День 05 26 августа, среда МатанализCalculus

Производная: экстремумы и касательныеDerivatives: extrema and tangents

Производную ты считать умеешь; сегодня — что делать после того, как она посчитанаYou already know how to differentiate; today is about what to do after the derivative is computed

0% дня закрыто · решено задач 15 из 16

цель дня

К вечеру ты по вопросу задачи за полминуты выбираешь один из четырёх ходов — приравнять производную нулю и довести дело до значения функции (а если критических точек вышло две, выбрать нужную по знаку $f''$), собрать систему из двух условий касания, прологарифмировать перед дифференцированием или отказаться от производной и перебрать целые значения. Проверка — пять финальных задач ниже, третья из них под таймером.

By evening, you should be able to read a problem and choose within half a minute among four moves: set the derivative to zero and carry the work through to the function value (if there are two critical points, select the right one using $f''$), set up the two equations for tangency, take logarithms before differentiating, or abandon derivatives and check integer values. Check yourself on the five final problems below; the third is timed.

Самостоятельные задачи

К концу дня нужно уметь решать эти задачи самостоятельно, без подсказок.

Y0501Уровень YMLS✓Найти критическую точку на открытом промежутке, доказать сменой знака, что это минимум, и выдать значение функции, а не точкуFind a critical point on an open interval, prove by a sign change that it is a minimum, and return the function value rather than the pointк задаче →Y0502Уровень YMLS✓Различить две критические точки по второй производной и вернуть значение в той, что оказалась максимумомDistinguish two critical points using the second derivative and return the value at the one that is a maximumк задаче →Y0503Уровень YMLS✓Прологарифмировать перед дифференцированием, когда переменная и в основании, и в показателе — эта же задача идёт мини-тестом дняTake logarithms before differentiating when the variable appears both as base and exponent—this is also the day’s mini-testк задаче →Y0504Уровень YMLS✓Прочитать слово «касается» как систему из двух уравнений и найти параметр прямой вместе с неизвестной точкой касанияRead “is tangent to” as a two-equation system and find the line parameter together with the unknown point of tangencyк задаче →S0501Уровень ШАДОтсечь бесконечный перебор рассуждением о монотонности и добить пять целых значений таблицейCut off an infinite search with a monotonicity argument and finish by tabulating five integer valuesк задаче →

Мост · что нужно вспомнить

Блок вероятности закончился, начинается анализ, и честно будет сказать сразу: большая часть сегодняшнего дня с предыдущими четырьмя не связана. Но три нити тянутся насквозь, и все три сегодня несущие.

Первая держит финальную задачу целиком. В s0501 доля решённых задач распределена равномерно, и первый ход — заменить это распределение его средним. Формула «матожидание равномерного распределения есть полусумма концов» пришла из четвёртого дня; без неё задача не начинается. Там же работает вчерашняя привычка не строить распределение величины, а свести вопрос к одному числу.

Вторая — про способ действия. Вчера мы не считали распределение суммы, а раскладывали величину на слагаемые и складывали средние. Сегодня мы не изучаем функцию целиком, а заменяем её около точки прямой $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ и работаем с прямой. Оба раза сложный объект подменяется простым, у которого есть нужное свойство, — в первом случае линейность, во втором наклон.

Третья — про цену ошибки, и она предупреждающая. На третьем и четвёртом днях цена ошибки была в структуре: перепутал независимость с несовместностью — получил правдоподобное неверное число. Сегодня цена ошибки другая и куда обиднее: структура выбрана верно, производная посчитана верно, а в бланк ушла точка вместо значения функции. Проверяется это не пониманием, а привычкой перечитывать вопрос перед вводом ответа.

Вперёд нить тоже уже натянута. Определение производной — это предел вида $\frac00$, и завтра, на шестом дне, такие пределы будут считаться не руками, а подстановкой разложений; линейное приближение из сегодняшнего урока развернётся там в полноценный инструмент.

The probability block is over and analysis begins. It is fair to say immediately that most of today’s work is not directly connected to the previous four days. Three threads do run through it, and all three carry real weight.

The first carries the final problem from start to finish. In s0501, the fraction of solved problems is uniformly distributed, and the first move is to replace that distribution with its mean. The formula “the expectation of a uniform distribution is the average of its endpoints” comes from Day 4; without it, the problem cannot even start. The same day’s habit of avoiding a full distribution and reducing the question to one number also applies.

The second is about how to act. Yesterday we did not find the distribution of a sum; we decomposed the quantity into summands and added their expectations. Today we do not study an entire function; near a point, we replace it with the line $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ and work with that line. In both cases, a complicated object is replaced by a simple one that has the needed property—in the first case linearity, in the second slope.

The third concerns the cost of a mistake, and it is a warning. On Days 3 and 4, a structural mistake—confusing independence with disjointness—produced a plausible but wrong number. Today the mistake is more frustrating: the structure is right and the derivative is right, but the answer sheet receives a point instead of a function value. This is checked not by understanding, but by the habit of rereading the question before entering the answer.

The forward thread is already taut. The definition of the derivative is a $\frac00$-type limit; tomorrow, on Day 6, such limits will be handled by substituting series expansions rather than by hand. Today’s linear approximation will unfold there into a full tool.

Вспомни вслух, до открытия конспектов:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ — скорость изменения функции и тангенс угла наклона касательной; это одно и то же число$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}h$ is the rate of change and the tangent’s slope; these are the same number
Таблица: $(x^n)' = nx^{n-1}$, $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x\ln a$, $(\ln x)' = \frac1x$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$Table: $(x^n)'=nx^{n-1}$, $(e^x)'=e^x$, $(a^x)'=a^x\ln a$, $(\ln x)'=\frac1x$, $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$
Правила: $(u+v)' = u'+v'$, $(Cu)' = Cu'$, $(uv)' = u'v + uv'$, $\left(\frac uv\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, $\big(f(g(x))\big)' = f'(g(x))\,g'(x)$Rules: $(u+v)'=u'+v'$, $(Cu)'=Cu'$, $(uv)'=u'v+uv'$, $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, $\big(f(g(x))\big)'=f'(g(x))\,g'(x)$
Уравнение касательной в точке $x_0$: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$; у прямой $y = kx + b$ угловой коэффициент равен $k$Tangent at $x_0$: $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$; for $y=kx+b$, the slope is $k$
$f' > 0$ — функция возрастает, $f' < 0$ — убывает, $f'(x_0) = 0$ — касательная в этой точке горизонтальна$f'>0$ means increasing, $f'<0$ means decreasing, and $f'(x_0)=0$ means the tangent is horizontal
$f'' < 0$ — выпуклость вверх и максимум, $f'' > 0$ — выпуклость вниз и минимум$f''<0$ means concave down and a maximum, while $f''>0$ means concave up and a minimum
$\ln(ab) = \ln a + \ln b$, $\ln a^b = b\ln a$, $a^b = e^{b\ln a}$, $\ln 1 = 0$, $e \approx 2.71828$$\ln(ab)=\ln a+\ln b$, $\ln a^b=b\ln a$, $a^b=e^{b\ln a}$, $\ln1=0$, and $e\approx2.71828$
Вершина параболы $ax^2 + bx + c$ стоит при $x = -\frac{b}{2a}$; уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет ровно один корень тогда и только тогда, когда $D = b^2 - 4ac = 0$The vertex of $ax^2+bx+c$ is at $x=-\frac b{2a}$; $ax^2+bx+c=0$ has exactly one root iff $D=b^2-4ac=0$
Неравенство о средних: $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ при $a, b > 0$, причём равенство только при $a = b$AM–GM: $a+b\ge2\sqrt{ab}$ for $a,b>0$, with equality only when $a=b$
Показательная растёт быстрее любой степени, а логарифм медленнее: $\frac{x^n}{e^x} \to 0$ и $\frac{\ln x}{x} \to 0$ при $x \to +\infty$, а $x\ln x \to 0$ при $x \to 0^{+}$An exponential grows faster than every power, and a logarithm more slowly: $\frac{x^n}{e^x}\to0$ and $\frac{\ln x}{x}\to0$ as $x\to+\infty$, while $x\ln x\to0$ as $x\to0^+$
Матожидание равномерного распределения на $[a,\,b]$ равно $\frac{a+b}{2}$ (четвёртый день)The expectation of a uniform distribution on $[a,b]$ is $\frac{a+b}{2}$ (Day 4)

Повторение прошлых дней

Карточки возвращаются через 1, 2, 4, 7, 14 и 21 день в зависимости от того, насколько уверенно ты их вспомнил; «не помню» отправляет карточку в начало. Это часть разогрева, вместе с блоком «Мост».

Комбинаторика день 1 осталось 49

Правило умножения: две оговорки, без которых оно не работает

The multiplication rule: two qualifications without which it does not work

Сначала сформулируй вслух. Попытка вспомнить закрепляет сильнее, чем чтение готового ответа.

7 задач: подборка покрывает темы и микронавыки последнего учебного дня (4), а для каждой идеи выбирает наиболее сильный доступный уровень. Здесь отдельная попытка: решение в исходном дне не подставляется. Сначала назови тему вслух, затем решай.

Собрать новый набор

B0406БазаСлучайные величиныавторская

Случайная двоичная строка длины 21 составлена независимыми честными битами. Найдите математическое ожидание числа позиций $i$, для которых $s_i = s_{i+1}$.

A random binary string of length 21 consists of independent fair bits. Find the expected number of positions $i$ for which $s_i = s_{i+1}$.

ответ

Подсказка / Hint

Индикатор на пару соседей, а не на бит. Сколько всего пар?

Place an indicator on each adjacent pair, not on each bit. How many pairs are there?

Решение / Solution

Соседних пар ровно $21 - 1 = 20$. Для каждой пары $\P(s_i = s_{i+1}) = \frac12$.

$$\E X = 20 \cdot \frac12 = 10$$

Ошибка на единицу

Соблазн написать $21 \cdot \frac12 = 10.5$. Битов 21, а пар 20. На онлайн-этапе, где принимается только число, такая ошибка стоит целой задачи, хотя метод был верный. Всегда спрашивай себя: сколько именно объектов я считаю?

There are exactly $21 - 1 = 20$ adjacent pairs. For each pair, $\P(s_i = s_{i+1}) = \frac12$.

$$\E X = 20 \cdot \frac12 = 10$$

An off-by-one error

It is tempting to write $21 \cdot \frac12 = 10.5$. There are 21 bits but only 20 pairs. In an online round that accepts only a number, this costs the entire problem despite the correct method. Always ask: exactly how many objects am I counting?

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

S0401Уровень ШАДСлучайные величиныОлимпиада ШАД 2025, задача «Инклюзивный марьяж»

Из стандартной колоды в 52 карты вынимают карты по одной без возвращения. Найдите математическое ожидание числа карт, которое нужно вынуть, чтобы среди них оказались и король, и дама. Считается общее число вынутых карт, включая последнюю. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Cards are drawn without replacement from a standard 52-card deck. Find the expected number of cards that must be drawn until both a king and a queen have appeared, counting the final card. Round to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

И «номер первого короля», и «номер первой дамы» считаются леммой о промежутках. Максимум из них напрямую не считается: вспомни тождество $\max + \min = $ сумма и подумай, что такое здесь минимум.

The positions of the first king and the first queen are both handled by the gaps lemma. Their maximum is harder to compute directly: recall the identity $\max + \min = $ sum, and interpret the minimum here.

Решение / Solution

Лемма о промежутках. В колоде из $n$ карт помечены $k$. Среднее число карт, которое нужно вынуть до первой помеченной включительно, равно

$$\E = \frac{n+1}{k+1}$$

Доказательство закольцовыванием — самое короткое из существующих. Добавим сверху ещё одну помеченную карту и замкнём колоду из $n+1$ карты в круг. Случайно повернём круг. Теперь помеченных карт $k+1$, и они разбивают круг на $k+1$ дугу из непомеченных карт. Дуги переходят друг в друга поворотом, значит в среднем одинаковы, и в каждой $\frac{n-k}{k+1}$ карт.

Считая от добавленной карты, до первой настоящей помеченной надо пройти одну дугу и саму помеченную карту:

$$\E = \frac{n-k}{k+1} + 1 = \frac{n+1}{k+1}$$

Решение задачи. Пусть $\xi$ — номер первого короля, $\eta$ — первой дамы. Нужно $\E\max\{\xi, \eta\}$. Максимум напрямую считать тяжело, но выручает тождество

$$\max\{\xi,\eta\} + \min\{\xi,\eta\} = \xi + \eta$$

Здесь $\min\{\xi,\eta\}$ — момент появления первой из восьми выделенных карт (четыре короля и четыре дамы вместе). Все три величины считаются по лемме:

$$\E\xi = \E\eta = \frac{52+1}{4+1} = \frac{53}{5}, \qquad \E\min = \frac{52+1}{8+1} = \frac{53}{9}$$$$\E\max = \frac{53}{5} + \frac{53}{5} - \frac{53}{9} = \frac{689}{45} \approx 15.3111$$

Что забрать на YMLS

Два приёма, каждый из которых работает далеко за пределами этой задачи.

Первый — лемма $\frac{n+1}{k+1}$. Закрывает целый класс задач «сколько тянуть до первого нужного». В малом размере ты вывел её индикаторами в задаче b0405, здесь она применена трижды подряд — к королям, к дамам и к восьми картам сразу.

Второй — тождество $\max + \min$. Если максимум считать трудно, а минимум легко, считай минимум и вычитай. Это общий приём, а не трюк для карт: сегодня он уже работал в задаче про два кубика и в задаче про две равномерные точки.

Gaps lemma. In a deck of $n$ cards, suppose $k$ are marked. The expected number of cards drawn up to and including the first marked card is

$$\E = \frac{n+1}{k+1}$$

Circular proof. Add one marked card to the top and join the $n+1$ cards into a circle, then rotate the circle uniformly at random. The $k+1$ marked cards divide the circle into $k+1$ gaps of unmarked cards. Rotation permutes these gaps, so they have the same expected size, $\frac{n-k}{k+1}$.

Starting from the added card, reaching the first original marked card requires crossing one gap and then drawing the marked card itself:

$$\E = \frac{n-k}{k+1} + 1 = \frac{n+1}{k+1}$$

Apply the lemma. Let $\xi$ be the position of the first king and $\eta$ the position of the first queen. We need $\E\max\{\xi,\eta\}$. Use

$$\max\{\xi,\eta\} + \min\{\xi,\eta\} = \xi + \eta$$

Here $\min\{\xi,\eta\}$ is the position of the first among eight marked cards: the four kings and four queens together. The lemma gives

$$\E\xi = \E\eta = \frac{52+1}{4+1} = \frac{53}{5}, \qquad \E\min = \frac{52+1}{8+1} = \frac{53}{9}$$$$\E\max = \frac{53}{5} + \frac{53}{5} - \frac{53}{9} = \frac{689}{45} \approx 15.3111$$

What to carry into YMLS

Two techniques here apply far beyond this problem.

First, the $\frac{n+1}{k+1}$ gaps lemma. It resolves an entire class of “how many draws until the first target?” questions. You derived its small version using indicators in b0405; here it is applied three times—to kings, queens, and all eight marked cards.

Second, the identity $\max + \min$. When the maximum is hard and the minimum easy, compute the minimum and subtract. This is a general method, not a card trick; it already appeared in the problems about two dice and two uniform variables.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0402Уровень YMLSСлучайные величиныуровень YMLS

Кубик бросают 6 раз, броски независимы. Найдите математическое ожидание числа различных граней, выпавших хотя бы один раз. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

A die is rolled independently 6 times. Find the expected number of distinct faces that appear at least once. Round to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Индикатор на грань, а не на бросок. Вероятность считай через дополнение.

Assign an indicator to each face, not each roll. Use the complement for its probability.

Решение / Solution

Пусть $I_j = 1$, если грань $j$ выпала хотя бы раз, $j = 1, \ldots, 6$.

$$\P(I_j = 1) = 1 - \P(\text{грань }j\text{ ни разу}) = 1 - \left(\frac56\right)^6$$$$\E X = 6\left(1 - \left(\frac56\right)^6\right) = 6\left(1 - \frac{15\,625}{46\,656}\right) = \frac{31\,031}{7776} \approx 3.9906$$

Главное решение в этой задаче

Куда вешать индикатор. Естественно хочется — на бросок, но тогда непонятно, что считать. Мы считаем грани, значит и индикатор на грань. Это решение принимается до всех вычислений, и от него зависит, получится задача или нет.

Проверка правдоподобности

Ответ обязан лежать между 1 и 6 и быть ближе к 4: собрать все шесть граней за шесть бросков почти невозможно ($6!/6^6 \approx 1.5\%$). Получили 3.99 — правдоподобно. Ещё проверка: среднее число граней, не выпавших ни разу, равно $6\left(\frac56\right)^6 \approx 2.0094$, и в сумме получается ровно 6.

Let $I_j=1$ if face $j$ appears at least once, for $j=1,\ldots,6$.

$$\P(I_j = 1) = 1 - \P(\text{face }j\text{ never appears}) = 1 - \left(\frac56\right)^6$$$$\E X = 6\left(1 - \left(\frac56\right)^6\right) = 6\left(1 - \frac{15\,625}{46\,656}\right) = \frac{31\,031}{7776} \approx 3.9906$$

The main decision in this problem

Decide where to place the indicator. A roll may seem natural, but then it is unclear what to count. We are counting faces, so indicators belong to faces. This modeling decision comes before any calculation and determines whether the solution works.

Plausibility check

The answer must lie between 1 and 6 and should be near 4: seeing all six faces in six rolls is very unlikely ($6!/6^6 \approx 1.5\%$). The result 3.99 is plausible. Also, the expected number of missing faces is $6\left(\frac56\right)^6 \approx 2.0094$, and the two expectations sum to 6.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W0403РазминкаСлучайные величиныразминка

Честную монету бросают 10 раз. Найдите математическое ожидание числа орлов.

A fair coin is tossed 10 times. Find the expected number of heads.

ответ

Подсказка / Hint

Индикатор на каждый бросок.

Assign an indicator to each toss.

Решение / Solution

$I_j = 1$, если в $j$-м броске орёл, $\P(I_j = 1) = \frac12$.

$$\E X = 10 \cdot \frac12 = 5$$

Если броски независимы, это биномиальное распределение с $\E = np = 10 \cdot 0.5 = 5$. Но в самом счёте независимость нигде не понадобилась: важно лишь, что в каждом отдельном броске орёл выпадает с вероятностью $\frac12$.

Let $I_j = 1$ if toss $j$ is heads. Then $\P(I_j = 1) = \frac12$, so

$$\E X = 10 \cdot \frac12 = 5$$

For independent tosses this is a binomial distribution with $\E = np = 10 \cdot 0.5 = 5$. Yet independence was not needed in the calculation itself: only the marginal probability $\frac12$ of heads on each toss matters.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0404Уровень YMLSСлучайные величиныуровень YMLS

Величины $X$ и $Y$ независимы и равномерно распределены на отрезке $[0, 1]$. Найдите $\E[\max(X, Y)]$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

The variables $X$ and $Y$ are independent and uniform on $[0,1]$. Find $\E[\max(X,Y)]$. Round to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Событие «максимум не превосходит $t$» означает «оба не превосходят $t$» — и для независимых величин эта вероятность распадается в произведение.

“The maximum is at most $t$” means both variables are at most $t$; independence makes that probability a product.

Решение / Solution

Первый путь — хвостовая формула. Для неотрицательной величины $\E Z = \int_0^{\infty} \P(Z > t)\,dt$, а максимум лежит в $[0,1]$, поэтому интеграл идёт от 0 до 1.

$$\P(\max \le t) = \P(X \le t)\,\P(Y \le t) = t^2 \;\Longrightarrow\; \P(\max > t) = 1 - t^2$$$$\E[\max] = \int_0^1 (1 - t^2)\,dt = 1 - \frac13 = \frac23 \approx 0.6667$$

Второй путь — тождество, без единого нового интеграла. В каждом исходе $\max(X,Y) + \min(X,Y) = X + Y$, поэтому

$$\E[\max] = \E X + \E Y - \E[\min] = \frac12 + \frac12 - \frac13 = \frac23$$

Среднее минимума посчитано в задаче b0403, и хвост там был короче. Это общее правило: из пары «максимум и минимум» считают ту величину, чей хвост проще, а вторую получают вычитанием из суммы средних.

Проверка симметрией, вообще без счёта

Замкни отрезок в окружность длины 1, склеив точки 0 и 1, и брось на неё три независимые точки; поверни окружность так, чтобы третья точка попала в место склейки. Две оставшиеся — это ровно $X$ и $Y$, а три дуги переходят друг в друга поворотом и потому в среднем равны $\frac13$. Минимум отстоит от нуля на одну дугу, максимум — на две: $\E[\min] = \frac13$, $\E[\max] = \frac23$.

Общий факт: $n$ независимых равномерных точек делят $[0,1]$ на $n+1$ в среднем равный кусок, поэтому $\E[\min] = \frac{1}{n+1}$, $\E[\max] = \frac{n}{n+1}$. Дискретный близнец — лемма о промежутках, которую ты применял в задаче b0405.

First method—the tail formula. For a nonnegative variable, $\E Z=\int_0^{\infty}\P(Z>t)\,dt$. Since the maximum lies in $[0,1]$, integrate from 0 to 1:

$$\P(\max \le t) = \P(X \le t)\,\P(Y \le t) = t^2 \;\Longrightarrow\; \P(\max > t) = 1 - t^2$$$$\E[\max] = \int_0^1 (1 - t^2)\,dt = 1 - \frac13 = \frac23 \approx 0.6667$$

Second method—an identity with no new integral. For every outcome, $\max(X,Y)+\min(X,Y)=X+Y$. Therefore

$$\E[\max] = \E X + \E Y - \E[\min] = \frac12 + \frac12 - \frac13 = \frac23$$

The expected minimum was found in b0403, where its tail was simpler. In general, for a maximum/minimum pair, compute the one with the simpler tail and recover the other from the sum.

Symmetry check with no calculation

Join 0 and 1 to form a circle of circumference 1, place three independent points on it, and rotate until the third point is at the join. The other two points are $X$ and $Y$. Rotation permutes the three arcs, so each has expected length $\frac13$. The minimum is one arc from zero and the maximum two arcs away: $\E[\min]=\frac13$, $\E[\max]=\frac23$.

More generally, $n$ independent uniform points divide $[0,1]$ into $n+1$ gaps of equal expected length, so $\E[\min]=\frac{1}{n+1}$ and $\E[\max]=\frac{n}{n+1}$. The discrete analogue is the gaps lemma used in b0405.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0403Уровень YMLSВероятностьОфициальная задача YMLS · Practice Problem 4, Q1

Детектор работает $T = 10$ секунд. Вероятность зарегистрировать ровно одну частицу за время $T$ равна $p = 0.2025$; двух и более частиц за это время быть не может. Вероятность того, что частица будет зарегистрирована именно в данную секунду, для всех десяти секунд одна и та же.

Известно, что за первые девять секунд частица не зарегистрирована. Найдите вероятность того, что она будет зарегистрирована на десятой секунде. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

A detector operates for $T=10$ seconds. The probability of recording exactly one particle during time $T$ is $p=0.2025$, and two or more particles cannot be recorded during this time. The probability that a particle is recorded in any specified second is the same for all ten seconds.

It is known that no particle was recorded in the first nine seconds. Find the probability that one is recorded in the tenth second. Round to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Задача складывается из двух отработанных ходов: сначала вытащи вероятность одной секунды из среднего, как в разминке про брак, потом пересчитай при условии, как в задаче про спутник.

Combine two familiar ideas: first recover the one-second probability from an expectation, as in the defect warm-up; then condition on the observation, as in the satellite problem.

Решение / Solution

Шаг 1: найти $q$. Пусть $q$ — вероятность регистрации в конкретную секунду, $I_j$ — индикатор регистрации на $j$-й секунде. Число зарегистрированных частиц $N = I_1 + \cdots + I_{10}$ принимает только значения 0 и 1, поэтому $\E N = \P(N = 1) = 0.2025$, а по линейности $\E N = 10q$:

$$10q = 0.2025 \;\Longrightarrow\; q = 0.02025$$

Шаг 2: пересчитать при условии. «Частицы нет за первые девять секунд» — событие, противоположное объединению девяти несовместных событий:

$$\P(B) = 1 - 9q = 1 - 0.18225 = 0.81775$$

Событие $A$ — «частица на десятой секунде» — целиком содержится в $B$: раз частица одна, то на первых девяти секундах её и не было. Поэтому $\P(A \cap B) = \P(A) = q$ и

$$\P(A \mid B) = \frac{q}{1 - 9q} = \frac{0.02025}{0.81775} \approx 0.0248$$

Ловушка задачи

Инстинкт подсказывает: «интервалы независимы, значит перемножаем». Здесь это неверно: «двух и более быть не может» делает односекундные события несовместными, а не независимыми. Посчитав $\P(B) = (1-q)^9 \approx 0.8318$, получишь $0.0243$ вместо $0.0248$ — ответ, разошедшийся в третьей значащей цифре и потому не принятый.

Step 1: find $q$. Let $q$ be the probability of a recording in a specified second, and let $I_j$ indicate a recording in second $j$. The number of recorded particles $N=I_1+\cdots+I_{10}$ takes only 0 and 1, so $\E N=\P(N=1)=0.2025$. By linearity, $\E N=10q$:

$$10q = 0.2025 \;\Longrightarrow\; q = 0.02025$$

Step 2: condition. “No particle in the first nine seconds” is the complement of the union of nine disjoint events:

$$\P(B) = 1 - 9q = 1 - 0.18225 = 0.81775$$

Let $A$ be “a particle in the tenth second.” Then $A \subseteq B$: since there can be only one particle, its occurrence in the tenth second excludes an earlier occurrence. Hence $\P(A \cap B)=\P(A)=q$, and

$$\P(A \mid B) = \frac{q}{1 - 9q} = \frac{0.02025}{0.81775} \approx 0.0248$$

The trap

One may instinctively treat the seconds as independent and multiply. That is wrong: the rule “at most one particle” makes the one-second events disjoint, not independent. Using $\P(B)=(1-q)^9 \approx 0.8318$ would give $0.0243$ instead of $0.0248$, differing in the third significant digit and therefore not accepted.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0401Уровень YMLSСлучайные величиныуровень YMLS · собиратель купонов

Кубик бросают до тех пор, пока не выпадут все шесть граней хотя бы по одному разу. Броски независимы. Найдите математическое ожидание числа бросков.

A die is rolled until all six faces have appeared at least once. The rolls are independent. Find the expected number of rolls.

ответ

Подсказка / Hint

Разбей процесс на этапы: сколько бросков нужно, чтобы получить новую грань, когда уже собрано $k$ граней?

Split the process into stages. If $k$ faces have already appeared, how many rolls are expected until a new face appears?

Решение / Solution

Разобьём процесс на шесть этапов. Когда собрано $k$ граней, вероятность, что очередной бросок даст новую грань, равна $\frac{6-k}{6}$. Значит среднее число бросков на этом этапе равно $\frac{6}{6-k}$ (геометрическое распределение).

По линейности складываем этапы:

$$\E = \frac66 + \frac65 + \frac64 + \frac63 + \frac62 + \frac61 = 6\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16\right) = 6 \cdot \frac{49}{20} = 14.7$$

Где прячется вся стоимость

Последняя, шестая грань стоит в среднем 6 бросков — больше, чем первые четыре вместе. Общая формула: $\E = n H_n \approx n \ln n$. Для 50 карточек это уже около 225 покупок. «Хвост» всегда самый дорогой — полезная интуиция и за пределами задач.

Split the process into six stages. When $k$ faces have been collected, the next roll produces a new face with probability $\frac{6-k}{6}$. The expected duration of that stage is therefore $\frac{6}{6-k}$ by the geometric distribution.

By linearity, add the stage durations:

$$\E = \frac66 + \frac65 + \frac64 + \frac63 + \frac62 + \frac61 = 6\left(1 + \tfrac12 + \tfrac13 + \tfrac14 + \tfrac15 + \tfrac16\right) = 6 \cdot \frac{49}{20} = 14.7$$

Where most of the cost lies

The final, sixth face alone takes 6 rolls on average—more than the first four faces combined. In general, $\E = n H_n \approx n \ln n$. Collecting 50 different cards would take about 225 purchases. The tail is always the most expensive part, a useful intuition beyond exams.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

зачем это сегодня

У сегодняшней темы два практических повода быть в плане.

Первый — само определение производной. Таблицу производных знают все, а предел разностного отношения к моменту экзамена обычно уже не считают руками, — и именно на этом ломаются, когда функция задана так, что таблица не применима. Поэтому одна задача дня (b0501) отрабатывает счёт строго по определению, и полчаса из четырёх уходят на дриль по этому приёму.

Второй повод весомее. Экстремум — это то, чем машинное обучение занимается буквально всё время: обучение модели есть минимизация функции потерь, а градиентный спуск — пошаговое движение против производной. Задача s0501 взята с экзамена ШАД дословно, и она же показывает, в каком виде тема приходит на настоящем экзамене: не «исследуйте функцию», а прикладной сюжет, где надо самому собрать целевую функцию и заметить, что переменная целая.

И отдельно про формат. На онлайн-этапе принимается только число, обоснование не проверяется, попытка одна. У задач на экстремум есть встроенная ловушка ровно под такой формат: правильно найденная точка минимума — это неправильный ответ, если спрашивали значение. Сегодняшний день во многом про то, чтобы эта ловушка перестала работать.

Today’s topic has two practical reasons to be in the plan.

The first is the definition of the derivative itself. Everyone knows the derivative table, and by exam time most people no longer calculate a difference quotient by hand—exactly why they break when the function is presented in a form to which the table does not apply. Day problem b0501 therefore drills calculation strictly from the definition, and half an hour of the four-hour day goes to this technique.

The second reason is more important. An extremum is what machine learning does almost all the time: training a model means minimizing a loss function, and gradient descent means moving step by step against the derivative. Problem s0501 is taken directly from a SHAD exam, and it also shows how the topic arrives in a real exam: not “analyze this function,” but an applied story in which you must build the objective function yourself and notice that the variable is an integer.

And a note about format. The online stage accepts only a number; the justification is not checked, and there is one attempt. Extremum problems contain a trap tailored to this format: a correctly found minimizing point is still a wrong answer if the question asks for the value. Much of today is about making that trap stop working.

Навыки по порядку

Тема разбита на отдельные навыки от простого к сложному. Для каждого указаны тренировочные задачи.

1Производная по определениюDerivative from the definitionДобываешь $f'$ руками из предела разностного отношения: убиваешь $h$ в знаменателе раскрытием, общим знаменателем или домножением на сопряжённоеCompute $f'$ by hand from the difference quotient: cancel $h$ in the denominator by expansion, a common denominator, or a conjugateB0501
2Экстремум до числаFrom extremum to numberКритическая точка одна: приравниваешь $f'$ нулю, подтверждаешь тип сменой знака, оцениваешь края промежутка и подставляешь точку обратно в $f$With one critical point, set $f'=0$, confirm the type by a sign change, assess the interval’s endpoints, and substitute the point back into $f$W0501 B0503 Y0501
3Выбор из двух критических точекChoosing between two critical pointsТот же ход, но нулей у $f'$ два: считаешь $f''$ в каждом, называешь тип и берёшь ту точку, про которую спросили — наугад выбирать нечегоThe same move, but $f'$ has two zeros: compute $f''$ at each, name its type, and take the point the question asks for—there is no guessingW0504 B0502 Y0502
4Касание как системаTangency as a systemТочка касания не дана: к равенству значений добавляешь равенство наклонов, получаешь два уравнения на две неизвестные и начинаешь с того, куда не входит параметрThe tangency point is unknown: combine equality of values with equality of slopes, solve two equations in two unknowns, and start with the equation that does not contain the parameterW0503 B0504 Y0504
5Логарифмическое дифференцированиеLogarithmic differentiationПроизводную сначала приходится добыть: переменная и в основании, и в показателе, значит логарифмируешь обе части — а дальше это уже второй или третий навык из спискаThe derivative must be obtained first: the variable is both base and exponent, so take logarithms of both sides; then use the second or third skill from the listB0505 B0506 Y0503
6Целочисленный экстремумInteger extremumПроизводную приравнивать некуда вообще: непрерывная версия работает указателем места, монотонность отсекает бесконечный хвост, остаток считается таблицейThere is no derivative equation to set to zero: use the continuous version to locate the candidate, let monotonicity cut off the infinite tail, and tabulate the remaining valuesW0502 B0507 S0501

Расписание

0:00–0:15РазогревWarm-up Одиннадцать пунктов блока «Мост» вслух, без конспекта. Таблица и четыре правила должны выговариваться без пауз: сегодня на них стоит каждая задача.Recite the eleven Bridge facts without notes. The derivative table and four rules must come out without pauses: every problem today rests on them.

0:15–1:20УрокLesson С бумагой. Оба примера на счёт по определению доведи до конца сам, прежде чем читать разбор. Эталонную задачу останови после шага 3 и досчитай.Work on paper. Finish both definition-based derivative examples yourself before reading the solution. Stop the model problem after Step 3 and calculate the rest.

1:20–1:50Дриль на определениеDefinition drill Пять функций из блока «как работать сегодня» — без таблицы, по определению. Это прямая подготовка к задачам, где формулировка «по определению» закрывает таблицу.Take the five functions from the “how to work today” block—no table, definition only. This directly prepares you for problems where the phrase “by definition” closes the table.

1:50–3:20ЗадачиProblems По ступеням 1 → 4, без перепрыгиваний. Ступень 3 не пропускается: там стоят пять мостов, по одному на каждый из пяти финалов.Follow levels 1 → 4 without jumping ahead. Do not skip level 3: it contains five bridges, one to each final.

3:20–3:45Мини-тестMini-test y0503 под таймером, в режиме экзамена: подсказка и разбор закрыты, ответ вводится один раз.Do y0503 under a timer in exam mode: hide the hint and solution, and submit once.

3:45–4:00АудитAudit Критерии внизу страницы, два типа ошибок в журнал.Review the criteria at the bottom of the page and log the two types of errors.

Урок

разбираем с нуля

Вход: две задачи, где балл теряют не на технике

Первая. Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x^{2} + \dfrac{81}{x^{2}}$ при $x > 0$. Вторая. Найдите наименьшее значение функции $g(x) = x^2$ на отрезке $[1;\,3]$.

Обе решаются за полминуты, и обе — ловушки. В первой производная $2x - \frac{162}{x^{3}}$ обращается в ноль при $x = 3$, и в бланк уходит тройка, хотя спрашивали значение функции, а оно равно $18$. Во второй производная обращается в ноль при $x = 0$, но нуля нет на отрезке, и ответ стоит на его левом конце: $g(1) = 1$.

Дифференцировать ты умеешь, и всё нужное собрано в блоке «Мост» — в уроке эти формулы больше не выводятся. Сегодняшний день про то, что делать после того, как производная посчитана: куда её приравнивать, какие точки сравнивать между собой и какое из полученных чисел писать в ответ.

Производная по определению: как убить $h$ в знаменателе

Один тип задачи требует не таблицы, а честного предела: в условии прямо сказано «пользуясь определением», и таблица запрещена. Техника во всех таких задачах одна и та же.

Подставить $h = 0$ в разностное отношение нельзя: и числитель, и знаменатель обращаются в ноль. Вся работа состоит в том, чтобы сократить $h$, и способов ровно три.

Раскрыть и привести подобные — если в числителе многочлен.
Привести к общему знаменателю — если в числителе разность дробей.
Домножить на сопряжённое — если в числителе разность корней.

Первый способ школьный, на нём останавливаться не будем. Разберём два других.

Пример со дробью. Найдём $f'(x)$ для $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ по определению.

$$\frac{1}{h}\left(\frac{x+h}{x+h+1} - \frac{x}{x+1}\right) = \frac{1}{h}\cdot\frac{(x+h)(x+1) - x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}$$

Числитель раскрывается в $x^2 + x + hx + h - x^2 - xh - x = h$: всё, кроме одного слагаемого, сократилось. Значит дробь равна $\dfrac{1}{(x+h+1)(x+1)}$, и после подстановки $h = 0$

$$f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$$

Пример с корнем. Найдём $f'(x)$ для $f(x) = \sqrt{x^2+3}$.

Разность корней в числителе сократить нечем, поэтому домножаем и числитель, и знаменатель на сопряжённое выражение $\sqrt{(x+h)^2+3} + \sqrt{x^2+3}$. Работает это всегда по одной причине: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, и корни исчезают.

$$\frac{\left((x+h)^2+3\right) - \left(x^2+3\right)}{h\left(\sqrt{(x+h)^2+3} + \sqrt{x^2+3}\right)} = \frac{2xh + h^2}{h\left(\sqrt{(x+h)^2+3} + \sqrt{x^2+3}\right)}$$

Теперь $h$ сокращается, остаётся $\dfrac{2x + h}{\sqrt{(x+h)^2+3} + \sqrt{x^2+3}}$, и при $h = 0$

$$f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$$

Всегда сверяйся с таблицей

Посчитал по определению — проверь цепным правилом: здесь оно даёт $\frac{1}{2\sqrt{x^2+3}}\cdot 2x$, то же самое. Решением такой ход не считается, если просят определение, но проверка стоит пятнадцати секунд.

Экстремум — это касание горизонтальной прямой

Дальше весь урок про экстремумы, и полезно сразу увидеть, что это частный случай уже знакомого. Касательная в точке максимума или минимума горизонтальна, то есть её наклон известен заранее и равен нулю. Отсюда и условие $f'(x_0) = 0$.

Точки, где производная обращается в ноль, называются критическими. Само по себе равенство $f'(x_0) = 0$ не означает ни максимума, ни минимума: у функции $x^3$ производная в нуле обращается в ноль, а никакого экстремума там нет — график просто на мгновение выпрямляется и продолжает расти.

Алгоритм наибольшего и наименьшего значения

Посчитать $f'$ и найти все точки, где она обращается в ноль.
Отбросить те, что не попадают в заданный промежуток.
Собрать список кандидатов: оставшиеся критические точки плюс концы промежутка.
Посчитать значение функции в каждом кандидате и сравнить числа.
В ответ записать значение, а не точку.

Есть и третий сорт кандидатов — точки излома вроде нуля у $|x|$, где производной нет вовсе, — но сегодня он не встретится: все функции дня дифференцируемы на своей области.

Шаг 4 стоит отдельного слова. На отрезке тип критической точки определять не нужно: хватает сравнения нескольких чисел. Тип нужен в трёх других случаях — когда промежуток без концов и сравнивать не с чем, когда в вопросе стоит слово «локальный» и когда критических точек вышло несколько, а спрашивают ровно про одну из них.

Последний случай самый дорогой: как только у $f'$ оказалось два нуля, одной подстановкой ответ уже не получить — сначала надо сказать, какая точка максимум, а какая минимум. По этой схеме идут w0504, b0502, y0502 и эталонная задача ниже.

Способов различить тип два, оба выписаны в блоке «Мост», и выбор между ними чисто практический. Знак $f''$ короче там, где вторая производная считается в одну строку — например, у многочлена. Таблица знаков $f'$ длиннее, но надёжнее: она работает и тогда, когда $f''$ в критической точке сама обращается в ноль и потому не сообщает ничего, и заодно показывает всю картину роста и спада целиком.

Открытый и бесконечный промежуток: концы не подставляются

Если промежуток записан как $x > 0$, или $[1;+\infty)$, или вся прямая, то конца, в который можно подставить число, просто нет. Кандидатов на шаге 3 становится меньше, но работы не меньше: вместо подстановки надо оценить, куда функция уходит у края.

Для $f(x) = x^{2} + \frac{81}{x^{2}}$ на $x > 0$ это делается в одну строку: при $x \to 0^{+}$ слагаемое $\frac{81}{x^{2}}$ растёт неограниченно, при $x \to +\infty$ растёт само $x^{2}$. На обоих краях функция больше любого числа, значит единственная критическая точка обязана быть глобальным минимумом. Без этой оценки утверждение «нашли минимум» было бы недоказанным.

Иногда край оценивается не в бесконечность, а в конечное число: у функции $x^2e^{-x}$ на $x \ge 0$ правый край даёт ноль, потому что показательная растёт быстрее любой степени. Ноль меньше найденного максимума, поэтому край ничего не меняет — но проверить это надо было.

Касание — это система из двух условий

Слово «касается» в условии означает не одно уравнение, а два, и распознавать его надо именно так.

Пересечение кривой $y = f(x)$ и прямой $y = kx + b$ — это одно равенство $f(x_0) = kx_0 + b$. Касание добавляет второе: в точке касания совпадают ещё и наклоны, $f'(x_0) = k$. Неизвестных при этом тоже две — сама точка $x_0$ и параметр прямой, — поэтому система из двух уравнений решается, а из одного не решилась бы.

Простейший случай этой системы — горизонтальная прямая: там $k = 0$, равенство наклонов превращается в $f'(x_0) = 0$, и задача на касание оказывается задачей на экстремум (w0503). Дальше наклон уже не ноль (b0504), а потом и сам неизвестен (y0504).

Пример. При каком $a$ прямая $y = x$ касается графика $y = \ln x + a$?

Равенство наклонов: $(\ln x + a)' = \frac{1}{x}$, а наклон прямой равен $1$, значит $\frac{1}{x_0} = 1$ и $x_0 = 1$. Уравнение решилось само, потому что параметр $a$ в него не входит — так бывает часто, и с этого уравнения стоит начинать. Теперь равенство значений: $1 = \ln 1 + a = a$. Ответ: $a = 1$.

Вторая дорога: кратный корень

Касание можно проверить и без производной: подставить одно в другое и потребовать, чтобы у полученного уравнения был кратный корень. Именно кратный, а не единственный: прямая $y = -2$ касается кубики $y = x^3 - 3x$ в точке $x = 1$, но уравнение $x^3 - 3x + 2 = (x-1)^2(x+2) = 0$ имеет два разных корня, $1$ и $-2$. Для прямой и параболы оба требования совпадают: кратный корень там и есть единственный, и условие пишется коротко, $D = 0$. Именно так проверена b0504 вторым способом.

Логарифмическое дифференцирование

Функцию $x^x$ нельзя продифференцировать ни как степень (показатель не константа), ни как показательную (основание не константа). Приём один: логарифмировать обе части до дифференцирования.

Пусть $y = u(x)^{v(x)}$. Тогда $\ln y = v\ln u$, и дифференцирование обеих частей даёт слева $\frac{y'}{y}$ по цепному правилу, а справа — обычную производную произведения. Остаётся умножить результат на $y$.

Пример. $y = x^{\ln x}$. Логарифмируем: $\ln y = (\ln x)^2$. Дифференцируем:

$$\frac{y'}{y} = 2\ln x \cdot \frac1x \;\Longrightarrow\; y' = x^{\ln x}\cdot\frac{2\ln x}{x}$$

Сверка в точке $x = e$: формула даёт $e^{1}\cdot\frac{2}{e} = 2$, и численный расчёт разностного отношения в этой точке тоже даёт $2$.

Второй способ записи — тот же приём другими словами: $u^v = e^{v\ln u}$, дальше просто цепное правило. Пользуйся тем, который меньше путает.

Триггер

Переменная стоит и в основании, и в показателе — логарифмируй. Никакого другого рабочего хода здесь нет, и распознаётся этот тип за секунду.

Целый аргумент: производную приравнивать некуда

Число людей в бригаде, билетов, попыток, серверов — величина целая. Условие $f'(k) = 0$ для неё бессмысленно: между соседними значениями функция не определена, и говорить о её наклоне нельзя.

Работают два хода, и обычно оба сразу.

Ход первый: непрерывная версия как указатель места. Забываем про целочисленность, находим максимум через производную, а потом проверяем целых соседей найденной точки. Пример: наибольшее значение $\frac{n}{n^2+9}$ по целым $n \ge 1$. Производная непрерывной версии равна $\frac{9 - t^2}{(t^2+9)^2}$ и обращается в ноль при $t = 3$; целое туда попало, поэтому ответ равен $\frac{3}{18} = \frac16 \approx 0.1667$, а соседи дают меньше: $\frac{2}{13} \approx 0.1538$ и $\frac{4}{25} = 0.16$.

Ход второй: отсечь монотонностью, доперебирать руками. Он нужен, когда в формуле стоит $\min$ или $\max$ — то есть у функции есть излом. Правее излома одно слагаемое замирает, а другое продолжает расти, и дальше становится только хуже. Это рассуждение превращает бесконечный перебор в перебор нескольких значений, которые считаются в таблице честно.

Мост b0507 и финальная задача дня s0501 устроены именно по этой схеме.

Линейное приближение: мост в завтра

Уравнение касательной, переписанное иначе, — это рецепт устного счёта:

$$f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0)\,\Delta x$$

Вблизи точки любую гладкую функцию можно заменить прямой: $\sqrt{4.1} \approx 2 + \frac{0.1}{4} = 2.025$ против настоящего $2.02485$ — погрешность меньше сотой доли процента, а счёт устный. Завтра эта идея разворачивается в основной инструмент: функция заменяется не прямой, а многочленом второй и третьей степени, и пределы вида $\frac00$ считаются подстановкой.

Что должно остаться в голове

Спрашивают значение — в ответ идёт значение. Точку находят по дороге, а не пишут в бланк.
Кандидаты на экстремум: критические точки внутри промежутка и его концы, а у открытого или бесконечного промежутка вместо концов — оценка того, куда функция уходит у края.
На отрезке тип точки не нужен; без концов, при двух критических точках и при слове «локальный» — обязателен.
«Касается» — это два уравнения: значения совпали и наклоны совпали, и простейший его вид — горизонтальная касательная в экстремуме.
Переменная в основании и в показателе — логарифмируй.
Аргумент целый — производную не приравнивай: сузи область и перебери.

Opening: two problems where technique is not where the point is lost

First: find the minimum of $f(x)=x^2+\dfrac{81}{x^2}$ for $x>0$. Second: find the minimum of $g(x)=x^2$ on $[1,3]$.

Both take half a minute, and both are traps. In the first, the derivative $2x-\frac{162}{x^3}$ is zero at $x=3$, so the answer sheet receives 3 even though the question asked for the value, which is 18. In the second, the derivative is zero at $x=0$, but zero is not in the interval, so the answer is at the left endpoint: $g(1)=1$.

You already know how to differentiate, and everything needed is in the Bridge—the formulas are not derived again in the lesson. Today is about what to do after the derivative is computed: what to set it equal to, which candidates to compare, and which resulting number belongs in the answer.

Derivative from the definition: eliminating $h$ from the denominator

One type of problem requires the honest limit rather than the table: the condition explicitly says “using the definition,” and the table is forbidden. The technique is the same every time.

Substituting $h=0$ into the difference quotient is impossible: numerator and denominator both become zero. The whole job is to cancel $h$, and there are exactly three ways.

Expand and collect like terms when the numerator is a polynomial.
Use a common denominator when the numerator is a difference of fractions.
Multiply by the conjugate when the numerator is a difference of radicals.

The first is standard algebra, so we will focus on the other two.

Fraction example. Find $f'(x)$ for $f(x)=\dfrac{x}{x+1}$ from the definition.

$$\frac1h\left(\frac{x+h}{x+h+1}-\frac{x}{x+1}\right)=\frac1h\cdot\frac{(x+h)(x+1)-x(x+h+1)}{(x+h+1)(x+1)}$$

The numerator expands to $x^2+x+hx+h-x^2-xh-x=h$: everything but one term cancels. The fraction is therefore $\dfrac1{(x+h+1)(x+1)}$, and after setting $h=0$,

$$f'(x)=\frac1{(x+1)^2}$$

Radical example. Find $f'(x)$ for $f(x)=\sqrt{x^2+3}$.

There is no direct cancellation in the difference of radicals, so multiply numerator and denominator by the conjugate $\sqrt{(x+h)^2+3}+\sqrt{x^2+3}$. This always works because $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, which makes the radicals disappear.

$$\frac{((x+h)^2+3)-(x^2+3)}{h\left(\sqrt{(x+h)^2+3}+\sqrt{x^2+3}\right)}=\frac{2xh+h^2}{h\left(\sqrt{(x+h)^2+3}+\sqrt{x^2+3}\right)}$$

Now cancel $h$. What remains is $\dfrac{2x+h}{\sqrt{(x+h)^2+3}+\sqrt{x^2+3}}$, and at $h=0$,

$$f'(x)=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+3}}$$

Always cross-check with the table

After computing from the definition, check with the chain rule: here it gives $\frac1{2\sqrt{x^2+3}}\cdot2x$, the same result. This is not a valid solution when the definition is required, but it is a 15-second check.

An extremum is tangency to a horizontal line

The rest of the lesson concerns extrema. It helps to see them as a special case of something familiar. The tangent at a maximum or minimum is horizontal, so its slope is known in advance to be zero. This gives $f'(x_0)=0$.

Points where the derivative is zero are critical points. The equation $f'(x_0)=0$ alone means neither maximum nor minimum: for $x^3$, the derivative is zero at the origin, but there is no extremum—the graph merely flattens for an instant and keeps increasing.

Algorithm for the maximum and minimum value

Compute $f'$ and find all points where it is zero.
Discard those outside the specified interval.
Make a candidate list: the remaining critical points plus interval endpoints.
Evaluate the function at every candidate and compare the numbers.
Write the value, not the point, in the answer.

There is a third kind of candidate—corners such as the origin for $|x|$, where the derivative does not exist—but none occurs today: every function is differentiable on its domain.

Step 4 deserves a separate note. On a closed interval, there is no need to classify a critical point; comparing a few numbers is enough. Classification is needed in three other situations: an interval has no endpoints, the question says “local,” or there are several critical points and exactly one is requested.

The last situation is the costly one. As soon as $f'$ has two zeros, one substitution cannot give the answer; first say which point is a maximum and which a minimum. w0504, b0502, y0502, and the model problem below follow this pattern.

There are two ways to distinguish the types, both in the Bridge, and the choice is practical. The sign of $f''$ is shorter when the second derivative takes one line, for example for a polynomial. A sign chart for $f'$ is longer but more reliable: it works even when $f''$ itself is zero at the critical point and says nothing, and it displays the full pattern of increase and decrease.

Open and infinite intervals: do not substitute endpoints

If the interval is $x>0$, $[1,+\infty)$, or the whole real line, there is no endpoint at which a number can be substituted. The candidate list is shorter, but the work is not: instead of substitution, estimate what the function does near the boundary.

For $f(x)=x^2+\frac{81}{x^2}$ on $x>0$, this takes one line. As $x\to0^+$, $\frac{81}{x^2}$ grows without bound; as $x\to+\infty$, $x^2$ itself grows. At both ends the function exceeds every fixed number, so the sole critical point must be a global minimum. Without this estimate, “we found the minimum” would be unproved.

Sometimes the boundary tends to a finite value rather than infinity. For $x^2e^{-x}$ on $x\ge0$, the right boundary gives zero because the exponential grows faster than every power. Zero is below the maximum found inside, so the boundary changes nothing—but it still had to be checked.

Tangency is a two-condition system

The word “tangent” in a condition means two equations, and you should recognize it that way.

The intersection of the curve $y=f(x)$ and the line $y=kx+b$ gives one equality, $f(x_0)=kx_0+b$. Tangency adds a second: at the contact point the slopes also agree, $f'(x_0)=k$. There are two unknowns—the point $x_0$ and the line parameter—so the system is solvable, while one equation would not be.

The simplest case is a horizontal line, where $k=0$ and slope equality becomes $f'(x_0)=0$: a tangency problem becomes an extremum problem (w0503). Next the slope is nonzero (b0504), and finally it is unknown as well (y0504).

Example. For which $a$ is the line $y=x$ tangent to the graph $y=\ln x+a$?

Equality of slopes gives $(\ln x+a)'=\frac1x$, while the line’s slope is 1. Thus $\frac1{x_0}=1$ and $x_0=1$. The equation solved itself because $a$ does not appear in it; this is common, so start there. Now equate values: $1=\ln1+a=a$. The answer is $a=1$.

A second route: a multiple root

Tangency can also be checked without derivatives: substitute one equation into the other and require the resulting equation to have a multiple root. Multiple, not necessarily unique: the line $y=-2$ is tangent to $y=x^3-3x$ at $x=1$, yet $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)=0$ has two distinct roots, 1 and -2. For a line and a parabola, the two requirements coincide: a multiple root is also the only root, and the condition is the short equation $D=0$. This is the second check used for b0504.

Logarithmic differentiation

The function $x^x$ can be differentiated neither as a power (the exponent is not constant) nor as an exponential (the base is not constant). There is one move: take logarithms of both sides before differentiating.

Let $y=u(x)^{v(x)}$. Then $\ln y=v\ln u$. Differentiating gives $y'/y$ on the left by the chain rule and the ordinary product derivative on the right. Multiply by $y$ at the end.

Example. $y=x^{\ln x}$. Take logs: $\ln y=(\ln x)^2$. Differentiate:

$$\frac{y'}y=2\ln x\cdot\frac1x\;\Longrightarrow\;y'=x^{\ln x}\cdot\frac{2\ln x}{x}$$

At $x=e$, the formula gives $e^1\cdot\frac2e=2$, and a numerical difference quotient at that point gives 2 as well.

Another notation for the same method is $u^v=e^{v\ln u}$, followed by the chain rule. Use whichever form causes less confusion.

Trigger

The variable appears both in the base and the exponent—take logarithms. There is no other practical route, and the pattern can be recognized in a second.

Integer argument: there is nowhere to set the derivative to zero

The number of people on a team, tickets, attempts, or servers is an integer. The condition $f'(k)=0$ is meaningless: the function is not defined between neighboring integer values, so it has no slope there.

Two moves work, and usually both are used.

First move: use the continuous version as a location marker. Ignore integrality, find the maximum using a derivative, and then check the integer neighbors of the candidate. Example: maximize $\frac{n}{n^2+9}$ over integers $n\ge1$. The derivative of the continuous version is $\frac{9-t^2}{(t^2+9)^2}$, zero at $t=3$. Since 3 is an integer, the answer is $\frac3{18}=\frac16\approx0.1667$, while the neighbors give less: $\frac2{13}\approx0.1538$ and $\frac4{25}=0.16$.

Second move: use monotonicity to cut off the tail, then check by hand. This is needed when the formula contains $\min$ or $\max$, so the function has a corner. To the right of the corner, one term is frozen while the other keeps growing, so things only get worse. This turns an infinite search into a few honest table entries.

Bridge b0507 and today’s SHAD final s0501 use exactly this pattern.

Linear approximation: a bridge to tomorrow

The tangent equation, written differently, is a recipe for mental arithmetic:

$$f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,\Delta x$$

Near any point, a smooth function can be replaced by a line: $\sqrt{4.1}\approx2+\frac{0.1}{4}=2.025$, versus the true $2.02485$. The error is less than one hundredth of a percent, and the calculation is mental. Tomorrow this idea becomes the main tool: a function is replaced not by a line but by a polynomial of degree two or three, and $\frac00$ limits are evaluated by substitution.

What should stay with you

If the question asks for a value, return a value. Find the point along the way; do not write it in the answer box.
Extremum candidates are critical points inside the interval and its endpoints; for open or infinite intervals, replace endpoints with an estimate of the limiting behavior.
On a closed interval, classification is unnecessary; without endpoints, with two critical points, or with the word “local,” it is essential.
“Tangent” means two equations: values agree and slopes agree. Its simplest form is a horizontal tangent at an extremum.
If the variable is both base and exponent, take logarithms.
If the argument is integer, do not set a derivative to zero: narrow the search and check integers.

Признаки и действия

Слева — что заметить в условии. Справа — что сделать первым.

Увидел	Первый ход
«Найдите наименьшее / наибольшее значение функции»“Find the minimum / maximum value of the function”	Ответ — значение: найди $x_0$, а потом обязательно подставь его обратно в $f$The answer is a value: find $x_0$, then substitute it back into $f$
Промежуток открыт или уходит в бесконечностьThe interval is open or extends to infinity	Концы не подставляются: оцени, куда функция уходит у края, и сравни с критической точкойDo not substitute endpoints: estimate the boundary behavior and compare it with the critical point
В вопросе стоит слово «локальный»The question says “local”	Нужен именно тип критической точки — смена знака $f'$ или знак $f''$; концы промежутка тут ни при чёмYou must classify the critical point using a sign change in $f'$ or the sign of $f''$; endpoints are irrelevant here
Критических точек оказалось больше однойThere is more than one critical point	Не выбирай наугад: посчитай $f''$ в каждой или выпиши знаки $f'$ на промежутках между нимиDo not guess: compute $f''$ at each or make a sign chart for $f'$ between them
Слово «касается», точка касания не данаThe word “tangent” appears and the contact point is unknown	Пиши два уравнения сразу: $f(x_0) = kx_0 + b$ и $f'(x_0) = k$; начинай с того, куда не входит параметрWrite $f(x_0)=kx_0+b$ and $f'(x_0)=k$ immediately; start with the equation that does not contain the parameter
Переменная стоит и в основании, и в показателеThe variable appears in both base and exponent	Логарифмируй: $\ln y = v\ln u$, дифференцируй обе части, потом умножь на $y$Take logs: $\ln y=v\ln u$, differentiate both sides, then multiply by $y$
Аргумент целый — люди, билеты, попыткиThe argument is an integer—people, tickets, attempts	Производную нулю не приравнивай: найди непрерывный максимум как указатель места и проверь целых соседейDo not set the derivative to zero: use the continuous maximum as a location marker and check neighboring integers
В формуле стоит $\min(k,c)$ или $\max(k,c)$The formula contains $\min(k,c)$ or $\max(k,c)$	Это излом: правее $c$ одно слагаемое замерло, другое растёт, значит дальше только хуже — перебирай слева от изломаThis is a corner: to the right of $c$, one term is fixed and the other grows, so it only gets worse—check values to the left of the corner

эталонная задача

Две критические точки: выбрать нужную и довести до числаTwo critical points: choose the right one and finish with the value

Условие. Найдите значение локального минимума функции $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$.

Смотри не на арифметику, а на то, какое решение принимается на каждом шаге: ровно эта последовательность решений закрывает разминку w0504, мост b0502 и финал y0502.

Шаг 1. Решить, что именно спрашивают. Спрашивают значение функции, а не точку, в которой оно достигается, и спрашивают именно локальный минимум. Оба слова помечаем на полях до всякого счёта: на этом шаге теряется больше баллов, чем на всех остальных вместе.

Шаг 2. Решить, где могут лежать кандидаты. Промежуток не задан — функция рассматривается на всей прямой, значит концов, в которые можно подставить число, нет вовсе. Единственные кандидаты — критические точки, и различать их придётся типом. Здесь сошлись сразу все три случая из урока, когда анализ типа обязателен: концов нет, в вопросе стоит слово «локальный», и критических точек будет больше одной.

Шаг 3. Найти критические точки.

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x - 3)(x + 1)$$

Раскладывать на множители, а не гнать через дискриминант: разложение сразу даёт и корни, и знаки на промежутках. Критических точек две — $x = -1$ и $x = 3$, — и вопрос про одну из них.

Шаг 4. Решить, каким способом различать тип. Способа два, и выбор практический. Здесь $f$ — многочлен, вторая производная считается в одну строку, поэтому берём её:

$$f''(x) = 6x - 6$$

$f''(-1) = -12 < 0$ — выпуклость вверх, локальный максимум. $f''(3) = 12 > 0$ — выпуклость вниз, локальный минимум. Это и есть нужная точка.

Таблица знаков $f'$ дала бы то же самое, но длиннее. Она незаменима в другом случае — когда $f''$ в критической точке сама обращается в ноль и потому не сообщает ничего.

Шаг 5. Подставить обратно и записать число.

$$f(3) = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$$

В ответ идёт $-22$, а не тройка.

Шаг 6. Проверить правдоподобие вторым способом. Знаки $f' = 3(x-3)(x+1)$: плюс на $(-\infty;-1)$, минус на $(-1;\,3)$, плюс на $(3;+\infty)$ — рост, спад, рост. Значит слева стоит максимум, справа минимум, как и сказала $f''$. Числовая сверка по соседям: $f(2) = -17$ и $f(4) = -15$, оба больше $-22$, — значит в тройке действительно яма. Картина сошлась, ошибки в арифметике нет.

Алгоритм

Прочитай вопрос и запиши на полях, чего от тебя хотят: значение, точку или тип.
Приравняй $f'$ нулю и выпиши все критические точки; если промежуток задан, отбрось те, что вне его, и добавь к списку концы, а у открытого промежутка — оценку поведения у края.
Определяй тип тогда и только тогда, когда сравнивать числа не с чем: кандидатов больше одного, концов нет или спрошено «локальный».
Тип бери знаком $f''$, если она считается в одну строку; таблицей знаков $f'$, если $f''$ в точке обращается в ноль.
Подставь выбранную точку обратно в $f$ и выпиши в ответ число из последней строки, а не аргумент.

Problem. Find the value of the local minimum of $f(x)=x^3-3x^2-9x+5$.

Focus not on arithmetic, but on the decision at each step: this exact sequence solves warm-up w0504, bridge b0502, and final y0502.

Step 1. Decide what is being asked. The question asks for the value of the function, not the point where it is attained, and specifically for the local minimum. Mark both words in the margin before any calculation; more points are lost here than anywhere else combined.

Step 2. Decide where candidates can lie. No interval is given—the function is considered on the whole real line—so there are no endpoints to substitute. The only candidates are critical points, and we must classify them. All three situations from the lesson that require classification occur at once: there are no endpoints, the question says “local,” and there will be more than one critical point.

Step 3. Find the critical points.

$$f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$$

Factor rather than use the discriminant: factoring gives both roots and the signs on the intervals. There are two critical points, $x=-1$ and $x=3$, and the question asks about one of them.

Step 4. Choose how to classify them. There are two methods, and the choice is practical. Here $f$ is a polynomial and the second derivative takes one line, so use it:

$$f''(x)=6x-6$$

$f''(-1)=-12<0$ means concave down and a local maximum. $f''(3)=12>0$ means concave up and a local minimum. This is the required point.

A sign chart for $f'$ gives the same result but takes longer. It is indispensable when $f''$ itself is zero at a critical point and therefore says nothing.

Step 5. Substitute back and write the number.

$$f(3)=27-27-27+5=-22$$

The answer is $-22$, not 3.

Step 6. Check plausibility by a second method. The signs of $f'=3(x-3)(x+1)$ are positive on $(-\infty,-1)$, negative on $(-1,3)$, and positive on $(3,+\infty)$: increase, decrease, increase. Thus the left point is a maximum and the right point a minimum, exactly as $f''$ said. Nearby values confirm it: $f(2)=-17$ and $f(4)=-15$, both greater than $-22$, so $x=3$ is indeed a valley. The picture agrees and the arithmetic is sound.

Algorithm

Read the question and write in the margin whether it asks for a value, a point, or a type.
Set $f'=0$ and list all critical points. If an interval is given, discard points outside it and add its endpoints; on an open interval, write a boundary-behavior estimate instead.
Classify a point exactly when there is nothing else to compare: more than one candidate, no endpoints, or the word “local.”
Use the sign of $f''$ when it is a one-line calculation; use a sign chart for $f'$ when $f''$ is zero at the point.
Substitute the selected point back into $f$ and write the number from the final line, not the argument.

Дополнительные материалы

Другие объяснения и материалы по теме. Используй их, если основного урока недостаточно.

видео3Blue1Brown · The paradox of the derivative3Blue1Brown · The paradox of the derivative EN

Из плейлиста Essence of Calculus. Лучшее объяснение того, что такое производная. Смотреть, если после урока смысл определения всё ещё не лёгFrom the Essence of Calculus playlist; an excellent explanation of what a derivative means. Watch if the definition still feels abstract after the lesson.

видео3Blue1Brown · Visualizing the chain rule and product rule3Blue1Brown · Visualizing the chain rule and product rule EN

Почему $(uv)' = u'v + uv'$, показано площадями прямоугольника. После этого правило невозможно забыть, а вместе с ним уходят ошибки второго типаAreas of a rectangle explain why $(uv)'=u'v+uv'$. After this, the rule is hard to forget and Type 2 errors become rarer.

текстPaul's Online Notes · Applications of DerivativesPaul's Online Notes · Applications of Derivatives EN

Критические точки, минимумы и максимумы, оптимизация — сотни однотипных примеров с полными решениями. Брать, если не хватает техники, а не пониманияCritical points, minima and maxima, and optimization, with hundreds of worked examples. Use it when the missing piece is technique, not understanding.

интерактивDesmos · графический калькуляторDesmos · graphing calculator —

Введи $x^2e^{-x}$ и $x^{1/x}$ рядом с их производными, подвигай точку. Полчаса игры дают ту интуицию про экстремумы, которую текст не даётEnter $x^2e^{-x}$ and $x^{1/x}$ beside their derivatives and move the point. Half an hour of exploration builds the intuition about extrema that text alone cannot provide.

как работать сегодня

Задачи дня выстроены в лестницу из четырёх ступеней, и идти по ним надо по порядку: каждая следующая ступень пользуется тем, что отработано на предыдущей.

Полный объём — 16 задач. Всё, что есть на странице, включая ступень ШАД. Это план на день, который идёт хорошо и оставляет на задачи полтора часа.

Минимум — 10 задач. b0502, b0503, b0504, b0505, b0506, b0507, y0501, y0502, y0503, y0504 — вся база, кроме b0501, и все четыре финала уровня YMLS. Разминка w0501–w0504 в этот счёт не входит, но не выбрасывается: она устная, по полминуты на задачу, и делается сразу после урока. На ней стоит контраст дня — w0501 спрашивает значение функции, w0504 спрашивает абсциссу точки, и путать эти два вопроса нельзя.

Обязательные — 5 задач. b0502, b0503, b0504, b0506, b0507. Каждая — мост ровно к одному финалу: b0502 к y0502, b0503 к y0501, b0504 к y0504, b0506 к мини-тесту y0503, b0507 к s0501. Пропустить любую значит прийти к финалу без инструмента. Если день сорвался и осталось сорок минут — делаются эти пять и мини-тест, остальное переносится.

Как проверить, что лестница пройдена. У каждого приёма, на котором стоит финал, есть три ступени, и идти надо всеми тремя подряд:

приём	ступень 1–2	мост, ступень 3	финал, ступень 4
одна критическая точка до значения	`w0501`	`b0503`	`y0501`
выбор из двух критических точек по $f''$	`w0504`	`b0502`	`y0502`
касание как система	`w0503`	`b0504`	`y0504`
логарифмическое дифференцирование	`b0505`	`b0506`	`y0503`
целочисленный экстремум	`w0502`	`b0507`	`s0501`

Если финал не пошёл, спускайся по своей строке влево, а не начинай тему заново.

Задача b0501 в минимум не входит и мостом ни к чему не служит: счёт по определению сегодня ни в одном финале не нужен. Она стоит здесь по другой причине: формулировка «пользуясь только определением» закрывает таблицу целиком, и без отработанного приёма такая задача теряется вся. Час на неё дешевле потерянной задачи на экзамене.

Обязательное упражнение дня — дриль на определение, 30 минут. Выведи из определения, не подглядывая в таблицу:

$(x^3)'$ — раскрытием скобок
$\left(\frac{1}{x}\right)'$ — общим знаменателем
$(\sqrt{x})'$ — сопряжённым
$\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)'$ — общим знаменателем
$(\sqrt{2x-1})'$ — сопряжённым вместе с константой внутри

Каждый результат сверяй с таблицей: расхождение ловится за пять секунд и показывает, где именно сломалась техника.

Формат ответа

Числовые ответы дня вводятся с четырьмя знаками после запятой, точка как разделитель. Целочисленные ответы у десяти задач: w0501–w0504, b0504, b0505, b0507, y0501, y0502, s0501 — там дробную часть писать не надо. С четырьмя знаками вводятся остальные шесть: b0501, b0502, b0503, b0506, y0503, y0504.

Про задачу s0501

Она стоит на ступени ШАД, взята с экзамена ШАД дословно и в минимум не входит. Вынести из неё надо ровно один приём — «отсеки рассуждением, доперебирай руками», — и он же отработан на мосте b0507. Если после b0507 финал не пошёл, дело не в производных, а в чтении условия: перечитай, что стоит под знаком $\min$.

Today’s problems form a four-level ladder; work through them in order because each level uses the previous one.

Full workload: 16 problems. Everything on the page, including SHAD. This is a good-day plan and leaves an hour and a half for problems.

Minimum: 10 problems. b0502, b0503, b0504, b0505, b0506, b0507, y0501, y0502, y0503, y0504—all the base problems except b0501, and all four YMLS finals. Warm-ups w0501–w0504 are not included, but do not discard them: they are oral, half a minute each, and should be done immediately after the lesson. They establish today’s contrast: w0501 asks for a function value, while w0504 asks for the x-coordinate; those questions must not be confused.

Required: 5 problems. b0502, b0503, b0504, b0506, and b0507. Each is a bridge to exactly one final: b0502 to y0502, b0503 to y0501, b0504 to y0504, b0506 to mini-test y0503, and b0507 to s0501. Skipping one means reaching its final without the tool. If the day goes badly and forty minutes remain, do these five and the mini-test; postpone the rest.

How to check that the ladder is complete. Every technique supporting a final has three levels, and you must take all three in sequence:

Technique	Levels 1–2	Bridge, level 3	Final, level 4
One critical point through to the value	`w0501`	`b0503`	`y0501`
Choose between two critical points with $f''$	`w0504`	`b0502`	`y0502`
Tangency as a system	`w0503`	`b0504`	`y0504`
Logarithmic differentiation	`b0505`	`b0506`	`y0503`
Integer extremum	`w0502`	`b0507`	`s0501`

If a final does not go, move left along its row instead of restarting the topic.

Problem b0501 is not in the minimum and is not a bridge to anything: definition-based differentiation is not needed in a final today. It is here for another reason: the phrase “using only the definition” closes the table entirely, and without this technique such a problem is lost in full. An hour spent on it is cheaper than a lost exam problem.

Required definition drill—30 minutes. Derive from the definition, without looking at the table:

$(x^3)'$—by expanding brackets
$\left(\frac1x\right)'$—using a common denominator
$(\sqrt{x})'$—using the conjugate
$\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)'$—using a common denominator
$(\sqrt{2x-1})'$—using the conjugate, including the inner constant

Check each result against the table: a discrepancy is caught in five seconds and shows exactly where the technique failed.

Answer format

Enter numerical answers with four digits after the decimal point, using a period. Integer-answer problems are w0501–w0504, b0504, b0505, b0507, y0501, y0502, and s0501; do not add a decimal part there. Enter four decimal places for the other six: b0501, b0502, b0503, b0506, y0503, and y0504.

About s0501

It is a SHAD-level problem taken directly from a SHAD exam and is not part of the minimum. Extract exactly one technique from it—“cut off the tail by reasoning, then check by hand”—which is also practiced in bridge b0507. If the final still fails after b0507, the issue is not derivatives but reading the condition: reread what appears under the $\min$ sign.

полный объём

минимум

обязательные

Полный объём — все задачи ниже. Минимум — если день сорвался и часа осталось два. Обязательные — мосты к финальной задаче, они не пропускаются никогда.

Разминка

решено 4 из 4

Устно, за полминуты. Проверяет, что определение понято, а не выучено.

W0501Разминкаступень 1Матанализ✓разминка

Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x^2 - 6x + 11$. В ответе укажите само значение функции, а не точку, в которой оно достигается.

Find the minimum value of the function $f(x) = x^2 - 6x + 11$. In your answer, give the value of the function itself, not the point at which it is attained.

ответверно

Подсказка / Hint

Приравняй производную нулю, а потом обязательно подставь найденную точку обратно в $f$.

Set the derivative equal to zero, and then be sure to substitute the point you find back into $f$.

Решение / Solution

$f'(x) = 2x - 6$, ноль при $x = 3$.

Слева от тройки производная отрицательна, справа положительна: смена знака с минуса на плюс — это минимум.

Подставляем точку обратно в саму функцию:

$$f(3) = 9 - 18 + 11 = 2$$

Что именно спрашивают

Тройка — это где, двойка — это сколько. Половина потерянных баллов в теме устроена так: производная посчитана верно, критическая точка найдена верно, а в бланк ушла она сама вместо значения функции в ней.

Школьная сверка без производной: $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$, и квадрат не бывает отрицательным. Тот же ответ вторым способом.

$f'(x) = 2x - 6$, which is zero at $x = 3$.

To the left of $3$, the derivative is negative; to the right, it is positive. A change from negative to positive means that this is a minimum.

Substitute the point back into the original function:

$$f(3) = 9 - 18 + 11 = 2$$

What exactly is being asked

Three tells us where the minimum occurs; two tells us what its value is. Many points are lost in this topic in exactly the same way: the derivative is calculated correctly and the critical point is found correctly, but the point itself is entered on the answer sheet instead of the value of the function there.

A school-level check without derivatives: $x^2 - 6x + 11 = (x - 3)^2 + 2$, and a square cannot be negative. This gives the same answer by a second method.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W0502Разминкаступень 1Матанализ✓разминка

Число $n$ — целое, $n \ge 1$. Найдите наибольшее возможное значение произведения $n(13 - n)$. В ответе укажите само произведение.

The number $n$ is an integer, $n \ge 1$. Find the greatest possible value of the product $n(13 - n)$. In your answer, give the product itself.

ответверно

Подсказка / Hint

Вершина параболы приходится не на целую точку. Проверь обоих ближайших целых соседей.

The vertex of the parabola does not occur at an integer point. Check the two nearest integers on either side.

Решение / Solution

Сначала забудем про целочисленность. Для непрерывной переменной $t$ функция $g(t) = t(13 - t) = 13t - t^2$ имеет $g'(t) = 13 - 2t$, и ноль при $t = 6.5$.

Целого числа в этой точке нет, поэтому смотрим двух ближайших соседей:

$$6 \cdot 7 = 42, \qquad 7 \cdot 6 = 42$$

Дальше от вершины парабола только убывает, так что проверять $n = 5$ и $n = 8$ не нужно (для спокойствия: $5 \cdot 8 = 40$).

Наибольшее значение равно $42$.

Что делает целочисленность

Условие $g'(t) = 0$ для целой переменной бессмысленно: между соседними значениями $n$ функция вообще не определена. Непрерывная версия работает только как указатель места: она говорит, около какого $t$ искать, а решают уже соседние целые точки.

First, disregard the integer restriction. For a continuous variable $t$, the function $g(t) = t(13 - t) = 13t - t^2$ has derivative $g'(t) = 13 - 2t$, which is zero at $t = 6.5$.

This point is not an integer, so check its two nearest integer neighbors:

$$6 \cdot 7 = 42, \qquad 7 \cdot 6 = 42$$

Farther from the vertex, the parabola only decreases, so there is no need to check $n = 5$ or $n = 8$ (for reassurance, $5 \cdot 8 = 40$).

The greatest value is $42$.

What the integer restriction changes

The condition $g'(t) = 0$ is meaningless for an integer variable: the function is not even defined between consecutive values of $n$. The continuous version serves only as a guide to the location: it tells us near which value of $t$ to look, after which the neighboring integers determine the answer.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W0503Разминкаступень 1Матанализ✓разминка

При каком значении $c$ горизонтальная прямая $y = c$ касается параболы $y = x^2 - 4x + 11$? Точка касания заранее не известна. В ответе укажите $c$.

For what value of $c$ is the horizontal line $y = c$ tangent to the parabola $y = x^2 - 4x + 11$? The point of tangency is not given. In your answer, give $c$.

ответверно

Подсказка / Hint

Касание — это два условия сразу: совпали наклоны и совпали значения. Наклон прямой здесь известен, а точка касания нет.

Tangency imposes two conditions at once: the slopes must agree and the values must agree. The slope of the line is known here, but the point of tangency is not.

Решение / Solution

Пусть касание происходит в точке с абсциссой $x_0$. Условий два, и неизвестных тоже два — $x_0$ и $c$.

Наклоны совпадают. У горизонтальной прямой наклон равен нулю, у параболы в точке $x_0$ он равен $2x_0 - 4$:

$$2x_0 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x_0 = 2$$

Это уравнение решилось само, потому что параметр $c$ в него не входит. С такого уравнения системы и надо начинать всегда.

Значения совпадают. Точка касания лежит и на параболе, и на прямой:

$$c = 2^2 - 4 \cdot 2 + 11 = 7$$

Проверка вторым способом. Выделим полный квадрат: $x^2 - 4x + 11 = (x-2)^2 + 7 \ge 7$, причём равенство только при $x = 2$. Прямая $y = 7$ достаёт до параболы ровно в одной точке — это и есть касание. Снова $c = 7$.

Касание горизонтальной прямой — это и есть экстремум

Условие $f'(x_0) = 0$, с которого начинается любая задача на экстремум, — это ровно равенство наклонов из системы касания. Поэтому семёрка здесь одновременно и уровень касательной, и наименьшее значение функции: в w0501 тот же по сути вопрос задан словом «наименьшее», здесь — словом «касается».

Suppose the point of tangency has $x$-coordinate $x_0$. There are two conditions and two unknowns: $x_0$ and $c$.

The slopes agree. The horizontal line has slope zero, while the slope of the parabola at $x_0$ is $2x_0 - 4$:

$$2x_0 - 4 = 0 \;\Longrightarrow\; x_0 = 2$$

This equation can be solved on its own because it does not contain the parameter $c$. Whenever possible, begin with an equation of this kind.

The values agree. The point of tangency lies on both the parabola and the line:

$$c = 2^2 - 4 \cdot 2 + 11 = 7$$

Check by a second method. Complete the square: $x^2 - 4x + 11 = (x-2)^2 + 7 \ge 7$, with equality only at $x = 2$. The line $y = 7$ meets the parabola at exactly one point, so it is tangent there. Again, $c = 7$.

A horizontal tangent corresponds precisely to an extremum

The condition $f'(x_0) = 0$, which is the starting point of any extremum problem, is exactly the equal-slope condition in the tangency system. Thus, seven is both the height of the tangent line and the minimum value of the function. In w0501, essentially the same question was phrased using “minimum”; here, it is phrased using “tangent.”

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W0504Разминкаступень 2Матанализ✓разминка

У функции $f(x) = x^3 - 12x + 5$ две критические точки. Определите по знаку второй производной, в какой из них локальный максимум, и укажите в ответе абсциссу этой точки, а не значение функции в ней.

The function $f(x) = x^3 - 12x + 5$ has two critical points. Use the sign of the second derivative to determine which one is a local maximum, and give the $x$-coordinate of that point—not the value of the function there.

ответверно

Подсказка / Hint

Первая производная даёт обе точки, вторая их различает: где $f'' < 0$ — максимум.

The first derivative gives both points; the second distinguishes them: where $f'' < 0$, there is a local maximum.

Решение / Solution

RU$$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$$

Критические точки: $x = -2$ и $x = 2$. Обе попадают в кандидаты, и выбрать нужную можно только по типу — само равенство $f' = 0$ про тип ничего не говорит.

Различаем по второй производной. $f''(x) = 6x$. $f''(-2) = -12 < 0$ — выпуклость вверх, локальный максимум. $f''(2) = 12 > 0$ — выпуклость вниз, локальный минимум.

Значит максимум стоит при $x = -2$.

Сверка знаками первой производной. Множители $(x+2)$ и $(x-2)$ дают плюс на $(-\infty;-2)$, минус на $(-2;\,2)$ и снова плюс на $(2;+\infty)$: рост, спад, рост. Максимум действительно левее, при $x = -2$.

Здесь спрашивают точку

Значение функции в ней равно $f(-2) = -8 + 24 + 5 = 21$, и это не ответ: вопрос был про абсциссу. Пара w0501 — w0504 для того и стоит рядом, чтобы вопрос читался до начала счёта: там просили значение, здесь просят точку.

EN$$f'(x) = 3x^2 - 12 = 3(x - 2)(x + 2)$$

The critical points are $x = -2$ and $x = 2$. Both are candidates, and we must classify them to choose the correct one: the equation $f' = 0$ alone says nothing about their type.

Distinguish them using the second derivative. We have $f''(x) = 6x$. $f''(-2) = -12 < 0$, so the graph is concave down and has a local maximum. $f''(2) = 12 > 0$, so the graph is concave up and has a local minimum.

Therefore, the maximum occurs at $x = -2$.

Check using the signs of the first derivative. The factors $(x+2)$ and $(x-2)$ make $f'$ positive on $(-\infty;-2)$, negative on $(-2;\,2)$, and positive again on $(2;+\infty)$: the function increases, decreases, then increases. The maximum is indeed the left-hand critical point, $x = -2$.

The point is required here

The value of the function there is $f(-2) = -8 + 24 + 5 = 21$, and that is not the answer: the question asks for the $x$-coordinate. The pair w0501–w0504 is arranged deliberately to encourage you to read the question before calculating: there the value was required; here the point is required.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

База

решено 7 из 7

Чистая техника без сюрпризов. Здесь нарабатывается автоматизм.

B0501Базаступень 2Матанализ✓авторская · счёт строго по определению

Пользуясь только определением производной (не таблицей и не правилами), найдите $f'(1)$ для $f(x) = \sqrt{3x + 1}$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

Using only the definition of the derivative (not a derivative table or differentiation rules), find $f'(1)$ for $f(x) = \sqrt{3x + 1}$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Разность корней в числителе — домножай на сопряжённое.

The numerator contains a difference of square roots; multiply by the conjugate.

Решение / Solution

По определению:

$$f'(1) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{3(1+h) + 1} - \sqrt{4}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h}$$

И числитель, и знаменатель стремятся к нулю — сокращать пока нечего. Домножаем числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{4+3h} + 2$:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{(4 + 3h) - 4}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)} = \lim_{h \to 0}\frac{3h}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)}$$

Теперь $h$ сокращается, и неопределённость исчезла:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{3}{\sqrt{4+3h} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac34 = 0.75$$

Сверка с таблицей (на экзамене так решать было нельзя, но проверить себя можно): $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$, при $x = 1$ это $\frac{3}{2 \cdot 2} = 0.75$. Сходится.

Почему эта задача вообще здесь стоит

Формулировка «пользуясь только определением» закрывает таблицу, и без отработанного приёма задача теряется целиком, хотя техника в ней одна на все случаи. Отработай её на трёх функциях — $\sqrt{x}$, $\frac1x$, $\sqrt{ax+b}$ — и этот тип задачи закрыт.

By definition,

$$f'(1) = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{3(1+h) + 1} - \sqrt{4}}{h} = \lim_{h \to 0}\frac{\sqrt{4 + 3h} - 2}{h}$$

Both the numerator and the denominator tend to zero, so there is nothing to cancel yet. Multiply the numerator and denominator by the conjugate $\sqrt{4+3h} + 2$:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{(4 + 3h) - 4}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)} = \lim_{h \to 0}\frac{3h}{h\left(\sqrt{4+3h} + 2\right)}$$

Now $h$ cancels, eliminating the indeterminate form:

$$= \lim_{h \to 0}\frac{3}{\sqrt{4+3h} + 2} = \frac{3}{2 + 2} = \frac34 = 0.75$$

Check using the standard formula (this method was not allowed for the solution, but it is useful as a check): $f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+1}}$, which at $x = 1$ gives $\frac{3}{2 \cdot 2} = 0.75$. The results agree.

Why this problem is included

The instruction “using only the definition” rules out standard derivative formulas. Without a practiced method, the entire problem can be lost even though the same single technique handles every such example. Practice it on three functions—$\sqrt{x}$, $\frac1x$, and $\sqrt{ax+b}$—and you will have mastered this problem type.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0502Базаступень 3обязательнаяМатанализ✓авторская

Найдите значение локального максимума функции $f(x) = (x^2 - 3)e^{x}$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

Find the value of the local maximum of the function $f(x) = (x^2 - 3)e^{x}$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Производная произведения даст две критические точки. Какая из них максимум, скажет вторая производная. В ответ идёт значение функции, а не точка.

The product rule produces two critical points. The second derivative tells you which is the maximum. The answer should be the value of the function, not the point.

Решение / Solution

Производная. Правило произведения с $u = x^2 - 3$, $v = e^x$:

$$f'(x) = 2x\,e^x + (x^2 - 3)e^x = e^x\left(x^2 + 2x - 3\right) = e^x(x + 3)(x - 1)$$

Если вместо правила произведения применить $u'v'$, выйдет $2xe^x$ — это ошибка номер один в теме, и она сразу даёт единственную критическую точку вместо двух.

Множитель $e^x$ положителен всегда, поэтому нули производной дают только скобки: $x = -3$ и $x = 1$. Их две, а спрашивают про одну — значит тип определять обязательно.

Различаем по второй производной. Дифференцируем $f'$ ещё раз, снова по правилу произведения:

$$f''(x) = e^x\left(x^2 + 2x - 3\right) + e^x(2x + 2) = e^x\left(x^2 + 4x - 1\right)$$

$f''(-3) = e^{-3}(9 - 12 - 1) = -4e^{-3} < 0$ — выпуклость вверх, локальный максимум. $f''(1) = e\,(1 + 4 - 1) = 4e > 0$ — выпуклость вниз, локальный минимум.

Значение в точке максимума. Подставляем $x = -3$ обратно в саму функцию:

$$f(-3) = (9 - 3)e^{-3} = \frac{6}{e^3} \approx 0.2987$$

Сверка знаками первой производной. Скобки $(x+3)$ и $(x-1)$ дают плюс на $(-\infty;-3)$, минус на $(-3;\,1)$ и плюс на $(1;+\infty)$: рост, спад, рост. Вторая производная сказала то же самое.

Наибольшего значения у этой функции нет

При $x \to +\infty$ множитель $e^x$ перевешивает всё, и функция растёт неограниченно. Поэтому вопрос «наибольшее значение» здесь был бы бессмысленным, а «локальный максимум» — законный. Ровно та же оговорка работает в финале y0502.

Derivative. Apply the product rule with $u = x^2 - 3$ and $v = e^x$:

$$f'(x) = 2x\,e^x + (x^2 - 3)e^x = e^x\left(x^2 + 2x - 3\right) = e^x(x + 3)(x - 1)$$

Using $u'v'$ in place of the product rule would give $2xe^x$. This is the most common error in this topic, and it immediately produces one critical point instead of two.

The factor $e^x$ is always positive, so only the factors in parentheses can make the derivative zero: $x = -3$ and $x = 1$. There are two points, but the question asks about only one, so they must be classified.

Distinguish them using the second derivative. Differentiate $f'$ once more, again using the product rule:

$$f''(x) = e^x\left(x^2 + 2x - 3\right) + e^x(2x + 2) = e^x\left(x^2 + 4x - 1\right)$$

$f''(-3) = e^{-3}(9 - 12 - 1) = -4e^{-3} < 0$, so the graph is concave down and has a local maximum. $f''(1) = e\,(1 + 4 - 1) = 4e > 0$, so the graph is concave up and has a local minimum.

Value at the maximum point. Substitute $x = -3$ back into the original function:

$$f(-3) = (9 - 3)e^{-3} = \frac{6}{e^3} \approx 0.2987$$

Check using the signs of the first derivative. The factors $(x+3)$ and $(x-1)$ make $f'$ positive on $(-\infty;-3)$, negative on $(-3;\,1)$, and positive on $(1;+\infty)$: the function increases, decreases, then increases. This confirms the second-derivative test.

This function has no greatest value

As $x \to +\infty$, the factor $e^x$ dominates everything else, and the function grows without bound. Thus, asking for the “greatest value” would make no sense here, whereas asking for the “local maximum” is valid. Exactly the same distinction applies in y0502 at the end of the set.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0503Базаступень 3обязательнаяМатанализ✓авторская

Найдите наибольшее значение функции $f(x) = x^2 e^{-x}$ на промежутке $x \ge 0$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

Find the greatest value of the function $f(x) = x^2 e^{-x}$ on the interval $x \ge 0$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Производная произведения, внутри — цепное правило. Кандидатов на ответ трое: левый конец, критическая точка и поведение функции при больших $x$.

Use the product rule, with the chain rule inside it. There are three kinds of candidates: the left endpoint, a critical point, and the behavior of the function for large $x$.

Решение / Solution

Производная. Правило произведения, и внутри второго множителя цепное правило $\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}$:

$$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 \cdot \left(-e^{-x}\right) = x(2 - x)\,e^{-x}$$

Знак. Множитель $e^{-x}$ положителен всегда, поэтому знак производной совпадает со знаком $x(2-x)$: на промежутке $(0;\,2)$ он положителен, при $x > 2$ отрицателен. Значит функция растёт до двойки и убывает после — смена знака с плюса на минус, это максимум.

Кандидаты и сравнение. Левый конец даёт $f(0) = 0$. При $x \to +\infty$ отношение $\frac{x^2}{e^x}$ стремится к нулю, то есть функция прижимается к нулю и там. Остаётся критическая точка:

$$f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.5413$$

Это и есть наибольшее значение. В ответ идёт $0.5413$, а не двойка.

Три места, где может стоять экстремум

Внутренняя критическая точка, конец промежутка, точка, где производной нет. Здесь производная существует везде, конец один, критическая точка одна — но перебирать все три позиции надо всегда, иначе ответ окажется не тем.

Derivative. Apply the product rule and, within the second factor, the chain rule $\left(e^{-x}\right)' = -e^{-x}$:

$$f'(x) = 2x e^{-x} + x^2 \cdot \left(-e^{-x}\right) = x(2 - x)\,e^{-x}$$

Sign. The factor $e^{-x}$ is always positive, so the sign of the derivative is the sign of $x(2-x)$. It is positive on $(0;\,2)$ and negative for $x > 2$. Thus, the function increases up to $2$ and decreases afterward. This change from positive to negative means that the point is a maximum.

Candidates and comparison. The left endpoint gives $f(0) = 0$. As $x \to +\infty$, the ratio $\frac{x^2}{e^x}$ tends to zero, so the function approaches zero there as well. This leaves the critical point:

$$f(2) = 4e^{-2} = \frac{4}{e^2} \approx 0.5413$$

This is the greatest value. The answer is $0.5413$, not two.

Three places where an extremum may occur

An interior critical point, an endpoint of the interval, or a point where the derivative does not exist. Here the derivative exists everywhere, there is one endpoint, and there is one critical point—but you should always consider all three possibilities, or you may select the wrong answer.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0504Базаступень 3обязательнаяМатанализ✓авторская

При каком значении $b$ прямая $y = 2x + b$ касается параболы $y = x^2$? Точка касания заранее не известна.

For what value of $b$ is the line $y = 2x + b$ tangent to the parabola $y = x^2$? The point of tangency is not given.

ответверно

Подсказка / Hint

Касание — это два условия сразу: совпали значения и совпали наклоны. Неизвестных тоже два: $b$ и абсцисса точки касания.

Tangency imposes two conditions at once: the values agree and the slopes agree. There are also two unknowns: $b$ and the $x$-coordinate of the point of tangency.

Решение / Solution

Пусть касание происходит в точке с абсциссой $x_0$. Выполняются два условия.

Значения совпадают (точка лежит и на параболе, и на прямой):

$$x_0^2 = 2x_0 + b$$

Наклоны совпадают (прямая касается, а не пересекает). Наклон параболы в точке $x_0$ равен $2x_0$, наклон прямой равен $2$:

$$2x_0 = 2 \;\Longrightarrow\; x_0 = 1$$

Второе уравнение решилось само, потому что в нём нет $b$. Подставляем $x_0 = 1$ в первое: $1 = 2 + b$, откуда

$$b = -1$$

Проверка вторым способом. Касание прямой и параболы означает, что уравнение $x^2 = 2x + b$, то есть $x^2 - 2x - b = 0$, имеет ровно один корень: $D = 4 + 4b = 0$, снова $b = -1$. Два независимых пути к одному числу.

Одного равенства значений мало

Если написать только $x_0^2 = 2x_0 + b$, получится условие пересечения, а не касания, и решений будет бесконечно много. Слово «касается» добавляет второе уравнение — про производные, — и именно оно делает систему разрешимой.

Suppose the point of tangency has $x$-coordinate $x_0$. Two conditions must hold.

The values agree (the point lies on both the parabola and the line):

$$x_0^2 = 2x_0 + b$$

The slopes agree (the line is tangent rather than merely intersecting the parabola). The slope of the parabola at $x_0$ is $2x_0$, and the slope of the line is $2$:

$$2x_0 = 2 \;\Longrightarrow\; x_0 = 1$$

The second equation can be solved on its own because it does not contain $b$. Substitute $x_0 = 1$ into the first equation: $1 = 2 + b$, and hence

$$b = -1$$

Check by a second method. Tangency of the line and the parabola means that the equation $x^2 = 2x + b$, or $x^2 - 2x - b = 0$, has exactly one root. Therefore, $D = 4 + 4b = 0$, giving $b = -1$ again. Two independent methods lead to the same value.

Equality of values alone is not enough

Writing only $x_0^2 = 2x_0 + b$ gives a condition for intersection, not tangency, and there would be infinitely many solutions. The word “tangent” adds a second equation— the derivative condition—and that is what makes the system solvable.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0505Базаступень 2минимумМатанализ✓авторская

Найдите $f'(1)$ для $f(x) = x^{x}$, рассматриваемой при $x > 0$.

Find $f'(1)$ for $f(x) = x^{x}$, defined for $x > 0$.

ответверно

Подсказка / Hint

Ни правило степени, ни правило показательной функции по отдельности не подходят: переменная стоит и в основании, и в показателе. Логарифмируй обе части.

Neither the power rule nor the exponential-function rule applies on its own: the variable appears in both the base and the exponent. Take the logarithm of both sides.

Решение / Solution

Логарифмируем: $\ln f = x \ln x$.

Дифференцируем обе части по $x$. Слева по цепному правилу получается $\dfrac{f'}{f}$, справа по правилу произведения:

$$(x\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac1x = \ln x + 1$$

Значит

$$\frac{f'}{f} = \ln x + 1 \;\Longrightarrow\; f'(x) = x^x(\ln x + 1)$$

При $x = 1$: $f'(1) = 1^1 \cdot (\ln 1 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$.

Проверка вторым способом. Запишем степень через экспоненту: $x^x = e^{x\ln x}$. Тогда по цепному правилу $f' = e^{x\ln x}\cdot(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$ — то же самое.

Признак, по которому узнавать этот тип

Переменная и в основании, и в показателе — логарифмируй. Другого рабочего приёма нет, и он же выручит завтра в пределах вида $1^{\infty}$.

Take logarithms: $\ln f = x \ln x$.

Differentiate both sides with respect to $x$. The chain rule gives $\dfrac{f'}{f}$ on the left, while the product rule gives on the right:

$$(x\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac1x = \ln x + 1$$

Therefore,

$$\frac{f'}{f} = \ln x + 1 \;\Longrightarrow\; f'(x) = x^x(\ln x + 1)$$

At $x = 1$, we have $f'(1) = 1^1 \cdot (\ln 1 + 1) = 1 \cdot 1 = 1$.

Check by a second method. Rewrite the power using the exponential function: $x^x = e^{x\ln x}$. The chain rule then gives $f' = e^{x\ln x}\cdot(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$, the same result.

How to recognize this problem type

If the variable appears in both the base and the exponent, take logarithms. No other standard technique works, and the same method will help with limits of the form $1^{\infty}$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0506Базаступень 3обязательнаяМатанализ✓авторская

Найдите наибольшее значение функции $f(x) = x^{1/x}$ при $x > 0$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

Find the greatest value of the function $f(x) = x^{1/x}$ for $x > 0$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Сначала логарифмируй, потом это обычная задача на экстремум. Промежуток открыт с обеих сторон, поэтому концы придётся не подставлять, а оценивать.

Take logarithms first; after that, this is an ordinary extremum problem. The interval is open at both ends, so you must examine limiting behavior rather than substitute endpoints.

Решение / Solution

Логарифмируем: $\ln f = \dfrac{\ln x}{x}$.

Дифференцируем обе части. Слева $\dfrac{f'}{f}$, справа по правилу частного:

$$\left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac1x \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

Знак. Величины $f = x^{1/x}$ и $x^2$ положительны, поэтому знак $f'$ совпадает со знаком $1 - \ln x$: при $x < e$ он положителен, при $x > e$ отрицателен. Смена знака с плюса на минус — максимум в точке $x = e$.

Значение:

$$f(e) = e^{1/e} \approx 1.4447$$

Концы промежутка. Их нельзя подставить, но можно оценить. При $x \to 0^{+}$ показатель $\frac1x$ уходит в $+\infty$, а основание меньше единицы, поэтому $f \to 0$. При $x \to +\infty$ дробь $\frac{\ln x}{x}$ стремится к нулю, значит $f \to 1$. Оба края меньше $1.4447$, так что найденный максимум — глобальный.

Проверка здравым смыслом

$\sqrt{2} \approx 1.4142$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.4422$, $\sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \approx 1.4142$. Максимум действительно где-то между двойкой и тройкой — там, где стоит $e \approx 2.718$.

Take logarithms: $\ln f = \dfrac{\ln x}{x}$.

Differentiate both sides. The left-hand side gives $\dfrac{f'}{f}$, while the quotient rule gives on the right:

$$\left(\frac{\ln x}{x}\right)' = \frac{\frac1x \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$

Sign. Both $f = x^{1/x}$ and $x^2$ are positive, so the sign of $f'$ is the sign of $1 - \ln x$: it is positive for $x < e$ and negative for $x > e$. The change from positive to negative gives a maximum at $x = e$.

Value:

$$f(e) = e^{1/e} \approx 1.4447$$

Ends of the interval. They cannot be substituted, but their limiting behavior can be examined. As $x \to 0^{+}$, the exponent $\frac1x$ tends to $+\infty$ while the base is less than one, so $f \to 0$. As $x \to +\infty$, the ratio $\frac{\ln x}{x}$ tends to zero, and hence $f \to 1$. Both limiting values are less than $1.4447$, so the maximum found above is global.

A common-sense check

$\sqrt{2} \approx 1.4142$, $\sqrt[3]{3} \approx 1.4422$, and $\sqrt[4]{4} = \sqrt{2} \approx 1.4142$. The maximum really does lie somewhere between two and three—precisely at $e \approx 2.718$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B0507Базаступень 3обязательнаяМатанализ✓авторская

Бригада из $k$ человек убирает поле за день; $k$ — целое, $k \ge 1$. Доля убранного поля равна $\dfrac{\min(k,\,6)}{8}$: больше шести человек на поле не помещаются, и седьмой уже ничего не добавляет. Издержки бригады равны $\dfrac{k^2}{60}$. Прибыль — это разность доли убранного и издержек. При каком $k$ прибыль наибольшая? В ответе укажите $k$.

A crew of $k$ people can work on clearing a field for one day, where $k$ is an integer and $k \ge 1$. The fraction of the field cleared is $\dfrac{\min(k,\,6)}{8}$: no more than six people can fit in the field, so a seventh person contributes nothing further. The crew's cost is $\dfrac{k^2}{60}$. Profit is defined as the fraction cleared minus the cost. For what value of $k$ is the profit greatest? In your answer, give $k$.

ответверно

Подсказка / Hint

Производную по целому $k$ приравнивать нулю бессмысленно. Сначала одним рассуждением о монотонности отсеки бесконечный хвост, потом перебери то, что осталось.

It is meaningless to set a derivative with respect to the integer $k$ equal to zero. First use a monotonicity argument to eliminate the infinite tail, then check the remaining values directly.

Решение / Solution

Максимизируем

$$S(k) = \frac{\min(k,\,6)}{8} - \frac{k^2}{60}$$

Отсечение хвоста. При $k \ge 6$ первое слагаемое замерло на значении $\frac68 = 0.75$, а вычитаемое $\frac{k^2}{60}$ продолжает расти. Значит на всём промежутке $k \ge 6$ функция $S$ убывает, и максимум может стоять только среди $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Бесконечный перебор превратился в шесть значений.

$k$	доля убранного	издержки	$S(k)$
1	0.1250	0.0167	0.1083
2	0.2500	0.0667	0.1833
3	0.3750	0.1500	0.2250
4	0.5000	0.2667	0.2333
5	0.6250	0.4167	0.2083
6	0.7500	0.6000	0.1500

Наибольшая прибыль при $k = 4$.

Проверка вторым способом. Уберём ограничение $\min$ и посмотрим на непрерывную функцию $\frac{t}{8} - \frac{t^2}{60}$. Её производная $\frac18 - \frac{t}{30}$ обращается в ноль при $t = 3.75$ — как раз между тройкой и четвёркой, и именно эти два целых значения дали два лучших результата в таблице.

Приём «отсеки рассуждением, доперебирай руками»

Целая переменная — сигнал, что производная не даёт условия экстремума. Схема другая: одним рассуждением о монотонности сузить область до нескольких значений, потом честно посчитать их в таблице. Ровно так устроена финальная задача дня s0501.

We maximize

$$S(k) = \frac{\min(k,\,6)}{8} - \frac{k^2}{60}$$

Eliminating the tail. For $k \ge 6$, the first term remains fixed at $\frac68 = 0.75$, while the subtracted term $\frac{k^2}{60}$ continues to grow. Thus, $S$ decreases throughout $k \ge 6$, and the maximum can occur only among $k = 1, 2, 3, 4, 5, 6$. An infinite search has been reduced to six values.

$k$	fraction cleared	cost	$S(k)$
1	0.1250	0.0167	0.1083
2	0.2500	0.0667	0.1833
3	0.3750	0.1500	0.2250
4	0.5000	0.2667	0.2333
5	0.6250	0.4167	0.2083
6	0.7500	0.6000	0.1500

The profit is greatest when $k = 4$.

Check by a second method. Remove the $\min$ restriction and consider the continuous function $\frac{t}{8} - \frac{t^2}{60}$. Its derivative $\frac18 - \frac{t}{30}$ is zero at $t = 3.75$, which lies between three and four. Those are precisely the two integer values that gave the best results in the table.

“Reason first, then finish by enumeration”

An integer variable signals that a derivative does not provide an extremum condition. The strategy is different: use a monotonicity argument to reduce the domain to a few values, then calculate those values explicitly in a table. The final problem of the day, s0501, has exactly the same structure.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Уровень YMLS

решено 3 из 3

Целевая сложность вступительного экзамена. Ответ — число.

Y0501Уровень YMLSступень 4минимумМатанализ✓уровень YMLS

Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ при $x > 0$. В ответе укажите само значение функции.

Find the minimum value of the function $f(x) = x + \dfrac{4}{x}$ for $x > 0$. In your answer, give the value of the function itself.

ответверно

Подсказка / Hint

Приравняй производную нулю. Проверь, что найденная точка — минимум, а не максимум, и не забудь оценить края открытого промежутка.

Set the derivative equal to zero. Check that the point you find is a minimum rather than a maximum, and remember to examine the ends of the open interval.

Решение / Solution

RU$$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$$

Приравниваем нулю: $\frac{4}{x^2} = 1$, то есть $x^2 = 4$. Условие $x > 0$ оставляет единственный корень $x = 2$.

Тип точки. При $0 < x < 2$ имеем $\frac{4}{x^2} > 1$, значит $f' < 0$ и функция убывает; при $x > 2$ производная положительна и функция растёт. Смена знака с минуса на плюс — минимум.

Края промежутка. Он открыт с обеих сторон, поэтому подставлять нечего, но оценить нужно: при $x \to 0^{+}$ слагаемое $\frac4x$ уходит в $+\infty$, при $x \to +\infty$ в бесконечность уходит само $x$. На обоих краях функция больше любого числа, значит найденный минимум глобальный.

$$f(2) = 2 + \frac42 = 4$$

В ответ идёт четвёрка, а не двойка.

Проверка другим способом

По неравенству о средних $x + \frac4x \ge 2\sqrt{x \cdot \frac4x} = 4$, причём равенство достигается при $x = \frac4x$, то есть при $x = 2$. Тот же ответ без всякой производной — хорошая сверка за десять секунд.

EN$$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2}$$

Set this equal to zero: $\frac{4}{x^2} = 1$, so $x^2 = 4$. The condition $x > 0$ leaves only the root $x = 2$.

Type of the critical point. For $0 < x < 2$, we have $\frac{4}{x^2} > 1$, so $f' < 0$ and the function decreases. For $x > 2$, the derivative is positive and the function increases. The change from negative to positive gives a minimum.

Ends of the interval. The interval is open at both ends, so there are no endpoints to substitute, but their limiting behavior must still be examined. As $x \to 0^{+}$, the term $\frac4x$ tends to $+\infty$; as $x \to +\infty$, the term $x$ itself tends to infinity. At both ends, the function eventually exceeds any given number, so the minimum found above is global.

$$f(2) = 2 + \frac42 = 4$$

The answer is four, not two.

Check by another method

By the AM–GM inequality, $x + \frac4x \ge 2\sqrt{x \cdot \frac4x} = 4$, with equality when $x = \frac4x$, or $x = 2$. This gives the same answer without using a derivative—a useful ten-second check.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0502Уровень YMLSступень 4минимумМатанализ✓уровень YMLS

Найдите значение локального максимума функции $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. В ответе укажите значение функции в точке максимума.

Find the value of the local maximum of the function $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$. In your answer, give the value of the function at the maximum point.

ответверно

Подсказка / Hint

Тот же ход, что в w0504 и b0502: первая производная даёт обе критические точки, вторая различает их по знаку. Отличие одно — в ответ идёт значение, а не абсцисса.

Use the same approach as in w0504 and b0502: the first derivative gives both critical points, and the sign of the second derivative distinguishes them. The only difference is that the answer here is the value, not the $x$-coordinate.

Решение / Solution

RU$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$$

Критические точки: $x = 1$ и $x = 3$. Их две, и вопрос спрашивает ровно про одну — значит тип определить обязательно.

Различаем. $f''(x) = 6x - 12$. $f''(1) = -6 < 0$ — выпуклость вверх, «горка», локальный максимум. $f''(3) = 6 > 0$ — выпуклость вниз, «чаша», локальный минимум.

То же самое читается по знаку $f'$: множители $(x-1)$ и $(x-3)$ дают плюс на $(-\infty;1)$, минус на $(1;3)$ и снова плюс на $(3;+\infty)$ — рост, спад, рост.

$$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$$

Локальный максимум — не наибольшее значение

Спрашивают именно локальный максимум, и концы промежутка здесь ни при чём: у кубического многочлена значения уходят в $+\infty$, наибольшего значения у него просто нет. Это единственный тип вопроса, где концы можно не смотреть.

EN$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)$$

The critical points are $x = 1$ and $x = 3$. There are two, while the question asks about exactly one, so they must be classified.

Distinguish them. We have $f''(x) = 6x - 12$. $f''(1) = -6 < 0$, so the graph is concave down—a “hill”—and has a local maximum. $f''(3) = 6 > 0$, so the graph is concave up—a “bowl”—and has a local minimum.

The same conclusion follows from the sign of $f'$. The factors $(x-1)$ and $(x-3)$ make $f'$ positive on $(-\infty;1)$, negative on $(1;3)$, and positive again on $(3;+\infty)$: the function increases, decreases, then increases.

$$f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5$$

A local maximum is not a greatest value

The question asks specifically for a local maximum, so the ends of the interval are irrelevant here. A cubic polynomial tends to $+\infty$ in one direction and therefore has no greatest value. This is the one type of question for which there is no need to examine endpoints.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y0504Уровень YMLSступень 4минимумМатанализ✓уровень YMLS

Прямая $y = kx$, проходящая через начало координат, касается графика функции $y = \ln x$. Найдите $k$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

The line $y = kx$, which passes through the origin, is tangent to the graph of $y = \ln x$. Find $k$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

В точке касания совпадают две вещи сразу: значения функций и наклоны. Это система из двух уравнений с двумя неизвестными — как в b0504, только функция другая.

At the point of tangency, two things agree simultaneously: the function values and the slopes. This gives a system of two equations in two unknowns, just as in b0504, but with a different function.

Решение / Solution

Пусть касание происходит в точке $x_0$. Выполняются два условия одновременно.

Значения совпадают (точка лежит на обеих кривых):

$$k x_0 = \ln x_0$$

Наклоны совпадают (прямая касается, а не пересекает):

$$k = (\ln x)'\big|_{x_0} = \frac{1}{x_0}$$

Подставляем второе уравнение в первое:

$$\frac{1}{x_0} \cdot x_0 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; 1 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; x_0 = e$$

Отсюда

$$k = \frac{1}{x_0} = \frac1e \approx 0.3679$$

Проверка. Точка касания $(e,\,1)$ лежит на прямой, потому что $\frac1e \cdot e = 1$, и на логарифме, потому что $\ln e = 1$; наклоны в ней равны $\frac1e$ у обеих кривых.

Геометрический смысл ответа

$y = x/e$ — единственная прямая через начало координат, которая касается логарифма, а не пересекает его. Число корней уравнения $kx = \ln x$ читается по наклону так: при $0 < k < \frac1e$ корней два, при $k = \frac1e$ ровно один (это и есть касание), при $k > \frac1e$ ни одного. При $k \le 0$ корень тоже ровно один, но по другой причине: функция $kx - \ln x$ там строго убывает с $+\infty$ до $-\infty$ и пересекает ноль один раз. Двух пересечений вне полосы $0 < k < \frac1e$ не бывает.

Suppose the tangency occurs at $x_0$. Two conditions hold simultaneously.

The values agree (the point lies on both curves):

$$k x_0 = \ln x_0$$

The slopes agree (the line is tangent rather than merely intersecting the curve):

$$k = (\ln x)'\big|_{x_0} = \frac{1}{x_0}$$

Substitute the second equation into the first:

$$\frac{1}{x_0} \cdot x_0 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; 1 = \ln x_0 \;\Longrightarrow\; x_0 = e$$

Hence,

$$k = \frac{1}{x_0} = \frac1e \approx 0.3679$$

Check. The point of tangency $(e,\,1)$ lies on the line because $\frac1e \cdot e = 1$, and on the logarithmic curve because $\ln e = 1$. Both curves have slope $\frac1e$ there.

Geometric meaning of the answer

$y = x/e$ is the unique line through the origin that is tangent to the logarithmic curve rather than crossing it. The number of roots of $kx = \ln x$ can be read from the slope: for $0 < k < \frac1e$, there are two roots; for $k = \frac1e$, there is exactly one (the tangency); and for $k > \frac1e$, there are none. For $k \le 0$, there is also exactly one root, but for a different reason: the function $kx - \ln x$ is then strictly decreasing from $+\infty$ to $-\infty$ and crosses zero once. Two intersections occur only in the range $0 < k < \frac1e$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Уровень ШАД

решено 0 из 1

Выше, чем требуется. Берём только там, где тема реально встречалась на их экзаменах.

S0501Уровень ШАДступень 4МатанализЭкзамен ШАД 2024, задача B «Читеры»

Группа из $k$ друзей вступает в сговор на экзамене; $k$ — целое, $k \ge 1$. Антиплагиат ловит группу из $k$ человек с вероятностью

$$\P(C = k) = \frac{k^2}{100}\,I(0 \le k \le 10) + I(k > 10)$$

где $I$ — индикаторная функция. Доля решённых группой задач распределена равномерно на отрезке

$$\left[\frac{\min(k, 5)}{8},\ 1\right]$$

Найдите оптимальный размер группы — то целое $k$, при котором разность между математическим ожиданием доли решённых задач и вероятностью быть пойманными наибольшая. В ответе укажите $k$.

A group of $k$ friends colludes on an exam, where $k$ is an integer and $k \ge 1$. The plagiarism-detection system catches a group of $k$ people with probability

$$\P(C = k) = \frac{k^2}{100}\,I(0 \le k \le 10) + I(k > 10)$$

where $I$ is the indicator function. The fraction of the problems solved by the group is uniformly distributed on the interval

$$\left[\frac{\min(k, 5)}{8},\ 1\right]$$

Find the optimal group size: the integer $k$ for which the difference between the expected fraction of problems solved and the probability of being caught is greatest. In your answer, give $k$.

ответ

Подсказка / Hint

Матожидание равномерного распределения — полусумма концов отрезка. Дальше подумай, при каких $k$ разность вообще может расти, и перебери остаток руками.

The expected value of a uniform distribution is the average of the interval's endpoints. Then determine for which values of $k$ the difference can still increase, and check the remaining cases directly.

Решение / Solution

Что максимизируем. Матожидание равномерного распределения на $[a,\,1]$ равно $\frac{a+1}{2}$, поэтому средняя доля решённых задач равна

$$\frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right)$$

Вероятность быть пойманными компактно записывается как $\dfrac{\min(k,10)^2}{100}$: при $k \le 10$ это $\frac{k^2}{100}$, при $k > 10$ это единица.

$$S(k) = \frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right) - \frac{\min(k,10)^2}{100}$$

Отсекаем бесконечный перебор. При $k \ge 5$ первое слагаемое перестаёт расти (из-за $\min(k,5)$), а вычитаемое продолжает увеличиваться вплоть до $k = 10$ и дальше остаётся равным единице. Значит на $k \ge 5$ функция $S$ не возрастает, и максимум лежит среди $k = 1, 2, 3, 4, 5$. Это тот же ход, что в мосте b0507.

$k$	доля решённых	штраф	$S(k)$
1	0.5625	0.01	0.5525
2	0.6250	0.04	0.5850
3	0.6875	0.09	0.5975
4	0.7500	0.16	0.5900
5	0.8125	0.25	0.5625

Максимум при $k = 3$.

Что забрать на YMLS

Приём «отсеки рассуждением, доперебирай руками». Переменная целочисленная, поэтому производную брать бессмысленно. Вместо этого одно рассуждение о монотонности свело бесконечный перебор к пяти значениям, и они честно посчитаны в таблице.

Так устроены почти все прикладные экстремальные задачи Яндекса: сначала аналитика сужает область, потом перебор добивает.

Quantity to maximize. The expected value of a uniform distribution on $[a,\,1]$ is $\frac{a+1}{2}$, so the expected fraction of problems solved is

$$\frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right)$$

The probability of being caught can be written compactly as $\dfrac{\min(k,10)^2}{100}$: it equals $\frac{k^2}{100}$ for $k \le 10$ and one for $k > 10$.

$$S(k) = \frac12\left(\frac{\min(k,5)}{8} + 1\right) - \frac{\min(k,10)^2}{100}$$

Eliminating an infinite search. For $k \ge 5$, the first term stops growing because of $\min(k,5)$, while the subtracted term continues to increase through $k = 10$ and then remains equal to one. Thus, $S$ is nonincreasing for $k \ge 5$, and the maximum lies among $k = 1, 2, 3, 4, 5$. This is the same approach used in the bridge problem b0507.

$k$	expected fraction solved	penalty	$S(k)$
1	0.5625	0.01	0.5525
2	0.6250	0.04	0.5850
3	0.6875	0.09	0.5975
4	0.7500	0.16	0.5900
5	0.8125	0.25	0.5625

The maximum occurs at $k = 3$.

The key technique to take to YMLS

Reason first, then finish by enumeration. Since the variable is an integer, taking a derivative is meaningless. Instead, one monotonicity argument reduces an infinite search to five values, which are then calculated explicitly in the table.

Nearly all of Yandex's applied extremum problems have this structure: analysis first narrows the search space, and enumeration finishes the job.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Мини-тест под таймером

20 минут

Одна задача, таймер идёт, подсказки и решение не открываются до истечения времени. Это тренировка не математики, а поведения под давлением.

Y0503Уровень YMLSступень 4минимумМатанализ✓уровень YMLS

Найдите наименьшее значение функции $f(x) = x^{x}$ на промежутке $x > 0$. Ответ — число с четырьмя знаками после запятой.

Find the minimum value of the function $f(x) = x^{x}$ on the interval $x > 0$. Give your answer as a number rounded to four decimal places.

ответверно

Подсказка / Hint

Переменная стоит и в основании, и в показателе — обычные правила не подходят. Прологарифмируй перед дифференцированием.

The variable appears in both the base and the exponent, so the usual rules do not apply. Take logarithms before differentiating.

Решение / Solution

Приём — логарифмическое дифференцирование, отработанное в b0505:

$$f'(x) = x^x(\ln x + 1)$$

Так как $x^x > 0$ при $x > 0$, критическая точка там, где $\ln x + 1 = 0$, то есть

$$x = e^{-1} = \frac1e \approx 0.3679$$

Тип точки. При $x < \frac1e$ имеем $\ln x < -1$, скобка отрицательна, производная отрицательна; при $x > \frac1e$ — положительна. Смена знака с минуса на плюс: минимум.

Края. При $x \to 0^{+}$ произведение $x\ln x$ стремится к нулю (логарифм растёт медленнее, чем убывает $x$), поэтому $f = e^{x\ln x} \to 1$. При $x \to +\infty$ функция растёт неограниченно. Оба края выше найденного значения.

$$f\!\left(\frac1e\right) = \left(\frac1e\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.6922$$

В ответ идёт $0.6922$, а не $0.3679$: спрашивали значение функции.

Две ловушки в одной задаче

Первая — попытаться дифференцировать $x^x$ как степень или как показательную. Вторая — записать в ответ точку минимума $\frac1e \approx 0.3679$. Число $0.3679$ сегодня действительно встретится в ответе, но в другой задаче — в y0504.

Use logarithmic differentiation, as practiced in b0505:

$$f'(x) = x^x(\ln x + 1)$$

Since $x^x > 0$ for $x > 0$, the critical point occurs where $\ln x + 1 = 0$; that is,

$$x = e^{-1} = \frac1e \approx 0.3679$$

Type of the critical point. If $x < \frac1e$, then $\ln x < -1$, so the factor in parentheses and the derivative are negative. If $x > \frac1e$, they are positive. The change from negative to positive gives a minimum.

Ends of the interval. As $x \to 0^{+}$, the product $x\ln x$ tends to zero (the logarithm grows more slowly than $x$ tends to zero), so $f = e^{x\ln x} \to 1$. As $x \to +\infty$, the function grows without bound. Both ends lie above the value found.

$$f\!\left(\frac1e\right) = \left(\frac1e\right)^{1/e} = e^{-1/e} \approx 0.6922$$

The answer is $0.6922$, not $0.3679$: the question asks for the value of the function.

Two traps in one problem

The first is trying to differentiate $x^x$ as either a power function or an exponential function. The second is giving the minimum point $\frac1e \approx 0.3679$ as the answer. The number $0.3679$ does appear as an answer today, but in a different problem: y0504.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

день закрыт, когда

По вопросу любой сегодняшней задачи за 10 секунд говоришь вслух, что просят — значение, точку или тип, — и не начинаешь считать, пока это не произнесено; проверка на паре w0501 (значение) против w0504 (абсцисса)For any problem today, say within 10 seconds whether it asks for a value, a point, or a type, and do not calculate until you have said it; test this on w0501 (value) versus w0504 (x-coordinate)

Выписываешь полный список кандидатов — критические точки внутри промежутка и его концы — до того, как посчитал хоть одно значение; на открытом промежутке вместо концов сразу пишешь оценку поведения у края, как в b0503 и y0501List every candidate—critical points inside the interval and endpoints—before evaluating even one value; on an open interval, immediately replace endpoints with a boundary-behavior estimate, as in b0503 and y0501

Увидев два нуля у $f'$, не выбираешь наугад: считаешь $f''$ в каждом и называешь тип за полминуты; w0504 устно, b0502 и y0502 без подсказкиWhen $f'$ has two zeros, do not guess: compute $f''$ at each and name the type in half a minute; do w0504 orally and b0502 and y0502 without hints

Увидев слово «касается», за 15 секунд пишешь оба уравнения системы и говоришь, какое из них не содержит параметра; w0503 устно, b0504 и y0504 решены без подсказкиWhen you see “tangent,” write both system equations within 15 seconds and say which one contains no parameter; do w0503 orally and solve b0504 and y0504 without hints

Увидев переменную в основании и в показателе, логарифмируешь не задумываясь (b0505 устно, b0506 меньше чем за пять минут); увидев целый аргумент, вслух называешь рассуждение, которым отсекается хвост перебора (b0507)When you see the variable in both base and exponent, take logs automatically (b0505 orally, b0506 in under five minutes); with an integer argument, state aloud the reasoning that cuts off the search tail (b0507)

Все пять обязательных задач решены без подсказки, минимум три из них — с первого ввода ответа, а мини-тест y0503 сдан за 20 минут с первого ввода, и ты можешь объяснить, почему $0.3679$ там неверный ответ, хотя это число сегодня действительно встречаетсяSolve all five required problems without hints; solve at least three on the first submission, and submit mini-test y0503 within 20 minutes on the first attempt. Explain why $0.3679$ is wrong there even though that number genuinely appears elsewhere today

аудит дня

Раздели ошибки на два типа и запиши в журнал каждую.

Первый тип — ответил не на тот вопрос: записал точку вместо значения, взял локальный максимум там, где просили наибольшее значение на отрезке, не проверил концы, выбрал не ту из двух критических точек. Лечится это не техникой, а привычкой помечать вопрос на полях до начала счёта и перечитывать его перед вводом ответа.

Второй тип — знак и множитель: потерянный минус в производной косинуса или частного, забытый множитель из цепного правила, применённое $u'v'$ вместо $u'v + uv'$. Лечится сверкой: любую производную, посчитанную по правилам, проверяй подстановкой одного числа и численным разностным отношением рядом с ним.

Если ошибок первого типа сегодня больше двух, завтра каждую задачу начинай с того, что выписываешь вопрос отдельной строкой над решением. На онлайн-этапе такая ошибка стоит ровно столько же, сколько незнание темы, — а исправляется за пять секунд.

Separate errors into two types and log each one.

Type 1 is answering the wrong question: writing a point instead of a value, taking a local maximum where the greatest value on an interval was requested, failing to check endpoints, or choosing the wrong one of two critical points. The cure is not technique but the habit of marking the question before calculating and rereading it before entering the answer.

Type 2 is a sign or factor error: a lost minus in the derivative of cosine or a quotient, a forgotten chain-rule factor, or using $u'v'$ instead of $u'v+uv'$. Treat it with a check: verify every rule-based derivative by substituting one number and comparing with a nearby numerical difference quotient.

If you make more than two Type 1 errors today, start every problem tomorrow by writing the question on a separate line above the solution. On the online stage, this error costs exactly as much as not knowing the topic—and it takes five seconds to prevent.

заметка дня

Открыть журнал ошибок

← Случайные величины и среднееRandom variables and expectation Пределы и асимптотикиLimits and asymptotics →