1 — и $0.6065$ подходит, а $-0.5$ не подходит даже по знаку.

The base $\cos x \to 1$, while the exponent $\frac{1}{x^{2}} \to +\infty$, giving the indeterminate form $1^{\infty}$. Denote the limit by $L$ and take logarithms:

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{\ln \cos x}{x^{2}}$$

Expansion depth. The denominator is of order $x^{2}$, so the numerator must be known through order $x^{2}$. The argument of the logarithm is $1 + u$, where

$$u = \cos x - 1 = -\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})$$

The cosine had to be expanded to two terms: one term would give only $\ln 1 = 0$ and would not be enough. From the reference sheet, $\ln(1 + u) = u + o(u)$, and hence

$$\ln L = \lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})}{x^{2}} = -\frac12$$

The final step:

$$L = e^{-1/2} \approx 0.6065$$

The common pitfall

After obtaining $\ln L = -\frac12$, one may report $-0.5$ as the answer. But this is the logarithm of the limit, not the limit itself. In an online round, that mistake costs the entire problem despite an otherwise correct solution.

A quick plausibility check: $\cos x$ is slightly less than 1 and the exponent is enormous, so the answer must lie between 0 and 1. The value $0.6065$ does; $-0.5$ even has the wrong sign.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0603Уровень YMLSступень 4минимумМатанализуровень YMLS

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{(1 + x)^{1/x} - e}{x}$. Round your answer to four decimal places.

ответневерно · 1-я попытка

Подсказка / Hint

Перепиши степень через экспоненту и заметь, что показатель стремится не к нулю, а к единице.

Rewrite the power as an exponential and note that its exponent tends to one, not zero.

Решение / Solution

Шаг 1. Переменный показатель — сразу в экспоненту.

$$(1 + x)^{1/x} = \exp\left(\frac{\ln(1 + x)}{x}\right)$$

Шаг 2. Разложить показатель до второго члена. Знаменатель дроби имеет порядок $x$, значит показатель нужен с точностью до $x$. Он получается делением на $x$, поэтому логарифм нужен до $x^{2}$:

$$\frac{\ln(1 + x)}{x} = \frac{x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$$

Обрати внимание: показатель стремится к единице, а не к нулю. В этом вся особенность задачи — экспонента стремится к $e$, и нас интересует, с какой скоростью.

Шаг 3. Вынести $e$. Обозначим $u = -\frac{x}{2} + o(x)$; тогда $u \to 0$ и

$$(1 + x)^{1/x} = e^{1 + u} = e\,e^{u} \;\Longrightarrow\; (1 + x)^{1/x} - e = e\left(e^{u} - 1\right)$$

Шаг 4. Внешняя функция от малого. $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{e\left(-\frac{x}{2} + o(x)\right)}{x} = -\frac{e}{2} \approx -1.3591$$

Главная ловушка

Если оставить только первый член $\ln(1 + x) \approx x$, показатель станет ровно 1, выражение — ровно $e$, и получится $\frac{e - e}{x} = \frac00$: задача будто исчезает. Второй член разложения несёт здесь весь ответ.

Оба хода задачи отработаны по отдельности: «показатель получается делением на $x$, значит логарифм нужен на степень глубже» — это эталонная задача урока, а «показатель идёт к конечному числу, значит выносим $e$ и остаётся $e^{u} - 1$» — это мост b0604. Здесь они просто складываются.

Численная сверка: при $x = 0.001$ дробь равна $-1.3579$ и ползёт к $-1.3591$.

Step 1. Immediately rewrite the variable power as an exponential.

$$(1 + x)^{1/x} = \exp\left(\frac{\ln(1 + x)}{x}\right)$$

Step 2. Expand the exponent through its second term. The denominator of the original fraction is of order $x$, so the exponent must be known through order $x$. Since that exponent is obtained by dividing by $x$, the logarithm must be expanded through $x^{2}$:

$$\frac{\ln(1 + x)}{x} = \frac{x - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{2})}{x} = 1 - \frac{x}{2} + o(x)$$

Notice that the exponent tends to one, not zero. This is the essential feature of the problem: the exponential tends to $e$, and we need to determine how quickly it does so.

Step 3. Factor out $e$. Set $u = -\frac{x}{2} + o(x)$; then $u \to 0$, and

$$(1 + x)^{1/x} = e^{1 + u} = e\,e^{u} \;\Longrightarrow\; (1 + x)^{1/x} - e = e\left(e^{u} - 1\right)$$

Step 4. Apply the outer function to a small quantity. Since $e^{u} - 1 \sim u$,

$$\lim_{x \to 0}\frac{e\left(-\frac{x}{2} + o(x)\right)}{x} = -\frac{e}{2} \approx -1.3591$$

The main trap

If we retain only the first term $\ln(1 + x) \approx x$, the exponent becomes exactly 1, the expression becomes exactly $e$, and we obtain $\frac{e - e}{x} = \frac00$: the problem seems to disappear. Here the second term of the expansion contains the entire answer.

The two key steps have already been practiced separately. “The exponent is obtained by dividing by $x$, so the logarithm must be expanded one order further” is the lesson's model problem; “the exponent tends to a finite number, so factor out $e$ and reduce the rest to $e^{u} - 1$” is bridge problem b0604. Here the two ideas are simply combined.

Numerical check: at $x = 0.001$, the fraction equals $-1.3579$ and approaches $-1.3591$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0604Уровень YMLSступень 4минимумМатанализ✓уровень YMLS

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x - 3x\cos x}{x^{3}}$. Ответ — целое число.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x - 3x\cos x}{x^{3}}$. Your answer should be an integer.

ответверно

Подсказка / Hint

Оба слагаемых раскладывай до кубического члена. Не забудь, что $3x\cos x$ — произведение ряда на множитель.

Expand both terms through the cubic term. Remember that $3x\cos x$ is a series multiplied by a factor.

Решение / Solution

Знаменатель имеет порядок $x^{3}$, значит числитель нужен с точностью до $x^{3}$.

Первое слагаемое — составной аргумент, подставляем $3x$ в строку целиком (это разминка w0602):

$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Второе слагаемое — произведение ряда на множитель. Перед скобкой стоит $3x$, значит внутри скобки хватит точности $x^{2}$: множитель сам добавит недостающую степень.

$$3x\cos x = 3x\left(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})\right) = 3x - \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Разность. Линейные части сокращаются полностью:

$$\sin 3x - 3x\cos x = -\frac{9x^{3}}{2} + \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4}) = -3x^{3} + o(x^{4})$$$$\lim_{x \to 0}\frac{-3x^{3} + o(x^{4})}{x^{3}} = -3$$

Частая ошибка

Подставить $\sin 3x \approx 3x$ и $\cos x \approx 1$, получить $\frac{3x - 3x}{x^{3}} = 0$ и записать ноль. Линейные части сокращаются целиком — значит весь ответ лежит в кубических членах, и разложение обязано до них доходить. Этот же сюжет отработан на мосте b0605.

Численная сверка: при $x = 0.05$ дробь равна $-2.9953$ — сходится к $-3$.

The denominator is of order $x^{3}$, so the numerator must be known through order $x^{3}$.

The first term has a composite argument. Substitute the entire expression $3x$ into the formula (as in warm-up problem w0602):

$$\sin 3x = 3x - \frac{(3x)^{3}}{6} + o(x^{4}) = 3x - \frac{9x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

The second term is a series multiplied by a factor. Since the factor outside the parentheses is $3x$, an expansion through $x^{2}$ inside the parentheses is sufficient: the factor supplies the additional power.

$$3x\cos x = 3x\left(1 - \frac{x^{2}}{2} + o(x^{3})\right) = 3x - \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Take the difference. The linear terms cancel completely:

$$\sin 3x - 3x\cos x = -\frac{9x^{3}}{2} + \frac{3x^{3}}{2} + o(x^{4}) = -3x^{3} + o(x^{4})$$$$\lim_{x \to 0}\frac{-3x^{3} + o(x^{4})}{x^{3}} = -3$$

A common error

Substituting $\sin 3x \approx 3x$ and $\cos x \approx 1$ gives $\frac{3x - 3x}{x^{3}} = 0$, tempting one to report zero. The linear terms cancel completely, so the entire answer lies in the cubic terms, and the expansions must include them. The same idea was practiced in bridge problem b0605.

Numerical check: at $x = 0.05$, the fraction equals $-2.9953$, converging to $-3$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Уровень ШАД

решено 1 из 1

Выше, чем требуется. Берём только там, где тема реально встречалась на их экзаменах.

S0601Уровень ШАДступень 4Матанализ✓уровень ШАД

Пусть $a$ — вещественное число. Найдите то единственное его значение, при котором существует конечный предел

$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{\arcsin\big\lfloor (a+2)x \big\rfloor}{x + a} - \cos\big\lfloor |ax| \big\rfloor\right)$$

Здесь $\lfloor t \rfloor$ — наибольшее целое, не превосходящее $t$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Let $a$ be a real number. Find its unique value for which the following finite limit exists:

$$\lim_{x \to 0}\left(\frac{\arcsin\big\lfloor (a+2)x \big\rfloor}{x + a} - \cos\big\lfloor |ax| \big\rfloor\right)$$

Here $\lfloor t \rfloor$ is the greatest integer not exceeding $t$. Round your answer to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Целая часть рядом с нулём — это разрыв. Разбирай $x \to 0^{+}$ и $x \to 0^{-}$ отдельно и перебери случаи по знаку $a + 2$, как в b0603. Не забудь отдельно проверить $a = 0$.

The floor function has a discontinuity near zero. Consider $x \to 0^{+}$ and $x \to 0^{-}$ separately, and examine the cases determined by the sign of $a + 2$, as in b0603. Remember to check $a = 0$ separately.

Решение / Solution

Второе слагаемое разберём сразу. При $x \to 0$ имеем $|ax| \to 0$, причём $|ax| \ge 0$. Значит при достаточно малых $|x|$ выполнено $0 \le |ax| < 1$, откуда $\lfloor |ax| \rfloor = 0$ и $\cos 0 = 1$. Это слагаемое равно 1 и никаких проблем не создаёт ни при каком $a$.

Первое слагаемое — здесь вся суть. Ключевое наблюдение то же, что в мосте b0603: целая часть около нуля ведёт себя по-разному слева и справа. Если $t \to 0^{+}$, то $\lfloor t \rfloor = 0$; если $t \to 0^{-}$, то $\lfloor t \rfloor = -1$.

Обозначим $t = (a + 2)x$ и разберём случаи.

Случай 1: $a + 2 > 0$ и $a \ne 0$. При $x \to 0^{+}$ имеем $t \to 0^{+}$, значит $\lfloor t \rfloor = 0$ и $\arcsin 0 = 0$. При $x \to 0^{-}$ имеем $t \to 0^{-}$, значит $\lfloor t \rfloor = -1$ и $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. Знаменатель стремится к $a \ne 0$, поэтому односторонние пределы равны $0$ и $-\frac{\pi}{2a}$ — они различны, предела нет.

Случай 2: $a + 2 < 0$. Симметрично: теперь при $x \to 0^{+}$ имеем $t \to 0^{-}$ и наоборот. Числитель по-прежнему прыгает между $0$ и $-\frac{\pi}{2}$, предела нет.

Случай 3: $a = 0$. Тогда $a + 2 = 2 > 0$, числитель слева равен $-\frac{\pi}{2}$, а знаменатель равен $x \to 0^{-}$. Дробь уходит в $+\infty$ — конечного предела тем более нет.

Случай 4: $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$. Тогда $t = (a + 2)x = 0$ тождественно, при любом $x$, а не только в пределе. Значит $\lfloor t \rfloor = 0$ и $\arcsin 0 = 0$ — числитель тождественно равен нулю, никаких скачков нет. Знаменатель стремится к $a = -2 \ne 0$, так что первое слагаемое равно $\frac{0}{-2} = 0$, и весь предел существует:

$$\lim_{x \to 0}\left(0 - 1\right) = -1$$

Ответ: $a = -2$.

Что забрать

Целая часть — это разрыв, а не гладкая функция. Увидел $\lfloor \cdot \rfloor$ около нуля — первым делом пиши два односторонних предела, они почти наверняка различны. Задача решается за пять минут, если есть этот рефлекс, и не решается вовсе, если его нет.

И второе, ради чего задача стоит последней: обрати внимание, как спасается случай $a = -2$. Выражение под целой частью становится тождественным нулём, а не стремящимся к нулю — это принципиально разные вещи. Мост b0603 тренировал ровно этот ход, здесь к нему добавились второе слагаемое и отдельная проверка знаменателя при $a = 0$.

Begin with the second term. As $x \to 0$, we have $|ax| \to 0$, with $|ax| \ge 0$. Thus, for all sufficiently small $|x|$, we have $0 \le |ax| < 1$, which gives $\lfloor |ax| \rfloor = 0$ and $\cos 0 = 1$. This term equals 1 and causes no difficulty for any $a$.

The first term contains the entire issue. The key observation is the same as in bridge problem b0603: near zero, the floor function behaves differently on the two sides. If $t \to 0^{+}$, then $\lfloor t \rfloor = 0$; if $t \to 0^{-}$, then $\lfloor t \rfloor = -1$.

Set $t = (a + 2)x$ and consider the possible cases.

Case 1: $a + 2 > 0$ and $a \ne 0$. As $x \to 0^{+}$, we have $t \to 0^{+}$, so $\lfloor t \rfloor = 0$ and $\arcsin 0 = 0$. As $x \to 0^{-}$, we have $t \to 0^{-}$, so $\lfloor t \rfloor = -1$ and $\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2}$. The denominator tends to $a \ne 0$, so the one-sided limits are $0$ and $-\frac{\pi}{2a}$. They differ, and the limit does not exist.

Case 2: $a + 2 < 0$. The argument is symmetric: now as $x \to 0^{+}$, we have $t \to 0^{-}$, and conversely. The numerator still jumps between $0$ and $-\frac{\pi}{2}$, so the limit does not exist.

Case 3: $a = 0$. Then $a + 2 = 2 > 0$. On the left, the numerator equals $-\frac{\pi}{2}$, while the denominator is $x \to 0^{-}$. The fraction tends to $+\infty$, so a finite limit certainly does not exist.

Case 4: $a + 2 = 0$, that is, $a = -2$. Then $t = (a + 2)x = 0$ identically for every $x$, not merely in the limit. Hence $\lfloor t \rfloor = 0$ and $\arcsin 0 = 0$; the numerator is identically zero and there is no jump. The denominator tends to $a = -2 \ne 0$, so the first term equals $\frac{0}{-2} = 0$, and the full limit exists:

$$\lim_{x \to 0}\left(0 - 1\right) = -1$$

Answer: $a = -2$.

What to take away

The floor function is discontinuous; it is not a smooth function. Whenever you see $\lfloor \cdot \rfloor$ near zero, begin by writing down the two one-sided limits—they will almost certainly differ. With this reflex, the problem takes five minutes; without it, the problem is unlikely to yield at all.

The second reason this problem comes last is the way the case $a = -2$ is rescued. The expression inside the floor function becomes identically zero, rather than merely tending to zero; these are fundamentally different situations. Bridge problem b0603 trained exactly this step. Here, it is supplemented by a second term and a separate check of the denominator when $a = 0$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Мини-тест под таймером

20 минут

Одна задача, таймер идёт, подсказки и решение не открываются до истечения времени. Это тренировка не математики, а поведения под давлением.

Y0602Уровень YMLSступень 4минимумМатанализуровень YMLS

Вычислите $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sin x} - e^{\tan x}}{x^{3}}$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Evaluate $\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{e^{\sin x} - e^{\tan x}}{x^{3}}$. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Вынеси общий множитель, чтобы получить $e^{u} - 1$, и только потом раскладывай.

Factor out a common term to obtain $e^{u} - 1$, and only then expand.

Решение / Solution

Шаг 1. Вынести общий множитель.

$$e^{\sin x} - e^{\tan x} = e^{\tan x}\left(e^{\sin x - \tan x} - 1\right)$$

Шаг 2. Оценить множитель. При $x \to 0$ имеем $\tan x \to 0$, значит $e^{\tan x} \to 1$: на ответ он не влияет.

Шаг 3. Разложить показатель. Знаменатель порядка $x^{3}$, значит показатель нужен с точностью $x^{3}$. Собираем его из двух строк листа:

$$\sin x - \tan x = \left(x - \frac{x^{3}}{6}\right) - \left(x + \frac{x^{3}}{3}\right) + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Шаг 4. Внешняя функция от малого. Показатель стремится к нулю, значит $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})}{x^{3}} = -\frac12 = -0.5$$

Почему вынесение обязательно

Без него пришлось бы раскладывать $e^{\sin x}$ и $e^{\tan x}$ по отдельности до третьей степени — это две композиции рядов, вдвое больше работы и вдвое больше шансов ошибиться. Вынесение сводит задачу к одному эквиваленту $e^{u} - 1 \sim u$. Тот же ход отработан на мосте b0606.

Численная сверка: при $x = 0.01$ дробь равна $-0.5050$ — ползёт к $-0.5$.

Step 1. Factor out a common term.

$$e^{\sin x} - e^{\tan x} = e^{\tan x}\left(e^{\sin x - \tan x} - 1\right)$$

Step 2. Evaluate the factor. As $x \to 0$, we have $\tan x \to 0$, so $e^{\tan x} \to 1$; it does not affect the answer.

Step 3. Expand the exponent. The denominator is of order $x^{3}$, so the exponent must be known through order $x^{3}$. Assemble it from two reference-sheet formulas:

$$\sin x - \tan x = \left(x - \frac{x^{3}}{6}\right) - \left(x + \frac{x^{3}}{3}\right) + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{6} - \frac{x^{3}}{3} + o(x^{4}) = -\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})$$

Step 4. Apply the outer function to a small quantity. The exponent tends to zero, so $e^{u} - 1 \sim u$:

$$\lim_{x \to 0}\frac{-\frac{x^{3}}{2} + o(x^{4})}{x^{3}} = -\frac12 = -0.5$$

Why factoring is essential

Without it, we would have to expand $e^{\sin x}$ and $e^{\tan x}$ separately through the third degree. That means composing two pairs of series—twice the work and twice the opportunity for error. Factoring reduces the problem to the single equivalence $e^{u} - 1 \sim u$. The same technique was practiced in bridge problem b0606.

Numerical check: at $x = 0.01$, the fraction equals $-0.5050$, approaching $-0.5$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

день закрыт, когда

Пишешь восемь строк листа по памяти за 90 секунд и не путаешь коэффициенты $-\frac16$ у синуса, $+\frac13$ у тангенса и $-\frac12$ у логарифмаYou can write the eight sheet lines from memory in 90 seconds and do not confuse the coefficients $-\frac16$ for sine, $+\frac13$ for tangent, and $-\frac12$ for the logarithm

Получив дробь, за 15 секунд называешь вслух порядок знаменателя и нужную глубину числителя и только после этого берёшь ручку; проверка: это сделано в каждой задаче ступеней 2 и 3When you see a fraction, you name the denominator’s order and the required numerator depth aloud within 15 seconds, then pick up your pen; check that you did this in every Level 2 and Level 3 problem

Все пять обязательных задач решены без подсказки, не менее трёх — с первого ввода ответаAll five mandatory problems are solved without hints, and at least three are correct on the first answer submission

Увидев основание, стремящееся к 1, и показатель, стремящийся к бесконечности, за 10 секунд пишешь строку $\ln L = \ldots$ и заранее записываешь ответ в виде $e^{\ldots}$; проверка — b0607 и y0601 сданы без потери последнего шагаWhen you see a base tending to 1 and an exponent tending to infinity, you write $\ln L = \ldots$ within 10 seconds and record the answer in advance as $e^{\ldots}$; check b0607 and y0601 for a final step not lost

Увидев $\lfloor \cdot \rfloor$ или модуль, не пишешь ни строки, пока не выписаны два односторонних предела; проверка — w0604 и b0603 решены этим ходом без подсказкиWhen you see $\lfloor \cdot \rfloor$ or an absolute value, you write no line until both one-sided limits are written; check that w0604 and b0603 were solved this way without hints

Мини-тест y0602 сдан за 20 минут с первого ввода, и ты можешь объяснить, зачем выносился множитель $e^{\tan x}$ и что было бы без негоMini-test y0602 is submitted within 20 minutes on the first attempt, and you can explain why the factor $e^{\tan x}$ was taken out and what would happen without it

аудит дня

Раздели сегодняшние ошибки на два типа и запиши в журнал каждую.

Первый тип — недобрал глубину: подставил эквивалент, получил ноль в числителе и записал ноль в ответ либо решил, что задача неразрешима. Лечится одним действием: перед подстановкой писать на полях порядок знаменателя. Если таких случаев сегодня больше одного, завтра начинай каждую задачу с этой пометки, даже когда кажется, что и так видно.

Второй тип — потерянный последний шаг: нашёл $\ln L$ вместо $L$, забыл возвести множитель составного аргумента в степень, потерял знак при вычитании рядов. Это не про понимание, а про порядок записи, и лечится тем, что ответ пишется в виде шаблона до подсчёта.

Отдельной строкой отметь: сколько раз ты полез за Лопиталем там, где лист дал бы ответ быстрее? Каждый такой случай — минус две-три минуты на экзамене.

Divide today’s errors into two types and record each one.

Type one is insufficient depth: you substituted an equivalence, got zero in the numerator, and entered zero as the answer or decided the problem was unsolvable. The fix is one action: write the denominator’s order in the margin before substituting. If this happened more than once today, start every problem tomorrow with this note, even when the depth seems obvious.

Type two is the lost final step: you found $\ln L$ instead of $L$, forgot to raise a composite argument’s factor to a power, or lost a sign while subtracting series. This is not about understanding but about the order of writing; fix it by writing the answer in template form before calculating.

On a separate line, note how many times you reached for L’Hôpital where the sheet would have been faster. Every such case costs two or three minutes on the exam.

заметка дня

Открыть журнал ошибок

← Производная: экстремумы и касательныеDerivatives: extrema and tangents Мок № 1 и холодный разборMock No. 1 and a cold review →