День 15 —, РасширениеExtension

Выборка, правдоподобие и качество оценкиSamples, likelihood, and estimator quality

Дополнительное занятие без календарной даты. Проходи после указанных предпосылок; основной календарь сохраняется.An additional session without a calendar date. Complete the stated prerequisites first; the core calendar is retained.

0% дня закрыто · решено задач 1 из 15

цель дня

Построить геометрическое правдоподобие при обеих договорённостях о носителе и проверить максимум. Для взвешенной оценки отдельно доказать несмещённость и вычислить дисперсию.

Construct a geometric likelihood under either support convention and verify its maximum. For a weighted estimator, separately prove unbiasedness and calculate variance.

Самостоятельные задачи

К концу дня нужно уметь решать эти задачи самостоятельно, без подсказок.

Y1504Уровень YMLSСамостоятельно: МаксимумIndependent application: Maximumк задаче →Y1505Уровень YMLSСамостоятельно: НесмещённостьIndependent application: Unbiasednessк задаче →Y1506Уровень YMLSСамостоятельно: МаксимумIndependent application: Maximumк задаче →

Мост · что нужно вспомнить

Предпосылки — дни 3, 4, 5. Если соответствующий приём не получается без подсказки, вернись к их базовым упражнениям. Затем прочитай новый урок до финалов. Двигайся по навыкам сверху вниз: сначала смысл объектов и простое действие, затем построение выражения и проверка, наконец самостоятельная сборка. В практике каждого метода соблюдай порядок ступеней 1–2 → 3 → 4.

Prerequisites: days 3, 4, 5. If you cannot apply a prerequisite without a hint, return to its basic exercises. Read the new lesson before attempting the finals. Work through the skills from top to bottom: first identify the objects and perform a simple operation, then construct and check an expression, and finally combine the steps independently. Within each method, follow practice steps 1–2 → 3 → 4.

Вспомни вслух, до открытия конспектов:

Линейность ожидания; сумма вероятностей равна единице.Linearity of expectation; probabilities sum to one.
Производные степеней и логарифма; проверка знака производной.Power and logarithm derivatives; checking the derivative sign.

Повторение прошлых дней

Карточки возвращаются через 1, 2, 4, 7, 14 и 21 день в зависимости от того, насколько уверенно ты их вспомнил; «не помню» отправляет карточку в начало. Это часть разогрева, вместе с блоком «Мост».

Комбинаторика день 1 осталось 114

Правило умножения: две оговорки, без которых оно не работает

The multiplication rule: two qualifications without which it does not work

Сначала сформулируй вслух. Попытка вспомнить закрепляет сильнее, чем чтение готового ответа.

7 задач: подборка покрывает темы и микронавыки последнего учебного дня (12), а для каждой идеи выбирает наиболее сильный доступный уровень. Здесь отдельная попытка: решение в исходном дне не подставляется. Сначала назови тему вслух, затем решай.

Собрать новый набор

S0101Уровень ШАДКомбинаторикаЭкзамен ШАД 2024, задача D «Координаты в квадрате»

На клетчатой бумаге нарисован квадрат $n \times n$ по линиям сетки. Левая нижняя клетка имеет координаты $(1,1)$, правая верхняя — $(n,n)$. Внутри него по линиям сетки рисуют квадрат $(n-1) \times (n-1)$, внутри того — квадрат $(n-2) \times (n-2)$, и так далее, пока не получится квадрат $1 \times 1$. Он оказался клеткой с координатами $(x, y)$.

Сколько существует различных последовательностей квадратов с таким свойством? Дайте ответ для $n = 10$, $x = 4$, $y = 7$.

An $n \times n$ square is drawn along the grid lines of graph paper. The bottom-left cell has coordinates $(1,1)$ and the top-right cell has coordinates $(n,n)$. Inside it, an $(n-1) \times (n-1)$ square is drawn along the grid lines; inside that, an $(n-2) \times (n-2)$ square is drawn, and so on until a $1 \times 1$ square remains. The final square is the cell with coordinates $(x, y)$.

How many different sequences of squares have this property? Give the answer for $n = 10$, $x = 4$, and $y = 7$.

ответ

Подсказка / Hint

Как из квадрата $k \times k$ получается квадрат $(k-1) \times (k-1)$? Сколько у этого шага независимых решений?

How can a $(k-1) \times (k-1)$ square be obtained from a $k \times k$ square? How many independent choices does each step involve?

Решение / Solution

Ключевое наблюдение. Квадрат $(k-1) \times (k-1)$ помещается внутрь квадрата $k \times k$ ровно четырьмя способами: нужно отрезать один столбец — левый или правый — и одну строку — верхнюю или нижнюю. Причём отрезания столбцов и строк независимы.

Всего шагов $n - 1$. На каждом шаге мы отрезаем один столбец (слева или справа) и одну строку (сверху или снизу).

Столбцы. Закодируем историю отрезаний столбцов строкой из $n-1$ символов: Л, если на этом шаге отрезали левый столбец, П — если правый. Если за все $n-1$ шагов слева отрезали $x - 1$ столбец, то финальная клетка имеет первую координату $x$. Строк с ровно $x-1$ буквой Л ровно $\binom{n-1}{x-1}$ — вопрос снова свёлся к «на каких местах стоят символы одного вида».

Строки. Аналогично: $\binom{n-1}{y-1}$.

Любая комбинация даёт свою последовательность, поэтому перемножаем:

$$N = \binom{n-1}{x-1}\binom{n-1}{y-1}$$

Подставляем $n = 10$, $x = 4$, $y = 7$:

$$\binom{9}{3}\binom{9}{6} = 84 \cdot 84 = 7056$$

Что здесь стоит забрать

Приём разделения на независимые оси. Задача выглядела как перебор вложенных квадратов, а свелась к двум независимым строкам — «в каком порядке отрезали столбцы» и «в каком порядке отрезали строки». Как только удаётся расщепить задачу на независимые части, ответ становится произведением. Этот ход встретится ещё много раз.

Key observation. A $(k-1) \times (k-1)$ square can be placed inside a $k \times k$ square in exactly four ways: remove either the left or the right column, and either the top or the bottom row. The choices for rows and columns are independent.

There are $n - 1$ steps in total. At each step, one column (left or right) and one row (top or bottom) are removed.

Columns. Encode the history of column removals by a string of $n-1$ symbols: L if the left column was removed at that step and R if the right column was removed. The final cell has first coordinate $x$ exactly when a total of $x - 1$ columns were removed from the left. The number of strings with exactly $x-1$ occurrences of L is $\binom{n-1}{x-1}$; once again, the problem reduces to choosing the positions occupied by one type of symbol.

Rows. Similarly, there are $\binom{n-1}{y-1}$ possible row-removal histories.

Every pair of histories gives a distinct sequence of squares, so we multiply:

$$N = \binom{n-1}{x-1}\binom{n-1}{y-1}$$

Substituting $n = 10$, $x = 4$, and $y = 7$ gives

$$\binom{9}{3}\binom{9}{6} = 84 \cdot 84 = 7056$$

Main takeaway

Split the problem along independent axes. What looked like a search through nested squares becomes two independent strings: the order in which columns were removed and the order in which rows were removed. Whenever a problem splits into independent parts, the total count is the product of the counts for those parts. This technique will return often.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

S1201Уровень ШАДМатанализОлимпиада ШАД 2025, задача A «Плюс-минус»

Дана интегрируемая функция $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такая, что

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 2025$$

Найдите $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\!\left(x - \frac1x\right)dx$.

Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ be an integrable function such that

$$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx = 2025$$

Find $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} f\!\left(x - \frac1x\right)dx$.

ответ

Подсказка / Hint

Ответ тот же. Разберись, почему — здесь замена работает не так, как обычно.

The answer is the same. Determine why: the substitution behaves differently from an ordinary one-to-one change of variables.

Решение / Solution

Ответ: 2025.

Идея. Рассмотрим $\varphi(x) = x - \frac1x$. На каждом из промежутков $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$ эта функция строго возрастает и отображает промежуток на всю прямую $\mathbb{R}$.

Значит при замене переменной каждая точка $y$ имеет ровно два прообраза — корни уравнения

$$x^2 - yx - 1 = 0$$

Обозначим их $x_1(y)$ и $x_2(y)$. По теореме Виета

$$x_1(y) + x_2(y) = y$$

Продифференцируем это тождество по $y$:

$$x_1'(y) + x_2'(y) = 1$$

Обе ветви возрастают, значит производные положительны и модули можно снять. Тогда

$$\int_{\mathbb{R}} f\!\left(x - \tfrac1x\right)dx = \int_{\mathbb{R}}\big(|x_1'(y)| + |x_2'(y)|\big)f(y)\,dy = \int_{\mathbb{R}} f(y)\,dy = 2025$$

Сверка, которая ловит ошибку в рассуждении

Утверждение проверяется машиной на конкретной $f$ за полминуты: возьми плотность стандартного нормального распределения, умноженную на 2025, и посчитай оба интеграла численно — mpmath.quad по промежуткам $(-\infty, 0)$ и $(0, +\infty)$ отдельно, потому что в нуле подынтегральная функция ведёт себя резко. Числа совпадут. Это не доказательство, но именно так отличают верное рассуждение от красивого.

Что забрать на YMLS

Приём «замена, склеивающая две ветви»: если подстановка неоднозначна, суммируй по всем ветвям — якобианы часто складываются во что-то тривиальное.

В чистом виде такое на YMLS вряд ли придёт. Но родственный приём — симметризация $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx$ из восьмого дня — приходит регулярно, и это тот же ход мысли: не вычислять, а использовать структуру замены.

Answer: 2025.

Idea. Consider $\varphi(x)=x-\frac1x$. On each interval $(-\infty,0)$ and $(0,+\infty)$, this function is strictly increasing and maps the interval onto the entire real line $\mathbb{R}$.

Therefore, under the change of variables, every point $y$ has exactly two preimages: the roots of

$$x^2 - yx - 1 = 0$$

Denote them by $x_1(y)$ and $x_2(y)$. By Vieta's formulas,

$$x_1(y) + x_2(y) = y$$

Differentiate this identity with respect to $y$:

$$x_1'(y) + x_2'(y) = 1$$

Both branches are increasing, so their derivatives are positive and the absolute values can be removed. Hence

$$\int_{\mathbb{R}} f\!\left(x - \tfrac1x\right)dx = \int_{\mathbb{R}}\big(|x_1'(y)| + |x_2'(y)|\big)f(y)\,dy = \int_{\mathbb{R}} f(y)\,dy = 2025$$

A check that catches a flaw in the reasoning

Test the claim computationally with a specific $f$: take the standard normal density multiplied by 2025 and evaluate both integrals numerically. Use mpmath.quad separately on $(-\infty,0)$ and $(0,+\infty)$ because the integrand varies sharply near zero. The results agree. This is not a proof, but it is an effective way to distinguish a correct argument from an attractive but false one.

The YMLS takeaway

Use the technique “a substitution that merges two branches.” When a substitution is not one-to-one, sum over all branches; the Jacobian factors often combine into something simple.

This exact form is unlikely on YMLS. A related method that appears regularly is the symmetrization $\int_a^b f(x)dx = \int_a^b f(a+b-x)dx$ from Day 8. The idea is the same: exploit the structure of the substitution instead of evaluating the integral directly.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

S1101Уровень ШАДАлгоритмыОлимпиада ШАД 2025, задача «Похожие геномы»

Мерой похожести двух вирусов служит побитовое исключающее ИЛИ (XOR) их геномов: чем меньше XOR, тем более похожи вирусы.

В базе лежат геномы

[38, 18, 7, 52, 13, 25, 60, 3, 44, 29]

Найдите наименьший возможный XOR пары геномов, стоящих на разных позициях.

The similarity of two viruses is measured by the bitwise exclusive OR (XOR) of their genomes: the smaller the XOR, the more similar the viruses.

The database contains the genomes

[38, 18, 7, 52, 13, 25, 60, 3, 44, 29]

Find the smallest possible XOR of two genomes at distinct positions.

ответ

Python · решить кодомsolve in code

Программа читает ввод и печатает ответ. «Проверить на тестах» запускает её на тестах задачи: первый — данные из условия (они уже в поле «Ввод»), остальные скрыты, последний большой — на скорость. Прошли все — задача засчитана.

The program reads the input and prints the answer. “Run tests” runs it on the problem’s tests: the first is the statement’s data (already in the Input box), the rest are hidden, and the last one is large to test speed. Pass them all and the problem counts as solved.

Ввод. В первой строке $n$ ($2 \le n \le 10^5$), во второй — $n$ целых чисел $0 \le a_i < 2^{30}$. Вывод. Наименьший $a_i \oplus a_j$ по парам разных позиций.

Input. The first line holds $n$ ($2 \le n \le 10^5$); the second holds $n$ integers $0 \le a_i < 2^{30}$. Output. The smallest $a_i \oplus a_j$ over pairs of different positions.

main.py

Ввод (stdin)Input (stdin)

ВыводOutput

Подсказка / Hint

Для десяти чисел хватит перебора сорока пяти пар — приём из b1101, только вместо суммы XOR. Быстрый ход — тот же спуск по разрядам, что в мосте b1105, но в обратную сторону. А дальше подумай, как отвечать на такой запрос, если чисел $2 \cdot 10^5$ и они добавляются по одному.

With ten numbers, enumerating all forty-five pairs is enough; this is the technique from b1101, with XOR instead of addition. The fast approach uses the same bitwise descent as bridge problem b1105, but in the opposite direction. Then consider how to answer the query if there are $2 \cdot 10^5$ numbers arriving one by one.

Решение / Solution

Ответ для наших данных: 4 — пара $7$ и $3$: $7 \oplus 3 = 0111_2 \oplus 0011_2 = 0100_2 = 4$.

from itertools import combinations
print(min(x ^ y for x, y in combinations(G, 2)))   # 4

Перебор пар — это $O(n^2)$, здесь всего 45 пар. На олимпиадных ограничениях ($n$ до $2\cdot10^5$, числа до $2^{30}$) он не проходит, и нужен другой подход.

Правильное решение — префиксное дерево (бор) на битах.

Храним двоичные представления чисел в дереве как строки длины $K = 30$, от старших разрядов к младшим. При добавлении нового числа $X$ делаем два действия:

Ищем в боре число $Y$, дающее минимальный XOR с $X$. Спускаемся от корня; на каждой глубине пытаемся пойти по тому же биту, что у $X$ — тогда в этом разряде XOR даст ноль. Если такого перехода нет, идём по единственному имеющемуся.
Вставляем $X$ в бор.

Ответ поддерживаем как минимум по всем добавлениям.

Почему жадный спуск корректен. Пусть на глубине $d$ можно пойти двумя путями. Совпадение бита даёт в этом разряде ноль, несовпадение — единицу, то есть вклад $2^{K-d}$. Но по пункту блока «Мост» один старший разряд перевешивает все младшие вместе взятые, поэтому совпадение в старшем разряде выгоднее любого выигрыша во всех младших. Жадность оптимальна.

Сложность: $O(NK)$ по времени и памяти, где $K$ — число бит.

Проверка третьим способом

Работает правило из блока «Триггеры»: минимальный XOR всегда достигается на паре соседей в отсортированном порядке. Вот его вывод в две строки. Пусть $x < y < z$, и пусть $b$ — самый старший разряд, в котором $x$ и $z$ различаются: в нём у $x$ ноль, у $z$ единица, поэтому $x \oplus z \ge 2^{b}$. Все разряды старше $b$ у $x$ и $z$ совпадают, а $y$ лежит между ними, поэтому в старших разрядах $y$ совпадает с обоими; в самом разряде $b$ у $y$ стоит либо ноль, и тогда $x \oplus y < 2^{b}$, либо единица, и тогда $y \oplus z < 2^{b}$. В обоих случаях какая-то из более тесных пар строго лучше крайней — значит пару, между членами которой лежит третье число, можно не проверять.

Отсортируем: 3, 7, 13, 18, 25, 29, 38, 44, 52, 60 — и проверим только девять соседних пар вместо сорока пяти. Их XOR равны 4, 10, 31, 11, 4, 59, 10, 24, 8; наименьшее значение 4 достигается дважды: $3 \oplus 7 = 4$ и $25 \oplus 29 = 4$. Ответ сошёлся с перебором, и это независимая проверка, а не пересчёт того же самого.

Что забрать

Идея «старший разряд важнее всех младших вместе» — универсальная для битовых задач. Она превращает переборную задачу в жадный спуск по дереву, то есть в то же деление пополам, что и бинарный поиск, только режется не отрезок чисел, а множество кандидатов по очередному биту.

На YMLS такое вряд ли придёт в полном объёме, но сам приём «работать с числами поразрядно, от старших к младшим» вполне может понадобиться.

For the given data, the answer is 4, attained by 7 and 3: $7 \oplus 3 = 0111_2 \oplus 0011_2 = 0100_2 = 4$.

from itertools import combinations
print(min(x ^ y for x, y in combinations(G, 2)))   # 4

Pair enumeration takes $O(n^2)$ time and involves only 45 pairs here. It is too slow under olympiad constraints ($n$ up to $2\cdot10^5$, values below $2^{30}$), so a different approach is required.

The appropriate solution is a binary prefix tree, or binary trie.

Store the binary representations of the numbers in a tree as strings of length $K=30$, from the most significant bit to the least significant. When a new number $X$ arrives, perform two operations:

Find a number $Y$ in the trie minimizing its XOR with $X$. Descend from the root. At each depth, first try the branch with the same bit as $X$, which contributes zero at this position. If that branch does not exist, take the only available branch.
Insert $X$ into the trie.

Maintain the answer as the minimum over all insertions.

Why the greedy descent is correct. Suppose both branches are available at depth $d$. Matching the bit contributes zero at this position, while differing contributes one, with value $2^{K-d}$. One more significant bit outweighs all less significant bits combined, as established in the Bridge section. Therefore matching the more significant bit is preferable to any possible gain below it, and the greedy choice is optimal.

The time and space complexity are $O(NK)$, where $K$ is the number of bits.

A third method for checking

The rule from the Triggers section applies: the minimum XOR is always attained by two adjacent values in sorted order. Here is the proof. Let $x<y<z$, and let $b$ be the most significant bit at which $x$ and $z$ differ. At this bit, $x$ has zero and $z$ has one, so $x\oplus z \ge 2^b$. All bits above $b$ coincide in $x$ and $z$. Since $y$ lies between them, it agrees with both in those higher bits. At bit $b$, either $y$ has zero, giving $x\oplus y < 2^b$, or it has one, giving $y\oplus z < 2^b$. In either case, a closer pair is strictly better than the outer pair. Thus a pair with a third number between its members never needs to be checked.

Sort the values: 3, 7, 13, 18, 25, 29, 38, 44, 52, 60. Check only nine adjacent pairs rather than forty-five. Their XORs are 4, 10, 31, 11, 4, 59, 10, 24, 8. The minimum, 4, is attained twice: $3 \oplus 7 = 4$ and $25 \oplus 29 = 4$. This agrees with exhaustive search and is an independent check.

The takeaway

The principle “a more significant bit outweighs all less significant bits combined” is universal in bitwise problems. It turns an exhaustive search into a greedy tree descent: the same kind of halving as binary search, except that the candidate set is partitioned by the next bit rather than by a numeric interval.

A full-strength version is unlikely on YMLS, but the underlying technique of processing numbers bit by bit, from most significant to least significant, may well be useful.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1207Уровень YMLSЛиналсмешанный набор

Найдите расстояние от точки $(2, 1, -2)$ до плоскости $2x - y + 2z = 9$. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Find the distance from the point $(2,1,-2)$ to the plane $2x-y+2z=9$. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Коэффициенты уравнения — координаты нормали.

The coefficients in the equation are the coordinates of a normal vector.

Решение / Solution

Нормаль читается прямо из уравнения: $n = (2, -1, 2)$, её длина $\|n\| = \sqrt{4+1+4} = 3$. Скалярное произведение с точкой: $\langle n, p\rangle = 4 - 1 - 4 = -1$.

$$d = \frac{|\langle n, p\rangle - c|}{\|n\|} = \frac{|-1 - 9|}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$$

Что подставляют неверно

В числителе стоит модуль невязки $\langle n,p\rangle - c$, а не сумма координат и не $\langle n,p\rangle + c$: свободный член обязан быть перенесён в ту же часть, где стоит точка. Отрицательный знак невязки означает лишь, что точка лежит по другую сторону плоскости от начала координат, и на расстояние он не влияет.

Read the normal directly from the equation: $n=(2,-1,2)$, with norm $\|n\|=\sqrt{4+1+4}=3$. Its inner product with the point is $\langle n,p\rangle=4-1-4=-1$.

$$d = \frac{|\langle n, p\rangle - c|}{\|n\|} = \frac{|-1 - 9|}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.3333$$

Common substitution errors

The numerator is the absolute value of the residual $\langle n,p\rangle-c$, not the sum of the coordinates and not $\langle n,p\rangle+c$. The constant term must be moved to the same side as the point evaluation. A negative residual only means that the point and the origin lie on opposite sides of the plane; it has no effect on the distance.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1204Уровень YMLSВероятностьсмешанный набор · мини-тест дня

Точка бросается наудачу (равномерно) в квадрат со стороной 1. Найдите вероятность того, что она окажется ближе к центру квадрата, чем к ближайшей из его четырёх сторон (расстояние до стороны меряется по перпендикуляру). Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

A point is chosen uniformly at random from a square of side length 1. Find the probability that it is closer to the center of the square than to the nearest of its four sides, where distance to a side is measured perpendicularly. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Мост b1203 — та же задача с одной фиксированной стороной. Осталось понять, что меняет слово «ближайшая».

Bridge problem b1203 is the same problem with one fixed side. Determine what changes when the side is the “nearest” one.

Решение / Solution

Шаг 1. Разрезать квадрат. Диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника, и в каждом ближайшая сторона своя. В нижнем треугольнике (он задан условиями $y < x$ и $y < 1 - x$) ближайшая сторона — нижняя, поэтому по симметрии достаточно посчитать площадь в нём и умножить на 4.

Шаг 2. Граница — та же парабола, что в b1203. Условие «ближе к центру, чем к нижней стороне» после возведения в квадрат превращается в

$$y > \left(x - \tfrac12\right)^{2} + \frac14$$

Шаг 3. Пределы интегрирования. Парабола пересекает сторону $y = x$ там, где $\left(x-\frac12\right)^{2} + \frac14 = x$, то есть $x^{2} - 2x + \frac12 = 0$ и $x = 1 - \frac{\sqrt2}{2} \approx 0.2929$; вторая точка по симметрии — $x = \frac{\sqrt2}{2}$.

Шаг 4. Интеграл. Между этими пределами область зажата между параболой снизу и стороной треугольника сверху. С заменой $u = x - \frac12$ высота полоски равна $u + \frac14 - u^{2}$, а симметрия относительно $x = \frac12$ позволяет считать половину и удвоить:

$$S = 2\int_{u_0}^{0}\left(u + \frac14 - u^{2}\right)du = \frac{\sqrt2}{3} - \frac{5}{12}, \qquad u_0 = \frac{1-\sqrt2}{2}$$$$\P = 4S = \frac{4\sqrt2 - 5}{3} \approx 0.218951$$

Ответ: 0.2190.

Сверка симуляцией.

import numpy as np
p = np.random.default_rng(0).random((6_000_000, 2))
dc = np.hypot(p[:,0] - .5, p[:,1] - .5)                    # до центра
db = np.minimum(np.minimum(p[:,0], 1 - p[:,0]),
                np.minimum(p[:,1], 1 - p[:,1]))            # до ближайшей стороны
print((dc < db).mean())      # 0.2188293...

Мораль дня в одной задаче

Симуляция на шести миллионах дала $0.21883$, точный ответ — $0.218951$. Три знака совпали, четвёртый нет, и сдавать пришлось бы неверное число. Именно об этом правило $1/\sqrt{N}$: на четвёртый знак нужно порядка $10^8$ испытаний.

Правильная стратегия: симуляция подтверждает, что область выписана верно, аналитика даёт точность. Если аналитики нет вовсе — гони сто миллионов испытаний и понимай, что последний знак под вопросом.

Step 1. Partition the square. The diagonals divide it into four congruent triangles, and a different side is nearest in each one. In the bottom triangle, described by $y<x$ and $y<1-x$, the bottom side is nearest. By symmetry, it is enough to calculate the required area there and multiply by 4.

Step 2. The boundary is the same parabola as in b1203. After squaring, the condition “closer to the center than to the bottom side” becomes

$$y > \left(x - \tfrac12\right)^{2} + \frac14$$

Step 3. Integration limits. The parabola intersects the side $y=x$ when $\left(x-\frac12\right)^2+\frac14=x$, or $x^2-2x+\frac12=0$. Thus $x=1-\frac{\sqrt2}{2}\approx0.2929$; the other intersection is, by symmetry, $x=\frac{\sqrt2}{2}$.

Step 4. Integral. Between these limits, the region lies above the parabola and below a side of the triangle. With the substitution $u=x-\frac12$, the vertical width is $u+\frac14-u^2$. Symmetry about $x=\frac12$ allows us to integrate over half the region and double:

$$S = 2\int_{u_0}^{0}\left(u + \frac14 - u^{2}\right)du = \frac{\sqrt2}{3} - \frac{5}{12}, \qquad u_0 = \frac{1-\sqrt2}{2}$$$$\P = 4S = \frac{4\sqrt2 - 5}{3} \approx 0.218951$$

Answer: 0.2190.

Simulation check.

import numpy as np
p = np.random.default_rng(0).random((6_000_000, 2))
dc = np.hypot(p[:,0] - .5, p[:,1] - .5)                    # distance to the center
db = np.minimum(np.minimum(p[:,0], 1 - p[:,0]),
                np.minimum(p[:,1], 1 - p[:,1]))            # distance to the nearest side
print((dc < db).mean())      # 0.2188293...

The lesson of the day in one problem

Six million simulated points give $0.21883$, while the exact answer is $0.218951$. Three decimal places agree, but the fourth does not, so submitting the simulation result would be wrong. This is exactly what the $1/\sqrt{N}$ rule predicts: about $10^8$ trials are needed for the fourth decimal place.

The correct strategy is to use simulation to verify the region and analysis to obtain precision. If no analytical method is available, run one hundred million trials and recognize that the last digit is uncertain.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1201Уровень YMLSВероятностьсмешанный набор

Кубик бросают 5 раз. Найдите вероятность того, что максимальное выпавшее число равно 4. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

A die is rolled 5 times. Find the probability that the maximum result is 4. Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

«Максимум равен 4» — это «все не больше 4» минус «все не больше 3».

“The maximum is 4” means “all results are at most 4” minus “all results are at most 3.”

Решение / Solution

RU$$\P(\max \le 4) = \left(\frac46\right)^{5}, \qquad \P(\max \le 3) = \left(\frac36\right)^{5}$$

Второе событие целиком вложено в первое, поэтому вероятности вычитаются без поправок:

$$\P(\max = 4) = \frac{4^{5} - 3^{5}}{6^{5}} = \frac{1024 - 243}{7776} = \frac{781}{7776} \approx 0.1004$$

Универсальный приём для максимума и минимума

Сначала считай «не больше $t$»: это условие на каждый бросок по отдельности, поэтому оно факторизуется. Потом бери разность соседних значений. Прямой подсчёт «ровно максимум 4» потребовал бы разбора случаев по числу четвёрок.

Второй путь — перебор всех $6^{5} = 7776$ исходов: благоприятных ровно 781. Он проверяет не арифметику, а сам приём, и стоит тридцать секунд.

EN$$\P(\max \le 4) = \left(\frac46\right)^{5}, \qquad \P(\max \le 3) = \left(\frac36\right)^{5}$$

The second event is entirely contained in the first, so their probabilities can be subtracted directly:

$$\P(\max = 4) = \frac{4^{5} - 3^{5}}{6^{5}} = \frac{1024 - 243}{7776} = \frac{781}{7776} \approx 0.1004$$

A general technique for maxima and minima

First count “at most $t$.” This is a separate condition on each roll, so its probability factors. Then take the difference of adjacent values. Counting “maximum exactly 4” directly would require separate cases according to the number of fours.

A second method enumerates all $6^5=7776$ outcomes and finds exactly 781 favorable ones. It takes thirty seconds and checks the technique itself, not merely the arithmetic.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

S0401Уровень ШАДСлучайные величиныОлимпиада ШАД 2025, задача «Инклюзивный марьяж»

Из стандартной колоды в 52 карты вынимают карты по одной без возвращения. Найдите математическое ожидание числа карт, которое нужно вынуть, чтобы среди них оказались и король, и дама. Считается общее число вынутых карт, включая последнюю. Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Cards are drawn without replacement from a standard 52-card deck. Find the expected number of cards that must be drawn until both a king and a queen have appeared, counting the final card. Round to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

И «номер первого короля», и «номер первой дамы» считаются леммой о промежутках. Максимум из них напрямую не считается: вспомни тождество $\max + \min = $ сумма и подумай, что такое здесь минимум.

The positions of the first king and the first queen are both handled by the gaps lemma. Their maximum is harder to compute directly: recall the identity $\max + \min = $ sum, and interpret the minimum here.

Решение / Solution

Лемма о промежутках. В колоде из $n$ карт помечены $k$. Среднее число карт, которое нужно вынуть до первой помеченной включительно, равно

$$\E = \frac{n+1}{k+1}$$

Доказательство закольцовыванием — самое короткое из существующих. Добавим сверху ещё одну помеченную карту и замкнём колоду из $n+1$ карты в круг. Случайно повернём круг. Теперь помеченных карт $k+1$, и они разбивают круг на $k+1$ дугу из непомеченных карт. Дуги переходят друг в друга поворотом, значит в среднем одинаковы, и в каждой $\frac{n-k}{k+1}$ карт.

Считая от добавленной карты, до первой настоящей помеченной надо пройти одну дугу и саму помеченную карту:

$$\E = \frac{n-k}{k+1} + 1 = \frac{n+1}{k+1}$$

Решение задачи. Пусть $\xi$ — номер первого короля, $\eta$ — первой дамы. Нужно $\E\max\{\xi, \eta\}$. Максимум напрямую считать тяжело, но выручает тождество

$$\max\{\xi,\eta\} + \min\{\xi,\eta\} = \xi + \eta$$

Здесь $\min\{\xi,\eta\}$ — момент появления первой из восьми выделенных карт (четыре короля и четыре дамы вместе). Все три величины считаются по лемме:

$$\E\xi = \E\eta = \frac{52+1}{4+1} = \frac{53}{5}, \qquad \E\min = \frac{52+1}{8+1} = \frac{53}{9}$$$$\E\max = \frac{53}{5} + \frac{53}{5} - \frac{53}{9} = \frac{689}{45} \approx 15.3111$$

Что забрать на YMLS

Два приёма, каждый из которых работает далеко за пределами этой задачи.

Первый — лемма $\frac{n+1}{k+1}$. Закрывает целый класс задач «сколько тянуть до первого нужного». В малом размере ты вывел её индикаторами в задаче b0405, здесь она применена трижды подряд — к королям, к дамам и к восьми картам сразу.

Второй — тождество $\max + \min$. Если максимум считать трудно, а минимум легко, считай минимум и вычитай. Это общий приём, а не трюк для карт: сегодня он уже работал в задаче про два кубика и в задаче про две равномерные точки.

Gaps lemma. In a deck of $n$ cards, suppose $k$ are marked. The expected number of cards drawn up to and including the first marked card is

$$\E = \frac{n+1}{k+1}$$

Circular proof. Add one marked card to the top and join the $n+1$ cards into a circle, then rotate the circle uniformly at random. The $k+1$ marked cards divide the circle into $k+1$ gaps of unmarked cards. Rotation permutes these gaps, so they have the same expected size, $\frac{n-k}{k+1}$.

Starting from the added card, reaching the first original marked card requires crossing one gap and then drawing the marked card itself:

$$\E = \frac{n-k}{k+1} + 1 = \frac{n+1}{k+1}$$

Apply the lemma. Let $\xi$ be the position of the first king and $\eta$ the position of the first queen. We need $\E\max\{\xi,\eta\}$. Use

$$\max\{\xi,\eta\} + \min\{\xi,\eta\} = \xi + \eta$$

Here $\min\{\xi,\eta\}$ is the position of the first among eight marked cards: the four kings and four queens together. The lemma gives

$$\E\xi = \E\eta = \frac{52+1}{4+1} = \frac{53}{5}, \qquad \E\min = \frac{52+1}{8+1} = \frac{53}{9}$$$$\E\max = \frac{53}{5} + \frac{53}{5} - \frac{53}{9} = \frac{689}{45} \approx 15.3111$$

What to carry into YMLS

Two techniques here apply far beyond this problem.

First, the $\frac{n+1}{k+1}$ gaps lemma. It resolves an entire class of “how many draws until the first target?” questions. You derived its small version using indicators in b0405; here it is applied three times—to kings, queens, and all eight marked cards.

Second, the identity $\max + \min$. When the maximum is hard and the minimum easy, compute the minimum and subtract. This is a general method, not a card trick; it already appeared in the problems about two dice and two uniform variables.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

зачем это сегодня

Это расширение закрывает конкретные способы решения из образца Q1–Q18. Упоминание формулы в справочнике не заменяет её вывода и практики. Новые занятия не устанавливают дату экзамена или официальный регламент.

This extension addresses specific methods in the Q1–Q18 sample. A formula mentioned in a reference sheet does not replace derivation and practice. These sessions establish neither an exam date nor official exam rules.

Навыки по порядку

Тема разбита на отдельные навыки от простого к сложному. Для каждого указаны тренировочные задачи.

1ВыборкаSampleОтличить параметр от наблюденийDistinguish parameters from observationsW1501 W1502 B1501
2ПравдоподобиеLikelihoodЗаписать произведение и перейти к логарифмуForm a product and take logarithmsW1502 B1506 B1501 Y1506
3МаксимумMaximumПроверить носитель, производную и границыCheck support, derivatives, and boundariesB1501 B1502 B1505 Y1501 Y1504 Y1506
4РазбросSpreadВывести квадрат веса из отклоненийDerive squared weights from deviationsW1503 B1504 Y1502 Y1503 Y1505
5НесмещённостьUnbiasednessСоединить линейность и оценку разбросаCombine linearity with a variance calculationB1503 Y1502 Y1505

Расписание

0:00–0:15ВспомнитьRecall Предпосылки и карточки без конспекта.Prerequisites and cards without notes.

0:15–1:15РазобратьStudy Урок, затем эталон с объяснением решений.Read the lesson, then explain the decisions in the model solution.

1:15–1:25ПерерывBreak Отойти от экрана.Step away from the screen.

1:25–2:40Построить мостBuild the bridge Ступени 1–3 по выбранному маршруту.Steps 1–3 of the selected route.

2:40–3:30ПрименитьApply Финалы без подсказок; численный мини-тест — до 20 минут.Finals without hints; allow up to 20 minutes for the numeric mini-test.

3:30–4:00ПроверитьCheck Проверки, карточки и журнал ошибок.Verification, cards, and the error journal.

Урок

разбираем с нуля

Наблюдения и неизвестный закон

В дне 4 мы считали среднее по известному закону. Здесь задача обратная: видим наблюдения и хотим восстановить неизвестный параметр закона.

Выборка — набор наблюдений $X_1,\ldots,X_n$. До опыта это случайные величины; после опыта получаем конкретные числа $x_1,\ldots,x_n$. Объём $n$ считает все наблюдения, включая повторяющиеся.

Сокращение i.i.d. означает «независимые и одинаково распределённые». Независимость разрешает перемножать вероятности наблюдений. Одинаковый закон означает, что во всех множителях стоит один и тот же параметр. Ни одно из этих условий не следует из другого.

Параметр — неизвестная постоянная закона, например вероятность успеха $p$. Статистика — функция выборки, которую можно вычислить без знания параметра, например $\bar X=(X_1+\cdots+X_n)/n$.

Оценка параметра — статистика, выбранная для приближения параметра. До наблюдений $\hat p$ случайна: другая выборка даст другое значение. После наблюдений число $\hat p(x_1,\ldots,x_n)$ — результат применения оценки. Удачный ответ для одной выборки ещё не доказывает качество метода.

Правдоподобие из условия

Пусть закон задаётся вероятностями $P_p(X=k)=f(k;p)$. Для независимой выборки вероятность увидеть именно последовательность $x_1,\ldots,x_n$ равна произведению.

$$L(p)=\prod_{i=1}^n f(x_i;p).$$

В этом выражении данные уже зафиксированы, а менять будем $p$. Поэтому это функция правдоподобия, а не распределение вероятностей самого параметра. Искать площадь под $L(p)$ или требовать её равной единице не нужно.

Метод максимального правдоподобия, MLE, выбирает допустимое значение параметра, при котором наблюдённые данные наиболее правдоподобны в принятой модели. Сначала строим произведение из данного закона; готовую формулу оценки заранее не угадываем.

Множитель, не зависящий от параметра, можно отбросить при поиске максимума, но не при вычислении самого значения $L$. Если данные записаны по порядку, не добавляйте число перестановок выборки.

Зачем брать логарифм

На положительных числах логарифм строго возрастает: $L(p_1)>L(p_2)$ тогда и только тогда, когда $\ln L(p_1)>\ln L(p_2)$. Место максимума сохраняется. Произведение превращается в сумму, а степень — в множитель.

$$\ell(p)=\ln L(p)=\sum_i\ln f(x_i;p).$$

Это упрощает дифференцирование и уменьшает риск потери чисел при умножении многих маленьких вероятностей. Но в точке $L=0$ логарифм не определён; границы проверяют по исходному $L$ или по одностороннему пределу $\ell$.

Геометрический закон: что именно считают?

Если $X$ — число попыток до первого успеха включительно, то $X=1,2,\ldots$. Событие $X=k$ состоит из $k-1$ неудач и одного успеха.

$$P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\qquad L(p)=p^n(1-p)^{S-n},\qquad S=\sum_i x_i.$$

В выборке всегда $n$ успехов, по одному в конце каждого наблюдения. Неудач всего $S-n$. При $S>n$ логарифм имеет вид $\ell=n\ln p+(S-n)\ln(1-p)$.

$$\ell\prime(p)=\frac np-\frac{S-n}{1-p}=0\quad\Longrightarrow\quad\hat p=\frac nS=\frac1{\bar x}.$$

Мы нашли кандидата, а не закончили решение. При $0<p<1$ вторая производная $\ell\prime\prime=-n/p^2-(S-n)/(1-p)^2<0$. Это означает, что наклон строго убывает: до найденной точки он положителен, после — отрицателен. Получен единственный максимум.

Кроме того, $S>n$ даёт $0<n/S<1$, а на концах $L$ стремится к нулю. Все три проверки согласованы: область, характер стационарной точки и границы.

Если все наблюдения равны $1$, то $S=n$, $L(p)=p^n$. Производная внутри области не обнуляется: максимум при $p=1$, если эта граница разрешена. Для открытой области $0<p<1$ максимума нет, хотя значения приближаются к $1$. Поэтому область должна быть в условии и в решении.

Теперь пусть $Y$ считает только неудачи до успеха. Тогда $Y=0,1,\ldots$, $Y=X-1$, и $P(Y=k)=p(1-p)^k$. В выборке неудач уже $T=\sum_i y_i$, поэтому

$$L(p)=p^n(1-p)^T,\qquad\hat p=\frac n{n+T}=\frac1{1+\bar y}.$$

Одинаковая фраза «геометрическое распределение» допускает обе договорённости. Защитный приём: перед произведением написать «одно наблюдение = неудачи + успех». При переходе от $X$ к $Y=X-1$ оценка для одних и тех же опытов должна совпасть.

Ожидание оценки и её разброс

Другая задача оценивания: нам уже дали статистику $T$ и спрашивают, насколько она хороша. Считать новое правдоподобие здесь не нужно. Несмещённость означает $\E_\mu T=\mu$ для каждого допустимого $\mu$, а не только для одной выборки.

Если $\E X_i=\mu$, то по линейности $\E(\sum_i a_iX_i)=(\sum_i a_i)\mu$. При произвольном неизвестном среднем достаточный и необходимый критерий несмещённости — сумма весов равна $1$. Независимость для этого не требуется.

Дисперсия определяется как $\Var X=\E[(X-\E X)^2]$. Для $aX+b$ отклонение от среднего равно $a(X-\E X)$; после возведения в квадрат появляется $a^2$. Постоянный сдвиг исчезает.

$$\Var(aX+b)=a^2\Var X.$$

У ожидания нет возведения отклонений в квадрат, поэтому там коэффициенты сохраняют знак и степень. У дисперсии квадратуется весь вес: для $T=(X_1+2X_2)/3$ это веса $1/3,2/3$, а не $1,2$ с последующим делением дисперсии на $3$.

Ковариация $\Cov(X,Y)=\E[(X-\E X)(Y-\E Y)]$ измеряет среднее совместное изменение. При раскрытии квадрата суммы возникает смешанное произведение, поэтому для конечных дисперсий

$$\Var\Big(\sum_i a_iX_i\Big)=\sum_i a_i^2\Var X_i+2\sum_{i<j}a_i a_j\Cov(X_i,X_j).$$

Независимость обнуляет все ковариации и даёт формулу из вопроса Q11. Но она достаточна, не необходима: нулевых попарных ковариаций тоже достаточно. Для двух величин без весов равенство дисперсий эквивалентно нулевой ковариации. Для нескольких величин смешанные члены могут также взаимно сократиться.

Пример зависимости с нулевой ковариацией: $X$ равномерно на $\{-1,0,1\}$, $Y=X^2$. По $X$ известно $Y$, но $\E X=\E X^3=0$, значит $\Cov(X,Y)=0$. Подробный численный разбор — y1503; он не нужен для механического применения формулы к независимым наблюдениям.

Проверка перед ответом

У MLE проверьте носитель, область параметра и максимум. У взвешенной оценки сначала проверьте среднее, затем дисперсию. Несмещённость сама по себе не обещает малого разброса: отрицательные или неравные веса могут увеличить дисперсию.

Не утверждайте, что MLE автоматически несмещённа. Это разные вопросы: один выбирает параметр для наблюдённых данных, другой усредняет статистику по всем возможным выборкам.

Observations and an unknown distribution

In day 4, we calculated a mean from a known distribution. Here we reverse the task: we observe data and want to recover an unknown parameter of the distribution.

A sample is a collection of observations $X_1,\ldots,X_n$. Before the experiment they are random variables; afterward we have the actual numbers $x_1,\ldots,x_n$. The sample size $n$ counts all observations, including repeated values.

i.i.d. means “independent and identically distributed.” Independence permits multiplication of observation probabilities. The common distribution means the same parameter appears in every factor. Neither condition implies the other.

A parameter is an unknown constant describing the distribution, such as the success probability $p$. A statistic is a function of the sample that can be calculated without knowing the parameter, for example $\bar X=(X_1+\cdots+X_n)/n$.

An estimator is a statistic chosen to approximate a parameter. Before observing the data, $\hat p$ is random: another sample would give another value. After observation, the number $\hat p(x_1,\ldots,x_n)$ is the resulting estimate. A good answer on one sample does not establish the quality of the method.

Constructing the likelihood

Suppose the model is given by probabilities $P_p(X=k)=f(k;p)$. For an independent sample, the probability of observing exactly the sequence $x_1,\ldots,x_n$ is a product.

$$L(p)=\prod_{i=1}^n f(x_i;p).$$

In this expression the data are fixed, and we vary $p$. This makes it a likelihood function, not a probability distribution for the parameter itself. There is no requirement that the area under $L(p)$ equal one.

Maximum likelihood estimation, or MLE, chooses an allowed parameter value that makes the observed data most likely under the assumed model. First construct the product from the stated distribution; do not guess a ready-made estimator formula.

A factor independent of the parameter can be dropped when locating the maximum, but not when calculating the value of $L$ itself. If observations are recorded in order, do not add a sample-permutation factor.

Why take logarithms?

The logarithm is strictly increasing on positive numbers: $L(p_1)>L(p_2)$ if and only if $\ln L(p_1)>\ln L(p_2)$. The maximizing point is unchanged. Products become sums, and powers become coefficients.

$$\ell(p)=\ln L(p)=\sum_i\ln f(x_i;p).$$

This simplifies differentiation and avoids numerical underflow when multiplying many tiny probabilities. However, the logarithm is undefined at $L=0$; check boundaries using the original $L$ or a one-sided limit of $\ell$.

Geometric distribution: what is counted?

If $X$ counts trials up to and including the first success, then $X=1,2,\ldots$. The event $X=k$ consists of $k-1$ failures followed by one success.

$$P(X=k)=p(1-p)^{k-1},\qquad L(p)=p^n(1-p)^{S-n},\qquad S=\sum_i x_i.$$

The sample always contains $n$ successes, one at the end of each observation. There are $S-n$ failures in total. When $S>n$, the log-likelihood is $\ell=n\ln p+(S-n)\ln(1-p)$.

$$\ell\prime(p)=\frac np-\frac{S-n}{1-p}=0\quad\Longrightarrow\quad\hat p=\frac nS=\frac1{\bar x}.$$

We have found a candidate, not finished the solution. For $0<p<1$, the second derivative is $\ell\prime\prime=-n/p^2-(S-n)/(1-p)^2<0$. Thus the slope is strictly decreasing: it is positive before the candidate and negative afterward. This establishes the unique maximum.

Also, $S>n$ gives $0<n/S<1$, while $L$ tends to zero at the endpoints. The domain, the type of stationary point, and the boundary behavior all agree.

If every observation equals $1$, then $S=n$ and $L(p)=p^n$. Its derivative never vanishes inside the domain: the maximum is at $p=1$ if that boundary is allowed. On the open domain $0<p<1$, there is no maximum, although the likelihood approaches $1$. This is why the domain belongs in both the statement and the solution.

Now let $Y$ count only failures before the success. Then $Y=0,1,\ldots$, $Y=X-1$, and $P(Y=k)=p(1-p)^k$. The sample has $T=\sum_i y_i$ failures, so

$$L(p)=p^n(1-p)^T,\qquad\hat p=\frac n{n+T}=\frac1{1+\bar y}.$$

The phrase “geometric distribution” is used for both conventions. Protect yourself by writing “one observation = failures + success” before forming the product. Converting the same trials from $X$ to $Y=X-1$ must leave the estimate unchanged.

An estimator's expectation and spread

Another estimation task gives you a statistic $T$ and asks how it behaves. There is no need to construct another likelihood. Unbiasedness means $\E_\mu T=\mu$ for every allowed $\mu$, not just for one sample.

If $\E X_i=\mu$, linearity gives $\E(\sum_i a_iX_i)=(\sum_i a_i)\mu$. For an arbitrary unknown mean, unbiasedness holds exactly when the weights sum to $1$. Independence is not required here.

Variance is defined as $\Var X=\E[(X-\E X)^2]$. The deviation of $aX+b$ from its mean is $a(X-\E X)$; squaring it produces $a^2$. A constant shift disappears.

$$\Var(aX+b)=a^2\Var X.$$

Expectation does not square deviations, so its coefficients keep their signs and powers. Variance squares each complete weight: for $T=(X_1+2X_2)/3$, these weights are $1/3,2/3$, not $1,2$ followed by dividing the variance by $3$.

Covariance, $\Cov(X,Y)=\E[(X-\E X)(Y-\E Y)]$, measures average joint variation. Expanding the square of a sum produces a cross product, so for finite variances

$$\Var\Big(\sum_i a_iX_i\Big)=\sum_i a_i^2\Var X_i+2\sum_{i<j}a_i a_j\Cov(X_i,X_j).$$

Independence makes all covariances zero and gives the formula needed in Q11. But it is sufficient, not necessary: zero pairwise covariances also suffice. For two unweighted variables, variance additivity is equivalent to zero covariance. With several variables, cross terms can also cancel one another.

An example of dependence with zero covariance is $X$ uniform on $\{-1,0,1\}$ with $Y=X^2$. Knowing $X$ determines $Y$, but $\E X=\E X^3=0$, so $\Cov(X,Y)=0$. Problem y1503 develops the calculation; it is not a prerequisite for applying the formula to independent observations.

Before submitting

For an MLE, check the support, parameter domain, and maximum. For a weighted estimator, check its expectation first, then its variance. Unbiasedness alone does not promise low spread: negative or unequal weights can increase variance.

Do not claim that an MLE is automatically unbiased. These are different questions: one selects a parameter for observed data; the other averages a statistic over all possible samples.

Признаки и действия

Слева — что заметить в условии. Справа — что сделать первым.

Увидел	Первый ход
i.i.d.i.i.d.	Умножь законы с одним общим параметромMultiply the distributions using the same parameter
Геометрический законGeometric model	Выпиши, считают ли успехWrite whether the success is counted
Произведение вероятностейProduct of probabilities	Возьми логарифм на положительной части областиTake logarithms where the likelihood is positive
Производная равна нулюDerivative equals zero	Проверь максимум и границыCheck the maximum and boundaries
НесмещённостьUnbiasedness	Вычисли ожидание для произвольного параметраCalculate expectation for an arbitrary parameter
Дисперсия суммыVariance of a sum	Возведи полные веса в квадрат и проверь ковариацииSquare the complete weights and check covariances

эталонная задача

Выбор метода и проверка результатаChoosing a method and checking the result

Условие. Числа неудач до успеха в независимых опытах равны $0,1,0,3$. Закон $P(Y=k)=p(1-p)^k$, $k\ge0$, $0<p\le1$. Найти MLE.

Выбор метода. Требуется оценить параметр по данным через MLE, поэтому начинаем с вероятности данных, не со среднего готового распределения. Здесь $4$ успеха и $4$ неудачи: $L=p^4(1-p)^4$.

Упростить поиск. Логарифм сохраняет максимум и делает производную короткой: $\ell=4\ln p+4\ln(1-p)$, $\ell\prime=4/p-4/(1-p)$. Уравнение $\ell\prime=0$ даёт $\hat p=1/2$.

Установить максимум. $\ell\prime\prime=-4/p^2-4/(1-p)^2<0$, кандидат внутри области, а правдоподобие исчезает на концах. Значит это единственный глобальный максимум.

Проверить смысл. Если записать те же опыты числом всех попыток, получим $1,2,1,4$, сумму $8$ и ту же оценку $4/8$. Ошибка на единицу обнаруживается именно таким переводом. Этот путь повторяется в b1501, b1502, y1501 и финале y1504.

Алгоритм

Выпиши носитель и область параметра.
Перемножь вероятности наблюдений, собери показатели.
Возьми логарифм и найди внутреннего кандидата.
Проверь максимум, границы и перевод между неудачами и попытками.

Problem. Independent runs produce $0,1,0,3$ failures before success. The model is $P(Y=k)=p(1-p)^k$, $k\ge0$, $0<p\le1$. Find the MLE.

Choose the method. The task asks for an MLE from data, so begin with the probability of the data, not a memorized distribution mean. There are $4$ successes and $4$ failures: $L=p^4(1-p)^4$.

Simplify the search. A logarithm preserves the maximum and gives a short derivative: $\ell=4\ln p+4\ln(1-p)$, $\ell\prime=4/p-4/(1-p)$. Solving $\ell\prime=0$ gives $\hat p=1/2$.

Establish the maximum. Since $\ell\prime\prime=-4/p^2-4/(1-p)^2<0$, the candidate is interior, and the likelihood vanishes at both ends, it is the unique global maximum.

Check the meaning. Recording all trials in the same runs gives $1,2,1,4$, with sum $8$ and the same estimate $4/8$. This conversion detects an off-by-one error. The route recurs in b1501, b1502, y1501, and final y1504.

Algorithm

State the support and parameter domain.
Multiply the observation probabilities and collect exponents.
Take logarithms and find an interior candidate.
Check the maximum, boundaries, and conversion between failures and trials.

Дополнительные материалы

Другие объяснения и материалы по теме. Используй их, если основного урока недостаточно.

урокДень 3: предпосылкиDay 3: prerequisites RU/EN

Вернись к технике перед новой цепочкойRevisit the technique before the new chain

урокДень 4: предпосылкиDay 4: prerequisites RU/EN

Вернись к технике перед новой цепочкойRevisit the technique before the new chain

урокДень 5: предпосылкиDay 5: prerequisites RU/EN

Вернись к технике перед новой цепочкойRevisit the technique before the new chain

справочникКарта покрытия Q1–Q18Q1–Q18 coverage map RU/EN

Точные цепочки и порядок прохожденияExact chains and study order

как работать сегодня

Полный объём — 15 задач. Минимум — 10: b1501, b1502, b1503, b1504, w1502, y1501, y1502, y1504, y1505, y1506. Обязательные — 4: y1501, y1502, y1504, y1505.

Минимальный маршрут: прочитай весь урок и эталон; реши помеченные задачи по ступеням, сохраняя бумажное обоснование. Ступень 2 содержит самостоятельный вход в каждый новый основной метод. Разминку используй, если этот вход пока труден. Обязательные мосты сами по себе не заменяют полный минимум и финалы. После паузы открой свежую подборку повторения: её попытки отдельны от решений дня.

Full route: 15 problems. Minimum: 10: b1501, b1502, b1503, b1504, w1502, y1501, y1502, y1504, y1505, y1506. Mandatory bridges: 4: y1501, y1502, y1504, y1505.

Minimum route: read the whole lesson and model solution, then solve marked problems in step order, keeping written reasoning. Step 2 provides an accessible entry into every principal new method. Use the warm-ups if that entry is still difficult. Mandatory bridges alone do not replace the complete minimum and finals. After a break, open a fresh mixed review: its attempts are separate from day solutions.

полный объём

минимум

обязательные

Полный объём — все задачи ниже. Минимум — если день сорвался и часа осталось два. Обязательные — мосты к финальной задаче, они не пропускаются никогда.

Разминка

решено 1 из 3

Устно, за полминуты. Проверяет, что определение понято, а не выучено.

W1501Разминкаступень 1Статистика✓авторская

Наблюдали числа $2,1,3,2$ в независимых опытах с одним законом распределения. Чему равен объём выборки $n$? Ответ — целое число.

Independent trials with the same distribution produced $2,1,3,2$. What is the sample size $n$? Enter an integer.

ответверно

Подсказка / Hint

Объём — число наблюдений, а не число различных значений.

Sample size counts observations, not distinct values.

Решение / Solution

Число 2 встретилось дважды, но это два наблюдения. Всего $n=4$. Параметр описывает закон, а эти четыре числа — его реализации.

The value 2 appears twice, but these are two observations. Thus $n=4$. A parameter describes the distribution; these four numbers are its realizations.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W1502Разминкаступень 1минимумСтатистикаавторская

Для $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$, независимая выборка равна $1,3$. Постройте правдоподобие $L(p)$ и вычислите $L(1/2)$.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

For $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$, an independent sample is $1,3$. Construct the likelihood $L(p)$ and calculate $L(1/2)$.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Перемножьте вероятности двух наблюдённых значений.

Multiply the probabilities of the two observed values.

Решение / Solution

Независимость позволяет перемножить вероятности: $L(p)=p\cdot p(1-p)^2=p^2(1-p)^2$. Данные фиксированы, меняем $p$. При $p=1/2$ получаем $1/16=0.0625$. Это вероятность именно упорядоченной выборки, без множителя за перестановки.

Independence lets us multiply the probabilities: $L(p)=p\cdot p(1-p)^2=p^2(1-p)^2$. Keep the data fixed and vary $p$. At $p=1/2$ this is $1/16=0.0625$. This is the probability of the observed ordered sample, with no permutation factor.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

W1503Разминкаступень 1Статистикаавторская

$X$ принимает $-2$ и $2$ с вероятностями $1/2$. Найдите $\Var(2X+7)$ по определению дисперсии.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$X$ takes $-2$ and $2$ with probabilities $1/2$. Find $\Var(2X+7)$ from the definition of variance.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Сначала найдите два возможных значения и их среднее.

First find the two possible values and their mean.

Решение / Solution

$2X+7$ принимает $3,11$, среднее равно $7$. Отклонения $-4,4$; средний квадрат равен $(16+16)/2=16$. Сдвиг не меняет разброс, удвоение отклонений увеличивает дисперсию в $4$ раза.

$2X+7$ takes $3,11$, with mean $7$. Deviations are $-4,4$, so their mean square is $(16+16)/2=16$. A shift does not change spread; doubling deviations multiplies variance by $4$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

База

решено 0 из 6

Чистая техника без сюрпризов. Здесь нарабатывается автоматизм.

B1501Базаступень 2минимумСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $1,2,3$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $1,2,3$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{3}(1-p)^{3}$; $\ell(p)=3\ln p+3\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=3/p-3/(1-p)=0$, $\hat p=3/6=0.5000$.

$\ell\prime\prime(p)=-3/p^2-3/(1-p)^2<0$: логарифм строго вогнут, поэтому стационарная точка — единственный максимум. Она лежит в $(0,1)$; на обоих концах $L$ стремится к нулю. В показателе $(1-p)$ считаем неудачи, а не все попытки.

$L(p)=p^{3}(1-p)^{3}$; $\ell(p)=3\ln p+3\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=3/p-3/(1-p)=0$, $\hat p=3/6=0.5000$.

$\ell\prime\prime(p)=-3/p^2-3/(1-p)^2<0$: the log-likelihood is strictly concave, so the stationary point is the unique maximum. It lies in $(0,1)$; at both ends $L$ tends to zero. The exponent of $(1-p)$ counts failures, not all trials.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1502Базаступень 2минимумСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $0,1,2$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $0,1,2$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{3}(1-p)^{3}$; $\ell(p)=3\ln p+3\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=3/p-3/(1-p)=0$, $\hat p=3/6=0.5000$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1503Базаступень 2минимумСтатистикаавторская

$\E X_1=\E X_2=\mu$. Найдите постоянную $c$, при которой $T=(3/4)X_1+cX_2$ несмещённо оценивает $\mu$ при любом $\mu$. Независимость не предполагается.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$\E X_1=\E X_2=\mu$. Find a constant $c$ making $T=(3/4)X_1+cX_2$ an unbiased estimator of $\mu$ for every $\mu$. Independence is not assumed.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Примените линейность и сравните коэффициент при неизвестном среднем.

Use linearity and compare the coefficient of the unknown mean.

Решение / Solution

$\E T=(3/4+c)\mu$. Несмещённость означает равенство $\E T=\mu$ при каждом $\mu$, поэтому $3/4+c=1$, $c=1/4$. Для ожидания коэффициенты не возводятся в квадрат.

$\E T=(3/4+c)\mu$. Unbiasedness requires $\E T=\mu$ for every $\mu$, hence $3/4+c=1$, $c=1/4$. Coefficients are not squared when taking expectations.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1504Базаступень 2минимумСтатистикаавторская

Независимые $X,Y$ имеют дисперсии $4,9$. Найдите $\Var(2X-Y)$. Средние не заданы и для ответа не нужны.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

Independent $X,Y$ have variances $4,9$. Find $\Var(2X-Y)$. Their means are unspecified and are not needed.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Коэффициент перед $Y$ отрицательный, но отклонение возводится в квадрат.

The coefficient of $Y$ is negative, but its deviation is squared.

Решение / Solution

Независимость обнуляет ковариацию. Поэтому $\Var(2X-Y)=2^2\cdot4+(-1)^2\cdot9=25$. Знак минус не означает вычитание дисперсии: разброс измеряется квадратами отклонений.

Independence makes the covariance zero. Thus $\Var(2X-Y)=2^2\cdot4+(-1)^2\cdot9=25$. A minus sign does not subtract variance: spread is measured by squared deviations.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1505Базаступень 2Статистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $1,1,1$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $1,1,1$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

Неудач нет, поэтому $L(p)=p^{3}$. Функция возрастает на $(0,1]$, максимум достигается на разрешённой границе $\hat p=1$. Уравнение производной здесь не даёт внутренней точки. При области $0<p<1$ максимума не было бы: только супремум.

There are no failures, so $L(p)=p^{3}$. It increases on $(0,1]$, attaining its maximum at the allowed boundary $\hat p=1$. The derivative equation gives no interior point. On the open domain $0<p<1$ there would be a supremum but no maximum.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

B1506Базаступень 2Статистикаавторская

Для выборки $1,2$ из геометрического закона на $1,2,\ldots$ сравните $L(1/2)$ и $L(1/4)$, используя логарифмы или прямой счёт. Введите $1$, если первое больше, $0$, если равны, $-1$, если первое меньше.

For the sample $1,2$ from the geometric distribution on $1,2,\ldots$, compare $L(1/2)$ with $L(1/4)$ using logarithms or direct calculation. Enter $1$ if the first is larger, $0$ if equal, and $-1$ if smaller.

ответ

Подсказка / Hint

Логарифм строго возрастает: сравнение положительных чисел сохраняется.

The logarithm is strictly increasing, so it preserves comparisons of positive numbers.

Решение / Solution

$L(p)=p^2(1-p)$. Значения $1/8$ и $3/64$ дают $L(1/2)>L(1/4)$. Логарифмы дают тот же порядок, поэтому можно максимизировать $\ln L$, не меняя места максимума. Ответ $1$.

$L(p)=p^2(1-p)$. The values $1/8$ and $3/64$ give $L(1/2)>L(1/4)$. Their logarithms have the same order, so maximizing $\ln L$ preserves the location of the maximum. Answer: $1$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Уровень YMLS

решено 0 из 5

Целевая сложность вступительного экзамена. Ответ — число.

Y1501Уровень YMLSступень 3обязательнаяСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $0,2,1,3$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $0,2,1,3$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{4}(1-p)^{6}$; $\ell(p)=4\ln p+6\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-6/(1-p)=0$, $\hat p=4/10=0.4000$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-6/(1-p)^2<0$: логарифм строго вогнут, поэтому стационарная точка — единственный максимум. Она лежит в $(0,1)$; на обоих концах $L$ стремится к нулю. В показателе $(1-p)$ считаем неудачи, а не все попытки.

$L(p)=p^{4}(1-p)^{6}$; $\ell(p)=4\ln p+6\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-6/(1-p)=0$, $\hat p=4/10=0.4000$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-6/(1-p)^2<0$: the log-likelihood is strictly concave, so the stationary point is the unique maximum. It lies in $(0,1)$; at both ends $L$ tends to zero. The exponent of $(1-p)$ counts failures, not all trials.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1502Уровень YMLSступень 3обязательнаяСтатистикаавторская

$X_1,\ldots,X_3$ независимы и одинаково распределены, $\E X_i=\mu$, $\Var(X_i)=4$. Докажите несмещённость $T=(1X_1+2X_2+1X_3)/4$ и вычислите его дисперсию.

Доказательство запишите на бумаге; поле проверяет только число. После решения сверьте обоснование с разбором.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$X_1,\ldots,X_3$ are i.i.d., with $\E X_i=\mu$ and $\Var(X_i)=4$. Prove that $T=(1X_1+2X_2+1X_3)/4$ is unbiased and calculate its variance.

Write the proof on paper; the answer field checks only the number. After solving, compare your reasoning with the explanation.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Для ожидания сложите веса, для дисперсии сложите квадраты нормированных весов.

For expectation, add the weights; for variance, add the squared normalized weights.

Решение / Solution

Сумма числителей весов равна $4$, поэтому $\E T=(4/4)\mu=\mu$ при любом $\mu$: оценка несмещённая. Независимость нужна во второй части: $\Var(T)=4\cdot((1)^2+(2)^2+(1)^2)/4^2=1.5000$. Делитель тоже возводится в квадрат. Проверка: результат неотрицателен. Для самопроверки доказательства нужны линейность, сумма весов и равенство для всех значений параметра.

The weight numerators sum to $4$, so $\E T=(4/4)\mu=\mu$ for every $\mu$: the estimator is unbiased. Independence is used in the second part: $\Var(T)=4\cdot((1)^2+(2)^2+(1)^2)/4^2=1.5000$. Square the denominator too. Check that the result is nonnegative. The proof checklist is linearity, the sum of weights, and equality for every parameter value.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1503Уровень YMLSступень 3Статистикаавторская

$X$ равновероятно принимает $-1,0,1$, а $Y=X^2$. Покажите, что $X,Y$ зависимы, но $\Cov(X,Y)=0$. Найдите $\Var(X+Y)$.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$X$ takes $-1,0,1$ with equal probabilities and $Y=X^2$. Show that $X,Y$ are dependent but $\Cov(X,Y)=0$. Find $\Var(X+Y)$.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Выпишите три пары значений. Нулевая ковариация проверяется через смешанный момент.

List the three pairs of values. Test zero covariance using the mixed moment.

Решение / Solution

$Y$ полностью определяется $X$, причём $P(Y=0\mid X=0)=1\ne1/3$. Значит независимости нет. Но $\E X=\E X^3=0$, откуда $\Cov(X,Y)=\E X^3-\E X\E X^2=0$. $\Var X=2/3$, $\Var Y=2/3-(2/3)^2=2/9$, сумма $8/9$. Непосредственно $X+Y$ принимает $0,0,2$: $4/3-(2/3)^2=8/9$.

$Y$ is determined by $X$, and $P(Y=0\mid X=0)=1\ne1/3$, so they are not independent. However, $\E X=\E X^3=0$, giving $\Cov(X,Y)=\E X^3-\E X\E X^2=0$. Now $\Var X=2/3$ and $\Var Y=2/3-(2/3)^2=2/9$, with sum $8/9$. Directly, $X+Y$ takes $0,0,2$: its variance is $4/3-(2/3)^2=8/9$.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1504Уровень YMLSступень 4обязательнаяСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $2,0,3,2$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $2,0,3,2$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k}$, $k=0,1,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{4}(1-p)^{7}$; $\ell(p)=4\ln p+7\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-7/(1-p)=0$, $\hat p=4/11=0.3636$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-7/(1-p)^2<0$: логарифм строго вогнут, поэтому стационарная точка — единственный максимум. Она лежит в $(0,1)$; на обоих концах $L$ стремится к нулю. В показателе $(1-p)$ считаем неудачи, а не все попытки.

$L(p)=p^{4}(1-p)^{7}$; $\ell(p)=4\ln p+7\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-7/(1-p)=0$, $\hat p=4/11=0.3636$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-7/(1-p)^2<0$: the log-likelihood is strictly concave, so the stationary point is the unique maximum. It lies in $(0,1)$; at both ends $L$ tends to zero. The exponent of $(1-p)$ counts failures, not all trials.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Y1505Уровень YMLSступень 4обязательнаяСтатистикаавторская

$X_1,\ldots,X_3$ независимы и одинаково распределены, $\E X_i=\mu$, $\Var(X_i)=9$. Докажите несмещённость $T=(-1X_1+2X_2+2X_3)/3$ и вычислите его дисперсию.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

$X_1,\ldots,X_3$ are i.i.d., with $\E X_i=\mu$ and $\Var(X_i)=9$. Prove that $T=(-1X_1+2X_2+2X_3)/3$ is unbiased and calculate its variance.

Write the proof on paper; the answer field checks only the number. After solving, compare your reasoning with the explanation.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Для ожидания сложите веса, для дисперсии сложите квадраты нормированных весов.

For expectation, add the weights; for variance, add the squared normalized weights.

Решение / Solution

Сумма числителей весов равна $3$, поэтому $\E T=(3/3)\mu=\mu$ при любом $\mu$: оценка несмещённая. Независимость нужна во второй части: $\Var(T)=9\cdot((-1)^2+(2)^2+(2)^2)/3^2=9.0000$. Делитель тоже возводится в квадрат. Проверка: результат неотрицателен. Для самопроверки доказательства нужны линейность, сумма весов и равенство для всех значений параметра.

The weight numerators sum to $3$, so $\E T=(3/3)\mu=\mu$ for every $\mu$: the estimator is unbiased. Independence is used in the second part: $\Var(T)=9\cdot((-1)^2+(2)^2+(2)^2)/3^2=9.0000$. Square the denominator too. Check that the result is nonnegative. The proof checklist is linearity, the sum of weights, and equality for every parameter value.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

Мини-тест под таймером

20 минут

Одна задача, таймер идёт, подсказки и решение не открываются до истечения времени. Это тренировка не математики, а поведения под давлением.

Y1506Уровень YMLSступень 4минимумСтатистикаавторская

Независимая одинаково распределённая выборка: $2,5,1,4$. Закон $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Постройте $L$, найдите MLE параметра $p$ и обоснуйте максимум.

Ответ округлите до четырёх знаков после запятой.

An i.i.d. sample is $2,5,1,4$. The model is $P(X=k)=p(1-p)^{k-1}$, $k=1,2,\ldots$, $0<p\le1$. Construct $L$, find the MLE of $p$, and justify the maximum.

Round your answer to four decimal places.

ответ

Подсказка / Hint

Запишите отдельно число успехов и суммарное число неудач. Затем проверьте границы области параметра.

Write down the number of successes and the total number of failures separately. Then check the parameter boundaries.

Решение / Solution

$L(p)=p^{4}(1-p)^{8}$; $\ell(p)=4\ln p+8\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-8/(1-p)=0$, $\hat p=4/12=0.3333$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-8/(1-p)^2<0$: логарифм строго вогнут, поэтому стационарная точка — единственный максимум. Она лежит в $(0,1)$; на обоих концах $L$ стремится к нулю. В показателе $(1-p)$ считаем неудачи, а не все попытки.

$L(p)=p^{4}(1-p)^{8}$; $\ell(p)=4\ln p+8\ln(1-p)$. $\ell\prime(p)=4/p-8/(1-p)=0$, $\hat p=4/12=0.3333$.

$\ell\prime\prime(p)=-4/p^2-8/(1-p)^2<0$: the log-likelihood is strictly concave, so the stationary point is the unique maximum. It lies in $(0,1)$; at both ends $L$ tends to zero. The exponent of $(1-p)$ counts failures, not all trials.

уверенность1 — угадал, 5 — уверен полностью

В журнал ошибок

день закрыт, когда

В каждой задаче минимума до вычислений записан первый ход и причина выбора.In every minimum-route problem, write the first move and its reason before calculating.

Все обязательные мосты решены без подсказок; после ошибки метод восстановлен самостоятельно.Solve every mandatory bridge without hints; after an error, reconstruct the method independently.

Все три финала решены без решения перед глазами; численный результат проверен другим способом.Solve all three finals without viewing solutions and check each numerical result another way.

Для каждого финала объяснено, что изменится при изменении одной предпосылки.For each final, explain what would change if one assumption changed.

В доказательных задачах проверены область, ключевое равенство и вывод; числовая галочка не считается проверкой доказательства.For proof tasks, check the domain, key identity, and conclusion; a numeric checkmark does not certify a proof.

аудит дня

Запиши в заметку конкретную ошибку, её причину и проверку, которая могла её поймать. При неверном финале вернись к мосту того же метода; повтори на новой попытке после паузы. Сохрани доказательства на бумаге и проверь их по пунктам разбора.

Record the specific error, its cause, and a check that could have caught it. After a failed final, return to the bridge for the same method and retry in a fresh attempt after a break. Keep written proofs and compare them with the explanation checklist.

заметка дня

Открыть журнал ошибок

← День попыткиAttempt Day Плотность, моменты и подстановочные оценкиDensity, moments, and plug-in estimates →